已知:a,b,c,d∈R,且a≥b,c≥d,求证:ac+bd≥1/2(a+b)(c+d)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/08 00:49:59

已知:a,b,c,d∈R,且a≥b,c≥d,求证:ac+bd≥1/2(a+b)(c+d)
已知:a,b,c,d∈R,且a≥b,c≥d,求证:ac+bd≥1/2(a+b)(c+d)

已知:a,b,c,d∈R,且a≥b,c≥d,求证:ac+bd≥1/2(a+b)(c+d)
由a,b,c,d∈R,且a≥b,c≥d得
a-b≥0,c-d≥0
(a-b)(c-d)≥0
ac+bd-ad-bc≥0
ac+bd≥ad+bc
1/2*(ac+bd)≥1/2*(ad+bc)
两边同时加上1/2*(ac+bd),得
ac+bd≥1/2*(ac+bd+ad+bc)
即ac+bd≥1/2*(a+b)(c+d)

由排序不等式,
我们显然有ac+bd≥ad+bc
右式展开得(1/2)(ac+bc+ad+bd)≤ac+bd