两点间直线距离公式

篇一：平面上两点间的距离和点到直线的距离公式

平面上两点间的距离和点到直线的距离公式

江苏省沛县第二中学数学组 张驰 221600

1.平面上两点间的距离公式

⑴设P1(x1，y1)，P2(x2，

y2)，则P1P2?。 特别地，

当P1P2⊥x

轴时，P1P2???|y2?y1|； 当P1P2⊥y

轴时，P1P2???|x2?x1|。 ⑵设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线y?kx?b上时，

则P1P2或

P1P2

??

??

x2?

x1|?

，

y2?

y1|?点评：求距离（长度）和参数的值等。

2.线段的中点坐标公式

x1?x2?x??2

P2(x2，y2)，⑴设P1(x1，y1)，线段P1P2的中点M(x，y)，则??

?y?y1?y2??2

。

⑵设?ABC的顶点坐标为A

x1?x2?x3?

x???3

G(x，y)，则?

?y?y1?y2?y3?3?

(x1，y1)

，B

(x2，y2)

，C

(x3，y3)

，重心

。

点评：利用线段的中点坐标公式可研究图形的轴对称和中心对称

（a，b）以及三角形等问题。如：曲线f(x，y)?0关于点中心对称的曲线（0，0）中心对称的曲线方程是f(2a?x，2b?y)?0；曲线f(x，y)?0关于点

方程是f(?x，?y)?0；曲线f(x，y)?0关于y轴对称的曲线方程是

曲线f(x，y)?0关于x轴对称的曲线方程是f(x， f(?x，y)?0；?y)?0等。

3.点到直线的距离

⑴点P(x0，y0)到直线Ax?by?c?0(A2?B2?0)的距离是

d?

|Ax?By?c|

；

⑵点P

(x0，y0)到直线y?kx?

b的距离是d?

。

到

点评：点P

(x0，y0)到直线x?a的距离是d?|x0?a|；点P(x0，y0)

直线的y?b距离是d?|y0?b|；特别地，点P(x0，y0)到直线x?0（y轴）距离是d?|x0|；点P(x0，y0)到直线y?0（x轴）距离是d?|y0|。，

4.两条平行线之间的距离 ⑴设A2?B2?0，c1?c2，则直线Ax?by?c1?0与直线Ax?by?c2?0之

间的距离是d

⑵直线

(b1?b2)。

?

y?kx?

直线

y?kx?

b之间的距离

是d?2

|b?b|b与1

，

点评：利用点到直线的距离可研究三角形、直线和圆等有关问题

篇二：两点间的距离公式

两点间的距离公式

一、教学目标：

1、 知识目标

探索并掌握两点间的距离公式的发生、发展过程。利用坐标法证明简单的平面几何问题；

2、 能力目标

掌握渗透于本节课中的数形结合思想、由特殊到一般的思想。培养学生探索能力、研究能力、表达能力、团结协作能力；

3、 情感目标

探索过程中体验与他人合作的重要性、感受发现所带来的快乐。体验由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识的基本规律。

二、教学重点和难点：

重点：两点间的距离公式及公式的推导过程；

难点：用坐标法证明简单的平面几何问题，本节课中的例4是教学中的难点。

三、教学方法：提问、思考、讨论、总结；

四、教学流程：

（一）提出问题，引入新课 (3分钟)

问题1：已知数轴上两点A（—2，0），B（3，0）的坐标，求AB间的距离。 （学生先思考片刻，叫一学生回答，老师按学生的思路板书分析，得出答案是5。） 问题2：若A，B两点在X轴上或与X轴平行，A?x1,0?,B?x2,0?，距离又是多少呢（学生受上题的引导，会在草稿纸上画图分析，思考片刻后，请一同学回答|AB|=x1?x2） 问题3：若A，B两点在Y轴上或与Y轴平行，A?y1,0?,B?y2,0?，距离又是多少呢？（全班同学齐答|AB|=y1?y2）

师总结：对上述问题的分析，我们不难得出与坐标轴平行的线段的长度都可以通过点的坐标求出来，若有向线段与坐标轴不平行时，能否通过端点的坐标求出线段的长即两端点间的距离呢？本节课我们就一起来探讨这个问题。

(教师板书课题《两点间的距离公式》)

（二）设置问题，合作探究 （7分钟）

已知：平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，怎样求两点PP12间的距离？

老师在直角坐标系上画出两点（与坐标轴不平行），如图所示；引导学生能否借助PP12点，作出与坐标轴平行的线段，利用勾股定理即可求出线段的长．具体解法如下：如图所示，设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，从P1、P2分别向x轴和y轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、P2N2，垂足分别为M1(x1，0)、N1(0，y1)、M2(x2，0)、N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2相交于点Q．

在Rt△PPQ中，PP1212

∵PQ?M1M2=x1?x2．∴|PQ11|=|x1?x2|．

∴PQ=N1N2=y1?y2．∴|PQ|= y1?y2． 22

∴PP12=x1?x2+ y1?y2=?x1?x2?+?y1?y2?．

222222?PQ?P2Q． 122

老师总结：以上解法是利用勾股定理将直角坐标系中两点间的距离化为数轴上两点间的距离来求，这里用到了化归的方法．在上述过程中，我们强调点不在坐标轴上或两点的连线不与坐标轴平行，那么当点满足上述条件时，这个公式是否也成立？老师提出问题，学生可以分组讨论，最后叫学生代表得出结论，以上公式也适合。

特别的，原点O（0，0）与任一点P（x，y

问题4：同学们是否可以用其他的方法来探求这个问题？（稍侯，引导学生主动发言） 学生对旧知识的回顾可以用向量的模长来表示两点间的距离公式；培养学生善于联想，新旧知识间的内在联系，激发学习的兴趣。

（三）例题训练，熟悉公式

师：请同学们把课本翻到106页，完成第一题；请两个学生黑板上演板。老师结合学生练习情况作点评。（3分钟）

例3：以知点A（-1，2），B（2

），在x轴上求一点，使 PA?PB,并求PA的值。（12分钟）

分析：P点坐标是关键，如何设该点坐标?(适当发散，y轴上点，某直线上的点如何表示)

(转 载于:wWw.SmHaIDA.cOM 海达 范文 网:两点间直线距离公式)

解：设所求点P（x，0），于是有

?

22由 P?P得 x?2x?5?x?4x?11解得 x=1。

所以，所求点P（1，0）且

PA?

对两点间距离公式理解，应用。

问题5：同学们，以上这种解法是利用刚才所学的两点间距离公式来解决的，我们能否用其他的解法？（学生思考，讨论，教师巡视，叫一学生板书）

解法二：由已知得，

线段AB的中点为Ｍ?

? 通过例题，使学生?1，直线AB的斜率

为

?2??

３1??

?ｘ－?３2??

线段AB的垂直平分线的方程是

３1???ｘ－? 2??

在上述式子中，令y=0，解得x=1。 所以所求点P的坐标为（1，

0）。因此

老师对这位同学的解法作讲解，突出本题可运用平面几何的一个性质定理，线段中垂线上的点到两短点的距离相等。

问题6：试在X轴上求一点M使MA?MB的距离最短，求出

M点坐标。

（学生先独立思考后可讨论，并请一学生代表发言）得出解题思路：作B点关于X轴的对称点C(2,，连接AC，即AC两点间的距离为所求的最小值，AB直线与X轴的交点为所求的M点。

（四）巩固反思，灵活应用 （用两点间距离公式来证明几何问题。）

例4： 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。（15分钟）

分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。

这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤，适时渗透文字语言，图形语言，符号语言的转化。 证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０），设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），（为什么？）又因为

AB?a2CD?a2AD?b2?c2?BC，

２２，＝?ｂ－ａ?＋ｃAC??a?b?＋ｃ， 22222２２所以，?

２＝２ａ＋ｂ＋ｃ?２２２?.

所以，.

因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

问题7：在例4中，是否还有其他建立坐标系的方法？

（把学生不同的方法在投影仪上放映）让学生体会建立坐标系对证明平面几何问题的重要性，不同的建系，点坐标不同，起实质是一样的。（3分钟）

老师总结：通过例4初步总结用坐标法解决平面几何问题的基本步骤

第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；

第二步：进行有关代数运算；

第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系；

五、归纳小结：（2分钟）

1、 探究两点间的距离公式的推导过程及公式的应用。

2、 用坐标法证明平面几何问题初步。

六、作业布置：课本第110页第6，7，8题（A组），第117页第8题（B组）

七、教学反思，板书设计：

篇三：两点间距离公式

两点间距离公式

在平面内:

设A（X1，Y1）、B（X2，Y2），

则∣AB∣=√[（X1- X2）^2+（Y1- Y2）^2]= √(1+k2) ∣X1 -X2∣， 或者∣AB∣=∣X1 -X2∣secα=∣Y1 -Y2∣/sinα， 其中α为直线AB的倾斜角，k为直线AB的斜率。 在空间中:

设A（x1,y1,z1）,B（x2,y2,z2）

|AB|=√[(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1-z2)^2)]

证明很简单,套用两次勾股定理

极坐标两点间公式推导

设P1(ρ1,θ1)

P2(ρ2,θ2)

ΔOP1P2中

由余弦定理

|OP1|^2+|OP2|^2-2|OP1|*|OP2|*cos(θ1-θ2)=|P1P2|^2 (ρ1)^2+(ρ2)^2-2ρ1ρ2cos(θ1-θ2)=|P1P2|^2

|P1P2|=√[(ρ1)^2+(ρ2)^2-2ρ1ρ2cos(θ1-θ2)]

1． A（0，3）

B（-4，0）则点O到AB距离（）

A（2，1）点P到两坐标轴的距离分别与P到A的距离相等，标（）

M（-2，4）与点N（A，5）距离为更号10，那么A=（） 则点P坐

A（-2更号2，0）B（-更号2，更号2），那么三角形ABO是什么三角形？（）

简答题

A（-2，3） B（4，-5）

求点A关于X轴的C的坐标

求线段BC的长

求三角形ABC面积

在X轴上求点P，使它到点（1，-2）的距离是它到点（-2，1）的距离的两倍

已知 A（2，0 ）

B（3，1）

C（2，2）

求三角形ABC 形状 和 面积

A（1，1）

B（3，-1）

试在X轴上找点C，使三角形ABC为直角三角形

A（-2，4）

B（6，8）

试在X轴上找点C，使三角形ABC为等腰三角形

答案

点O到AB距离为12\5

A（2，1）点P到两坐标轴的距离分别与P到A的距离相等，则点P坐标（1,1）或（5,5）

M（-2，4）与点N（A，5）距离为更号10，那么A=（1或-5）

A（-2更号2，0）B（-更号2，更号2），那么三角形ABO是什么三角形？（等腰直角）

2．利用两点间距离公式求出满足下列条件的实数x的集合:|x-1|+|x-2|>3

这个么就是 有一条数轴

然后就是离 1和2的距离的和大于3的就是这道题的解

所以就是x大于3或者是x小于0

要两点距离公式的话

个么就是 有(x,0) 还有(1,0) (2,0)三个点

然后 三点的距离就是 根号(x-1)^2+根号(x-2)^2>3

两组异面直线角和距离的公式及应用

浙江宁波中学 蒋裕源

源于教材、高于教材、培养学生综合解决问题能力是广大同行的追求，本文仅就《立体几何》现行教材中一个例题的推广，说明其应用，供读者参考．

定理2 设α，β所成角为θ，AC＝m，BD＝n，则异面直线AB和CD的距离

证明 如图2，过CD作平行于l的平面，与α，β分别交于CN，DM，则DM∥CN∥AB，过A，B分别在α，β内作AB垂线，交DM，CN于M，N，则∠MAC为二面角α－AB－β的平面角，故∠MAC＝θ．

AB⊥面MAC，又AB∥CN，

∴面CD⊥面MAC，

面CD∩面MAC＝CM，

作AH⊥CM，

∴AH⊥面CD又AH⊥AB，

∴AH是平行的直线AB与面CD间的距离，即异面直线AB与CD间的距离． ∵AC＝m，CD＝n＝AM，

下面就上述定理的应用，介绍几例．

例1 如图3，边长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，

(1)求异面直线AB与A1C距离；

(2)求异面直线BD与B1C距离．

篇四：两点间的距离公式

课题：19.10 两点的距离公式

一、教学目标

1、 了解两点的距离公式的推导过程，感受坐标平面上的两点的距离公式的导出是对同一坐

标轴上的两点（或平行于同一坐标轴的直线两点）的距离公式的拓展。

2、 理解并初步掌握两点的距离，知道两点的距离公式是利用勾股定理进行数量化研究的体

现。

3、 会用两点的距离公式解决一些坐标平面内基本的简单问题；

二、教学重点、难点

重点：正确运用两点的距离公式。

难点：运用两点的距离公式解决简单的问题。 三、教材分析

七年级第二学期平面直角坐标系内在坐标轴上（或平行于坐标轴）的两点之间的距离，

计算两点之间的距离属于比较特殊的点，本节课借助于前一节课学习的“勾股定理”可以解决在平面直角坐标系内任意两点间的距离，是对前面知识的补充，更为以后的数学学习奠定基础。

四、学情分析

学生在七年级的学习中已经能够掌握点的坐标表示，可以简单计算在坐标轴上（或平行于坐标轴）的两点之间的距离。学生们学习了19.9“勾股定理及逆定理”之后，在学习本节课时能运用“勾股定理”在平面直角坐标系中构造直角三角形引出“两点间的距离”公式，为本节课新知识点的生长点提供了理论基础。在具体解题中培养“数形结合”的习惯，结合线段垂直平分线定理和勾股定理进行解题，对学生来讲有一定难度。

五、教学过程

例题一、

例题二、

学生作业板演

AB?

篇五：两点间距离公式的应用

两点间距离公式的应用

两点的距离公式是解析几何中最基本、最重要的公式之一，它的应用非常广泛，主要作为一种运算工具渗透于解析几何中.下面就两点距离公式的应用举例说明.

一、证明三点共线

方法：利用两点间的距离公式先求出已知三点每两点间的线段长度，若其中一条线段的长度等于另外两条线段的长度之和，则已知三点共线.

例1 试证明M(1，3)、N(0，1)、P(－3，－5)在同一条直线上.

解析：由两点距离公式，得

|MN|＝－0)2＋(3－1)2＝，

|MP|＋3)2＋(3＋5)2＝45，

|NP|＝＋3)＋(1＋5)＝35，

故有|MN|＋|NP|＝|MP|，所以M、N、P三点共线.

点评：本题解答主要就是利用两点距离公式，注意千万别代错了坐标，公式可简记为：“纵差方，横差方，加起来，开平方”.

二、判断三角形的形状

方法：先利用两点间的距离公式求出三角形三边长度，再观察三边长度关系，从而确定三角形形状. 例2 在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点分别为A(1，4)、B(4，0)、C(－3，1)，试判断三角形的形状.

解：由两点距离公式，得 |AB|＝－4)＋(4－0)＝5，

|BC|＝＋3)2＋(0－1)2＝52，

|AC|＝＋3)2＋(4－1)2＝5，

因此|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，故△ABC为等腰直角三角形.

点评：本题解答与利用两点间的距离公式证明三点共线方法一样，只不过线段长度关系不一样.

三、求点的坐标

方法：利用已知线段的长度或线段的相等关系，根据两点间的距离公式建立所求点的坐标x、y的方程(组)，由此可解得所求点的坐标.

例3 已知矩形ABCD的两个顶点A(－1，3)，B(－2，4)，若它的对角线的交点M在x轴上，求C、D两点的坐标.

解：设点M的坐标为(x，0)，由|MA|＝|MB|根据两点的距离公式，得

＋1)2＋(0－3)2＝(x＋2)2＋(0－4)2，解得x＝－5，

又点M是AC与BD的中点，根据中点坐标公式可得C(－9，－3)，D(－8，－4).

点评：由于本题对两点距离公式的考查是依托于矩形ABCD，因此，解答时要充分联系矩形的几何性质，如线段的相等关系、线段中点等.

四、求函数的最值

方法：根据函数表达式转化为具有两点距离公式的结构，再转化为几何问题，利用几何知识求解. 例4 求函数y2－2x＋2＋2－4x＋8的最小值．

解析：通过配方化函数为y－1)＋(0＋1)＋－2)＋(0－2)，观察此式子的结构，易联想到两点的距离公式，将y可看作点P(x，0)到点M(1，－1)和点N(2，2)距离之和.则 y＝(x－1)＋(0＋1)＋(x－2)＋(0－2)

＝|MP|＋|PN|≥|MN|＝(1－2)2＋(－1－2)2＝

点评：本题若用纯代数知识求解，难以求得结果，而上述解法通过转化，联想两点的距离公式，利用“两点之间线段最短”，使问题迎刃而解.

五、判断两圆的位置关系

方法：求利用两点间的距离公式求得两圆的圆心距，再与两圆的半径的半径和与差的关系，从而判断

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出两圆的位置关系.

222222例5 已知圆C1：x＋y－2mx＋4y＋m－5＝0和圆C2：x＋y＋2x－2my＋(m－3)＝0,当m为何值时，

两圆(1)圆C1与C2相切；(2)圆C1与C2内含.

解析：将两圆方程配方，得C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4,

(1)若外切，则＋1) 2＋(m＋2) 2＝3＋2，解得m＝－5或m＝2；

若内切，则(m＋1) 2＋(m＋2) 2＝3－2，解得m＝－1或m＝－2；

2 22(2)若内含，则＋1)＋(m＋2)＜3－2，即m＋3m＋2＜0，解得 －2＜m＜－1.

点评：此类题为判断两圆的位置关系的逆向思维题，只须利用两圆位置关系相应的条件就可解答，但要注意两圆相切须分外切与内切.

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