高中数学题(充要条件)求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy大于等于0

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/18 02:36:01

高中数学题(充要条件)求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy大于等于0
高中数学题(充要条件)
求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy大于等于0

高中数学题(充要条件)求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy大于等于0
1 将已知等式两边平方得：
|x+y|^2=(|x|+|y|)^2,即x^2+2xy+y^2=x^2+y^2+2|xy|
所以xy=|xy|≥0
故xy≥0是|x+y|=|x|+|y|的必要条件
2 当xy≥0时,xy=|x||y|
从而有|x+y|^2=x^2+y^2+2xy=|x|^2+|y|^2+2|x||y|=(|x|+|y|)^2
所以|x+y|=|x|+|y|
故xy≥0是|x+y|=|x|+|y|的充分条件
综上知,|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0

用反证法。
假设xy小于0
则（x大于0，y小于0）或（x小于0，y大于0）
因为x,y的绝对值不管大于0还是小于0都为正，所以不等于x加y的绝对值（因为x，y中有一个负数），所以假设不成立，所以原结论正确。
以后遇到这种问题，最好就用假设法，会方便很多。
步骤是先假设一个结论，与题目的结论相反，然后再进行证明就会发现自己的假设与常理矛盾，这样，就说明，题目...

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