作业帮证明 √3+√2 是一个无理数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 08:35:01
证明 √3+√2 是一个无理数
证明 √3+√2 是一个无理数
证明 √3+√2 是一个无理数
证明：假设√3+√2是一个有理数p,那么：
√3+√2=p.
两边平方得到：
5＋2√6＝p^2.
即√6=(p^2-5)/2
由于p是有理数,所以√6是有理数.但这是不可能的,再次使用反证法,假设√6是有理数p/q,（其中p,q互质且p,q都是正整数）,那么：
p=q√6.
平方得到：
p^2=6q^2.
由于6是2的倍数,所以2整除p^2.又因为2是质数,所以2整除p.因此p^2是4的倍数.所以4整除6q^2,所以2整除q^2.因此2整除q.所以2就是p和q的公因数,与先前假设的p,q互质矛盾!
因此√6不是有理数,所以√3+√2 是一个无理数.
用反证法.假设√3+√2 是一个有理数,则√3+√2的平方等于5+√6也是一个有理数,则√6也是一个有理数.用证明√2是无理数的方法很容易证明√6也是无理数,所以原假设错误.故√3+√2 是一个无理数.