云尝广场舞蝴蝶翩翩飞

篇一：UNIT3 using language 知识点

Using language知识点

1. blocks of ice 冰块

2. dress in long wool coats 穿着长羊毛外套

3. it was so cold that our water bottles froze 天如此冷以至于我们的水壶都结冰

了

4. the lake shone like glass in the setting sun 湖水在落日的余晖下闪亮如镜

5. as usual 和往常一样

6. reliable 可信赖的，可依靠的 rely on=depend on 依赖，依靠

7. encourage sb. to do sth. 鼓励某人做某事

8. To climb the mountains was hard work 爬山是很辛苦的事。（非谓语动词做主

语，谓语动词用单数）

9. we were so high that we found ourselves cycling through clouds 我们如此地高

以至于我们都觉得自己是在云端骑车。

10. go down the hill 下山

11. change A for B 把A换成B

12. put up a tent 支起一个帐篷

13. put one’s head down on one’s pillow 一头栽倒在枕头上

14. stay awake 保持醒着

15. at midnight 在半夜

16. keep sth./sb. for company 陪伴

17. lay beneath the stars 躺在星空下

18. can not/hardly wait to do sth. 迫不及待做某事

第二部分 山中一宿

虽然是秋天，但是西藏已经开始下雪了。我们的腿又沉又冷，感觉就像大冰块。你看到过雪人骑自行车吗？我们看上去就象那样。一路上，一些身穿羊毛大衣的孩子们停下来看着我们。下午晚些的时候，我们发现由于天冷我们的水壶被冻住了。然而，湖水在落日的余晖下闪亮如镜，景色迷人。像往常一样，王薇在我的面前，她很可靠，我知道我用不着给她鼓劲。上山很艰难，但是当我们环顾四周，（眼前的）景色让我们感到惊奇，我们似乎能看到几英里以外的地方。在某个时刻，我们发现自己置身高处，仿佛在骑车穿越云层。然后我们开始下山，这非常有趣，特别是天气逐渐变得暖和了。在山谷里，五彩斑斓的蝴蝶翩翩飞舞在我们的身旁，我们还看到牦牛和羊群在吃青草。这时我们不得不把帽子，外衣，手套和长裤脱掉，换成T恤衫和短裤。

一到傍晚，我们总是停下来宿营。我们先把帐篷支起来，然后吃饭。晚饭后，王薇头一挨着枕头就睡着了，而我却醒着。半夜里，天空变得更晴朗了，星星更亮了。夜晚非常安静，几乎没有风--------只有篝火的火焰和我们做伴。当我躺在星空下，我想着我们已经走了多远。 我们很快就要到达云南的大理。在哪里，我们的表兄弟刀伟和宇航加入了我们的行列。我们迫不及待地想要见到他们！

沿湄公河而下的旅行

第一部分 梦想与计划

我的名字叫王坤。从高中起，我姐姐王薇和我就一直梦想做一次伟大的自行车旅行。两年前，她买了一辆价钱昂贵的山地自行车，然后她还说服我也买了一辆（山地车）。去年她去看望了我们的表兄弟——在昆明读大学的刀卫和宇航。他们是傣族人，在云南省西部靠近澜沧

江的地方长大，湄公河在中国境内的这一段叫澜沧江，流经其他国家后就叫湄公河。很快，王薇使表兄弟也对骑车旅行产生了兴趣。到大学毕业后，我们终于有了做一次骑自行车旅行的机会。我问姐姐：“我们要去哪里？”首先想到要沿湄公河从源头到终点骑车旅行的是我姐姐。现在，她正为这次旅行制订计划。

我很喜欢我姐姐，但她有一个严重的缺点，她有时确实很固执。尽管她对某些地方的最佳路线并不清楚，她却坚持要把这次旅行安排得尽善尽美。现在我知道了这个尽善尽美的方式总是她的方式。我老是问她，“我们什么时候动身？什么时候回来？”我问她是否已经看过地图。当然她并没有看过，我的姐姐是不会考虑细节的。于是，我告诉她湄公河的源头在青海省。她给了我一个坚定的眼神——这种眼神表明她是不会改变主意的。当我告诉她我们的旅行将从5000多米的高地出发，这时她似乎显得很兴奋。当我告诉她那里空气稀薄，呼吸会很困难，而且天气会很冷时，她却说这将是一次有趣的经历。我非常了解我的姐姐，她一旦下了决心，什么也不能使他改变。最后，我只好让步了。

在我们旅行前的几个月，王薇和我去了图书馆。我们找到一本大型地图册，里面有一些世界地理的明细图。我们从图上可以看到，湄公河源于西藏一座山上的冰川。起初，河很小，河水清澈而冷冽，然后它开始快速流动。它穿过深谷时就变成了急流，流经云南西部。有时，这条河形成瀑布进入宽阔的峡谷。我们俩惊奇的发现这条河有一半是在中国境内。当流出中国，流出高地之后，湄公河就变宽了，变暖了，河水也变成了黄褐色。而当它进入东南亚以后，流速减慢，河水变宽慢慢地穿过低谷，到了长着稻谷的平原。最后，湄公河三角洲的各支流流入中国南海。

篇二：读《蓝色蝴蝶翩翩飞》有感

读《蓝色蝴蝶翩翩飞》有感

卫东学校 初二一班 王浩玲 指导老师：杨双

月儿姑，丈丈高，雪白的脸，雪白的袍，池里乌龟想害你，伸长爪爪够不着??

——题记 我认为蓝是无可挑剔的色彩，它美，感觉它把我带进一个舒情的蓝色世界，眼前的一切都是蓝色的，蓝色的树，蓝色的房子??连人类的皮肤也是蓝色的。在蓝色的世界里感受风的温暖；感受水的欢畅；感受雨的凉爽??慢慢的，我遇到了一只蓝色的蝴蝶在翩翩起舞，它告诉我月儿的凄惨的故事??

苦蔓上长不出甜瓜，月儿一出世就泡在重重苦难里，过了一岁还不会说话，两岁半才学会走路，十岁便殁了娘。没娘的孩子，就像缺水的草，没肥的苗，穿一身娘留下来的大衣服，成了爹的尾巴。一年一度春风吹来的时候，蜜蜂出巢采花，燕子衔泥垒窝，蝴蝶结伴儿在池塘边飞来飞去。月儿快活的日子，一去不返：月儿有了后娘。后娘是个“旦娃”，长得跟水仙花似的，还是一个馋嘴懒身子，把月儿当成长工使唤。渭北塬上，没有泉、没有溪、除了城壕、苇园，就只有池塘是孩子家的摇篮。逢下雨消雪，村里四路八岔的“天水”，一股股往池塘里奔跑，池塘总是泛着轻悠悠的绿波。好久好久，月儿连池塘也不来玩了，原来是后娘总是让月儿干家里的重活，她身上总是有一块一块的青疤，本来以为是后娘狠毒，没想到竟然是月儿爹打的，是月儿的后娘说月儿偷懒，说月儿不听话，戳弄爹打月儿，于是，一池融融的清水，在月儿的眼里闪动。终于有一天，后娘把月儿卖给三十岁的汉子做媳妇，月儿爹显示头发白了，再是目光呆了，接着就变得疯疯癫癫，跑来跑去，用沙哑的喉咙，朝天空呼喊着：“月儿，回来吧。”可是，月儿回不来了，也不会回来了??

这只蝴蝶给了我好多东西，这东西是情感，是酸涩，是痛楚??它触动了人心灵最柔软的部分，和那些轻飘飘的东西大有区别。它使我的生命会变得更坚强，是我的人生变得更坚实。

篇三：二年级下册语文第一单元测试题及答案

人教新课标二年级语文下册第一单元测试题

一、 读一读，连一连。（6分）

二、 看拼音写词语。（10分）

mián huā xiǎo xī zhuī ɡǎn wai lái duǒ shǎn

shì jia hū hu

àn jiāo shuǐ ɡē

ɡe jiàn jiɑn

三、词语花园里花香扑鼻。（13分） 1

．反义词。（3分）

2．加上偏旁组成字和词。（6分）

3.让词语回到正确的位置。（4分）

（

1）（ ）使人落后。

（2）妈妈为有这样的好儿子而感到（ ）。

四、阅读拾贝，我会连。（8分） 小草 一朵两朵 像春天的眉毛 野花 探出头来 像春天的眼睛 树木 吐出嫩芽 像春天的琴声 小溪 丁丁冬冬 像春天的音符 五、古诗对对碰。（10分） 1．根据意思写诗句。

一个孩子奔跑着追逐翩翩起舞的蝴蝶，这蝴蝶飞入金黄色的菜花丛中，怎么也找不到了。（3分）

2.读了《草》这首诗，我知道小草 （4分） 3．我能发挥想象，给古诗《草》配幅美丽的画。（3分）

六、句子超市。（12分） 1．模仿秀。（4分）

例1：鹿弟弟惋惜地对哥哥说：“这玫瑰你白栽了。”

爸爸刚赶到体育馆，球赛就结束了，我惋惜地对他说：“ 。” 例2：她站在山岗上，自豪地喊着：“我长大啦！”

自豪地喊着：“” 例3：春天像个害羞的小姑娘。

春天像。 2．把句子补充完整。（6分）

（1）春天来了， 。 （2）你知道？ （3）春天开放的花有 、 、 ??

3．如果小鹿种下的是小桃树，黄莺和微风会怎么对小鹿说呢？请你帮黄莺和微风写几句话吧！（2分）

黄莺： 微风： 七、课文广角。（7分）

1．鹿弟弟惋惜地对哥哥说：“这玫瑰你白栽了，一朵花都没看着。”鹿弟弟认为“玫瑰白栽了”是因为 （3分）

2．笋芽儿终于钻出了地面。她睁开眼睛一看，啊，多么 、多么 的世界啊！桃花 ，柳树 ，小燕子 ??（4分） 八、阅读短文真快乐。（14分）

春天的美景

春天来了，带给大地一片生机勃勃。小花一朵一朵地盛开，有红的、黄的、粉的、紫的，五彩缤纷，美丽无比，她们好像在互相争奇斗艳地比美；美丽的蝴蝶在空中飞舞，像是一朵朵会飞的花；忙碌的蜜蜂像一个红娘，在花中替人牵线。

春天的鸟儿特别活泼，唱的歌婉转动听；春天的阳光轻洒在大地上，一片暖洋洋的；儿童的游玩声、笑声和可爱的脸孔，带给了大地欢悦。

在这美好的春天，到处鸟语花香，充满喜气，我们可不要让这美好的春光溜走了！ 1．这段话主要写 来了，带给 一片生机勃勃。（4分）

2．我能写出和“五彩缤纷”意思相近的词语： （3分） 3.用“ ”画出文中一个比喻句。（3分） 4.你准备怎样做才不让美好的春光溜走？（4分）

九、写作园地。（20分）

春天来了，小朋友们和小鸟一起在快乐地歌唱，他们多开心哪！用几句话写一写。

篇四：2013-期中试卷(七上生物)

2013-2014学年阶段性学业质量分析测试（一）

1.用同一台显微镜观察同一标本，通过更换目镜、物镜和调节给准焦螺旋后，在视野中分别

看到了下列图像，其中视野最暗的是（ ）

A． B．

C．

2.某同学使用的显微镜有如下一些镜头可供选择（见下图），要使被观察的物体放大50倍，

应选择的镜头为（ ）

A．④和⑤ B．③和⑥

C．①和③ D．②和⑥

3.右图是显微镜视野中的一个物像，转动细准焦螺旋使镜筒向上移动后，视野中的物像可能

会变成（ ）

A． B．

C．

4.被尊称为“世界杂交水稻之父”的科学家是：（ ）

A．袁隆平 B．弗莱明

C．巴斯德

5.下列不属于生物的是（ ）

A．天竺葵 B．珊瑚

C．青霉

6.下列哪项不是生物与其生活环境相适应的特点（ ）

A．仙人掌的叶子呈刺状 B．竹节虫具有与树枝相似的体形

C．北极熊与锋利的牙齿

7.进入秋季后，农民就开始紧张的抢收，力争颗粒归仓。细心的李敏同学发现，在我国南北

不同的地区，人们收获的时间上有先有后，这种现象最大的原因可能是（ ）

A．水分 B．阳光

C．温度

8.影响生物生活的环境因素（ ）

A．是指所有的非生物因素 B．是指所有的生物因素

C．包括生物因素和非生物因素

9.若人吃的牛肉来自以玉米味饲料的牛、人和牛分别扮演的角色是（ ）

A．生产者、消费者 B．消费者、消费者

C．消费者、生产者

10.下列环境因素中影响老鼠生活的生物因素是（ ）

A．草 B．光

C．水

11.能够与帝企鹅生活在同一环境中的生物是（ ）

A．雪莲 B．南极磷虾

C．北极熊

12.人们将一种叫“水葫芦”的植物引种到我国后，这种植物很快在全国蔓延，目前金湖县

境内到处可以看到这种生物，甚至威胁到其它生物的生存。这说明了（ ）

A．生物能适应环境 B．生物不能对环境产生影响

C．生物既能适应环境，又能影响环境。

13.观察是科学探究的一种基本方法。下列各项活动中属于观察的是：（ ）

A．上网搜索资料 B．去图书馆查阅书刊

C．用放大镜看蚂蚁

14.“我为花草呵护，花草向我微笑”，体现了人与自然的和谐相处。“花草”在生态系统中

扮演的角色是（ ）

A． B．

C．

15.下列现象中，不足以说明生物对环境的影响的是（ ）

A．澳大利亚畜牧业发达，但牛粪堆积在草原上，风干硬化，严重影响了牧草的生长

B．蜣螂能吃牛粪，还产卵在其中。卵在牛粪中发育，幼虫又以牛粪为食

C．澳大利亚引进蜣螂后，解决了粪便堆积的问题，改良了草原的土壤

16.稻—鸭—萍共作是一种新兴的农业模式，其中水生植物红萍（俗称满江红）适于阴暗的

环境生存，可作为鸭子的饲料，鸭子能吃有害昆虫，鸭粪肥田促进水稻生长。下列叙述中正

确的是（ ）

A．红萍、水稻等植物属于生产者

B．稻田中全部的有害昆虫属于影响水稻生长的非生物因素

C．稻田中所有的红萍和鸭子共同组成一个生物系统

17.中国“蛟龙”号深潜器已经突破7000米大关，成为世界上潜的最深的深潜器，深潜器上

的人在不见阳光的海下7000米最不可能看到的是（ ）

A．绿色海草 B．紫色海星

C．白色海星

18.“落红不是无情物，化作春泥更护花”，从生态学的角度分析，在落红化作春泥的过程中，

起决定作用的是（ ）

A．生产者 B．消费者

C．分解者

19.生态系统有多种类型，地球上最大的生态系统是（ ）

A．陆地生态系统 B．海洋生态系统

C．生物圈

20.右图表示某个生态系统中各种成分之间的关系，图中的①所代表的成分名称是：（ ）

A．生产者 B．消费者

C．分解者

21.生物圈为生物的生存提供的基本条件有：（ ）

①阳光 ②空气 ③水 ④营养物质 ⑤适宜的温度 ⑥一定的生存空间

A．①②③ B．①③⑤⑥

C．②③④⑤⑥ D．①②③④⑤⑥

22.当转动显微镜的粗准焦螺旋使镜筒下降时，眼睛一定要看着：（ ）

A．目镜 B．玻片标本

C．物镜 D．反光镜

23.某同学在观察某玻片标本时，看到了如图所示的物像。如要进一步放大以清晰地观察细

胞甲，不必要进行的操作是（ ）

A．转动转换器 B．转动粗准焦螺旋

C．转动细准焦螺旋 D．调节反光镜

24.钓鱼岛和黄岩岛是我国固有领土，周边海域有着丰富是生物资源，海湾浅水处长绿藻，

稍深处长褐藻，再深处长红藻。藻类植物的这种分布主要受哪种因素的影响？

25.近几年，由于我县大力推广植树造林，不断扩大绿化面积，前几年近乎销声匿迹的雉鸡、

喜鹊等多种鸟类又重返校园。这种现象主要体现了（ ）

A．环境因素对生物的影响 B．生物因素对环境的影响

C．非生物因素对生物的影响 D．生物对非生物因素的影响

26.某校生物兴趣小组使用显微镜观察人体口腔上皮细胞，但下列镜头上所标注的放大倍数

模糊不清。现欲使视野中看到的细胞数目最少，应选用的镜头组合是（ ）

A．乙和丙 B．乙和丁

C．甲和丙 D．甲和丁

27.生物既能适应环境，也能影响环境。下列现象中，能体现生物影响环境的是（ ）

A．荒漠中生物种类稀少 B．水质污染造成赤潮

C．蚯蚓能疏松土壤 D．鼠妇生活在阴暗的环境中

28.在调查校园生物中，以下同学的做法，正确的是（ ）

A．小军发现好几株他不认识的植物，于是把它们拔出来，带回家研究

B．小明发现一只老鼠，太恶心了，不记录

C．小梅拨开草丛，一只蟋蟀蹦了出来，很快蹦到校园外面去了，小梅把它记录下来

D．小伟调查记录中有蚰蜒，其他同学都没有，小伟决定把它删掉

29.小花发现自己前几天丢弃的果核在发霉，在生态系统中，这些霉菌属于（ ）

A．生产者 B．消费者

C．分解者 D．破坏者

30.下列关于生态系统的叙述不正确的是（ ）

A．生态系统是动态变化的

B．生态系统中各种成分所占比例是不会变化的

C．绿色植物是生态系统的基础，是比较稳定的

D．生态系统与外界环境不断进行水分、养分、气体等的交流

31.下列哪些现象不能说明生物的生活受非分生物环境因素的影响（ ）

A．春兰、秋菊、冬梅、夏荷在不同季节开花

B．白天花丛中翩翩起舞的蝴蝶

C．猫捉老鼠

D．飞蛾在夜晚的灯光下盘旋

32.下列成语或诗句不能体现出环境因素对生物影响的一项是（ ）

A．千里长堤，溃于蚁穴 B．人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开

C．螳螂捕蝉，黄雀在后 D．橘生淮南，则为橘，生于淮北，则为枳

33.仙人掌适宜生活在沙漠里，而不适宜生活在温暖潮湿的环境中，影响它生活的非生物因

素是（ ）

A．水分 B．空气

C．温度 D．土壤

34.在绿草地中生活的蚱蜢其体色往往是绿色的，这体现了生物与环境的关系是（ ）

A．生物适应环境 B．生物影响环境

C．环境影响生物 D．环境决定生物的体色

35.生物既能适应环境，也能影响环境。下列现象中，属于生物影响环境的是（ ）

A．大雁南飞 B．大树底下好乘凉

C．鱼儿离不开水 D．秋风扫落叶

36.生物既能适应环境，也能影响环境，下列实例中属于生物影响环境的是（ ）

A．森林净化空气 B．千里长堤，溃于蚁穴

C．北极熊体毛的颜色 D．蝗虫啃食庄稼

37.鱼类必须在水环境中生活，离开了水就会窒息死亡；狮子、猎豹等动物只能生活在草原

上，这说明生物与环境的关系是（ ）

A．生物的生存可以改变环境 B．生物能适应一定的环境

C．生物的生存依赖于一定的环境 D．生物能影响一定的环境

38.下列属于生态系统的是（ ）

A．我们的校园 B．老三河中的鲤鱼

C．白马湖中的鱼虾 D．自家菜园中的青菜

39.下列哪种生态系统属于人工的生态系统（ ）

A．森林生态系统 B．湿地生态系统

C．海洋生态系统 D．农田生态系统

40.右图为某地池塘生态环境中生物分布的示意图，图中哪一生物可用来合理推测太阳会穿透到此池塘的底部？

A．鱼 B．虾

C．水草 D．岸边植物

篇五：蝴蝶定理

蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。

这里介绍一种较为简便的初等数学证法。

证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。 ∵△AMD∽△CMB

∴AM/CM=AD/BC

∵SD=1/2AD，BT=1/2BC

∴AM/CM=AS/CT

又∵∠A=∠C

∴△AMS∽△CMT

∴∠MSX=∠MTY

∵∠OMX=∠OSX=90°

∴∠OMX+∠OSX=180°

∴O，S，X，M四点共圆

同理，O，T，Y，M四点共圆

∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX

∴∠MOX=∠MOY ，

∵OM⊥PQ

∴XM=YM

这个定理在椭圆中也成立，如图

1，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b＞r＞0）。 （Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；

（Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）。

求证：k1x1x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)

（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。 求证： | OP | = | OQ |。

（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）

2．解答：北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下：

（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分15分。

（Ⅰ）解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1

焦点坐标为

（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k?x代入椭圆方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2，

(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0

根据韦达定理，得

x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)， x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)，

所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ①

将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得

x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ②

由①，②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4)

所以结论成立。

（Ⅲ）证明：设点P（p，o），点Q（q，o）。

由C，P，H共线，得

(转载于:www.smhaida.com 海 达 范 文网:云尝广场舞蝴蝶翩翩飞)

(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4

解得P=(k1-k2)x2x4/(k1x1-k2x4)

由D，Q，G共线，同理可得

q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)

由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，变形得：

x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)

即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)

所以 |p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。

3．简评

本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。试题入门容易，第（Ⅰ）问考查椭圆方程、待定系数法、坐标平移和椭圆性质：焦点坐标、离心率、看图说话即可解决问题，但考查的却都是重点内容。

第（Ⅱ）问是典型的直线与椭圆的位置关系问题。待证式子中含有x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4这样的对称式，式子结构对称优美，和谐平衡，使人很容易联想起一元二次方程根与系数关系的韦达定理，启示了证明问题的思路。这里用到了解析几何最根本的思想和最根本的方法。解两个联立的二元二次方程组，用代入消元法得到一元二次方程，分离系数利用韦达定理给出关于x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4的表达式，再分别代入待证式两边运算即达到证明目的。证明的过程中，由两个联立方程组结构的相似性运用了“同理可得”，整个证明过程也令人赏心悦目，感受到了逻辑证明与表达的顺畅、简约的美的魅力。

第（Ⅲ）问证明中用到了三点共线的充要条件，用到了过两点的直线的斜率公式，分别解出p，q以后，|OP|=|OQ|等价转化成了p= -q（或p+q=0。）此时分析前提条件（Ⅱ）及待证结论p= -q，关键在于沟通k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)与x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)的联系。参考解答中的表述略去了一些变形的中间过程，使人不易看出沟通的线索，以及命题人变形的思路，因此读者理解起来感到困难。如果将两式做如下变形，则思路就显然顺畅自然。

设：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为①式，两边同取倒数，得

1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’

设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为 ②式，两边同取倒数，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’

将①’两边同乘以k1·k2，即得

k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4

它与②’完全一样。这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的，有分析、有综合，有思维，有运算。思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。

综观这道题的题目特征及解答过程，我们看到了用代数方程但方法处理几何问题的作用与威力。

4．赏析：

上面我们看到，试题的结构及其解答都令人感到赏心悦目，至此，我们不禁要追问一句：试题是怎么命制出来的？它的背景是什么？它对我们的数学学习与教学、高三复习与备考有什么启示？

关于圆，有一个有趣的定理：

蝴蝶定理 设AB是圆O的弦，M是AB的中点。过M作圆O的两弦CD、EF，CF、DE分别交AB于H、G。则MH=MG。

这个定理画出来的几何图，很像一只翩翩飞舞的蝴蝶，所以叫做蝴蝶定理（图2）。 盯着试题的图1仔细看，它像不像椭圆上翩翩飞舞的蝴蝶？

像，而且像极了。试题的证明过程及结果告诉我们，椭圆中蝴蝶定理依然成立，而且是用解析方法证明的。如果令椭圆的长轴，短轴相等，即a=b，则椭圆就变成了圆，椭圆中的蝴蝶定理就变成了圆上的蝴蝶定理，上面的证明一样适用。由于椭圆也可以看作将一个圆经“压缩变换”而得，故圆上的蝴蝶定理经“压缩变换”也可以变成椭圆上的蝴蝶定理。“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花。”读者诸君欣赏至此，是否体会到了数学命题几何专家命制高考试题的“高招”及良苦用心？

[关于“椭圆上的蝴蝶”，张景中院士在其献给中学生的礼物一书《数学家的眼光》“巧思妙解”一节中有着精妙的论述，有兴趣的读者请参阅该书P54-59]。

5．启示

椭圆上的蝴蝶翩翩飞舞，飞落到了北京数学高考试题的百花（草）园，令人欣喜异常。它虽然有着竞赛数学、仿射变换、数学名题的背景，然而这里证明它，却只用到了教科书里反复提到的三点共线问题和斜率公式，用到了解析几何最基本的方法。高级中学课本《平面解析几何》全一册（必修）数处提到三点共线问题，如P13习题一第14题：已知三点A（1，-1）、B（3，3）、C（4，5）。求证：三点在一条直线上：P17练习4：证明：已知三点A、B、C，如果直线AB、AC的斜率相等，那么这三点在同一条直线上；P27习题二第9题：证明三点A（1，3）、B（5，7）、C（10，12）在同一条直线上；P47复习参考题一第3题：用两种方法证明：三点A（-2，12）、B（1，3）、C（4，-6）在同一条直线上。你看，课本上的练习、习题、复习参考题，反复提到了三点共线的证明，并且强调用不同的方法来证明。为什么？你（老师、学生）关注到了它吗？

实际上，三点共线的不同证明，可以把解析几何第一章的重点基础知识充分调动起来，组织起来。你可以用基本公式——平面上两点间的距离公式

证明｜AC｜=｜AB∣+∣BC∣；你也可以应用定比分点公式x=（x1+λx2）/（1+λ）,y=（y1+λy2）/（1+λ）去证λ=（x1-x）/（x-x2）=（y1-y）/（y-y2）；你可以用过两点的直线的斜率公式Kp1p2=（y2-y1）/（x2-x1），去证KAB=KAC；你还可以先建立直线AB的方程f(x,y)=0，然后验证点C的坐标适合直线AB的方程即f(x,y)=0；你也可以在建立直线AB的方程之后，利用点到直线的距离公式

证明dc-AB=0；你还可以计算△ABC的面积，去证S△ABC=0。你看，有五、六种方法可以解决同一个问题，当然难度有高有低。一题多解中选择方法、优化方法也是能力（洞察、观察）的体现，从比较中才可以鉴别方法的优劣。据说考试下来，有一些重点中学的尖子生

对自己没能解答出第（Ⅲ）问很懊悔，一些老师也说这个题目“运算量太大难以完成”！不知读者诸君欣赏至此，能不能发现上述问题的症结究竟发生在哪里？北京市有许多重点中学的师生，对高中数学课本的习题不屑一顾，很少去钻研教材中的例题、习题，去寻求与发现知识之间的内在联系，

去总结解题的原则、思路与规律。各种各样的复习资料，几十套几十套的各地模拟试卷，使高三学生跳进题海做得昏天黑地而难以自拔，这哪里还谈得上素质教育与培养能力？我们应当从欣赏“翩翩飞舞的椭圆蝴蝶”中去用心体会“精选题目充分利用题目的“营养”价值”在数学教学与复习中的重要作用，从而解放思想，勇敢大胆地摒弃“题海战术”。而要使学生跳出题海，老师就必须首先跳入题海，“题海探珠”，感悟数学教育改革的真谛。——注重基础、注重理解、注重联系、注重能力。

补充：混沌论中蝴蝶定理

数学的一门分支是混沌论。混沌论中有一个非常著名的定理——蝴蝶定理。它是说，一些最轻微的因素，能够在复杂的环境中，引起滔天的巨浪，就好比地球南半球一只蝴蝶轻轻地扇动美丽的翅膀，那微小的气流，已足已引起北半球的飓风和海啸。

而我们怎能跟踪那叶尖的微微一颤呢？ 所以经济和气象都是不可预测的，正如人生无法预测。

四边形蝴蝶定理

若四边形一条对角线平分另一对角线，则过其交点的两条直线，以四边交点（邻边）的连线，与被平分的对角线的两个交点到对角线焦点距离相等。

证明过程中用到共边比例定理、共角比例定理。

如图：BG=CG,求证：EG=FG

连接CP，BS，BR，CQ

EG/BE*CF/FG=S△PGQ/S△PBQ* S△SCR/S△SGR=S△ABD/S△PBQ * S△SCR/S△ACD * S△PGQ/S△SGR

=AB*BD/BP*BQ * SC*CR/AC*DC * PG*QG/RG*SG

=S△ABC*S△BCD/S△BCP*BCQ * S△BCS*S△BCR/S△ABC*S△BCD * S△BCP*S△BCQ/S△BCR*S△BCS

=1

EG/BG=GF/CG

EG=GF

共边比例定理

若P,Q所在直线与A,B所在直线交于M,则PAB面积/QAB面积=PM/QM 共角比例定理

若两个三角形ABC与A1B1C1满足角CAB=角C1A1B1,则ABC面积/A1B1C1面

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