作业帮帮忙解一道证明题1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=(n(2n-1)(2n+1))/3
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 01:59:43
帮忙解一道证明题1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=(n(2n-1)(2n+1))/3
帮忙解一道证明题
1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=(n(2n-1)(2n+1))/3
帮忙解一道证明题1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=(n(2n-1)(2n+1))/3
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证：
用数学归纳法。
当n=1时，容易验证等式成立。
设当n=k时，等式成立，即：1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2=(k(2k-1)(2k+1))/3,
则当n=k+1时，
1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2+(2k+1)^2
=(k(2k-1)(2k+1))/3+(2k+1)^2
=(2k+1)[k(2k-1)...
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证：
用数学归纳法。
当n=1时，容易验证等式成立。
设当n=k时，等式成立，即：1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2=(k(2k-1)(2k+1))/3,
则当n=k+1时，
1^2+3^2+5^2+...+(2k-1)^2+(2k+1)^2
=(k(2k-1)(2k+1))/3+(2k+1)^2
=(2k+1)[k(2k-1)/3+(2k+1)]
=(2k+1)[2k^2-k+6k+3]/3
=(2k+1)[(k+1)(2k+3)]/3
=((k+1)((2k+1)-1)(2（k+1)+1))/3
即当n=k+1时，等式也成立，由数学归纳法可知，对所有正整数n，等式都成立
收起
(2n-1)^2=4n^2-4n+1
1^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2=
4(1^2+2^2+..+n^2)-4(1+...n)+n=(n(2n-1)(2n+1))/3
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