作业帮试求关于x,y的方程 x2＋y2＝208（x－y）的所有正整数解超
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 16:03:05
试求关于x,y的方程 x2＋y2＝208（x－y）的所有正整数解超
试求关于x,y的方程 x2＋y2＝208（x－y）的所有正整数解
超
试求关于x,y的方程 x2＋y2＝208（x－y）的所有正整数解超
等式右边是偶数,所以左边也是偶数,
所以x^2和y^2同时为奇数或同时为偶数,
假设x和y都是奇数,设为x=2a+1,y=2b+1,
则上式成为(2a+1)^2+(2b+1)^2=208[(2a+1)-(2b+1)],
展开后得4(a^2+a+b^2+b)+2=416(a-b),
右边能被4整除而左边不能（余数是2）,得到矛盾.
所以x,y必然都是偶数.
x和y都是奇数,设为x=2a,y=2b,
所以a^2+b^2=104(a-b)
同上推导知道a,b为偶数,重复此过程,最终可得到x=16m,y=16n,
且满足方程m^2+n^2=13(m-n).
移项知n^2+13n=13m-m^2,即n(n+13)=m(13-m).
左边>0,所以右边>0,知a
X^2 ＋ Y^2 ＝ 208（X－Y）
X^2 - 208X + AB + Y^2 + 208Y - AB = 0
使：
A + B = 208
A*N - B/N = 208
原方程即可变形如下：
(X-A)(X-B) + (Y+AN)(Y-B/N) = 0 可解出X1 = A，X2 = B、Y1 = -AN，Y2 = B/N。
因此对<...
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X^2 ＋ Y^2 ＝ 208（X－Y）
X^2 - 208X + AB + Y^2 + 208Y - AB = 0
使：
A + B = 208
A*N - B/N = 208
原方程即可变形如下：
(X-A)(X-B) + (Y+AN)(Y-B/N) = 0 可解出X1 = A，X2 = B、Y1 = -AN，Y2 = B/N。
因此对
A + B = 208
A*N - B/N = 208
研究208的因数，解此方程组得：
A = 160
B = 48
N = 1.5
AN = 240
BN = 32
因此，x2＋y2＝208（x－y）的所有正整数解有：
X1 = 160 ,Y1 = 32
X2 = 48 ,Y2 = 32
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