圆圈内有三角的符号

篇一：三角函数的符号

年 月 日备

篇二：3.三角符号

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高考数学母题

[母题]Ⅰ(6-03):三角符号(119) 357

三角符号

年安徽春招试题)若角α满足条件sin2α<0,cosα-sinα<0,则α在( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

[解析]:在下面我们将学到公式sin2α=2sinαcoα;所以,由sin2α<0?sinαcosα<0,又由cosα-sinα<0?sinα>

0,cosα<0?α在第二象限.故选(B).

[点评]:利用三角函数的定义可得三角函数的符号如右表,三角函数的符号

在三角问题中占有十分重要的地位

,可有效的避免由于多值而发生的错误. 年全国Ⅱ高考试题)若sinα<0,且tanα>0,则α是( ) (A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角

[解析]:由sinα<0?α是第三、四象限角;又由tanα>0?α是第三象限角.故选(C).

注:由一个三角函数的符号可确定这个角可能在两个象限,两个三角函数的符号确定的这个角是它们的公共象限.

年上海高考试题)若sin

?3?4

=,cos=-,则θ角的终边在( ) 2525

?

2

?2

?2

?2

35

第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

[解析]:解决本题需利用如下两个公式:sinθ=2sincos,cosθ=2cos2-1;由sin=,cos=-<0,cosθ=

7

>0?θ角的终边在第四象限.故选(D). 25

?2424

?sinθ=-525

注:确定角θ所在的象限,就是根据已知条件,求出(或判断)正弦、余弦、正切中的其中两个的值(或符号

). 年第四届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)α≠cscα中任意给定两个的数值,则角α的终边( )

(A)只有一个位置 (B)恰有两个位置 (C)恰有四个位置 (D)有一个或两个位置

1

kπ,在sinα,cosα,tanα,cotα,secα, 2

[解析]:若已知sinα,cosα的值,则α只能在一个象限,终边只有一个位置;若已知tanα,cotα的值,则α可能在二个

象限,终边恰有两个位置.故选(D). 注:三角函数有六个,还有正割(secα

=1.(2014年山东春招试题)若点P(sinα,tanα)在第三象限内,则角α是( )

(A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角 2.(2001年全国高考试题)若sinθcosθ>0,则θ在( )

(A)第一、二象限 (B)第一、三象限 (C)第一、四象限 (D)第二、四象限 3.(2007年北京高考试题)已知cosθtanθ<0,那么角θ是( )

(A)第一或第二象限角 (B)第二或第三象限角 (C)第三或第四象限角 (D)第一或第四象限角 4.(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)已知tanα>0,且sinα+cosα>0,那么角α的终边所在( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

5.(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)不等式tanx>0的解集是P1,不等式sinxcosx>0的解集是P2,不等

11rr=)和余割(cscα==),它们形成一个完整的系统. xcos?ysin?

358 [母题]Ⅰ(6-03):三角符号(119)

式secxcscx>0的解集是P3,则有( )

(A)P1=P2=P3 (B)P1?P2=P3 (C)P1=P2?P3 (D)P3?P1=P2 6.(1990年全国高考试题)函数y=

|cosx||cotx|sinxtanx+++的值域是( ) cosxcotx|sinx||tanx|

(A){-2,4} (B){-2,0,4} (C){-2,0,2,4} (D){-4,-2,0,4} 7.(2004年辽宁高考试题)若cosθ>0,且sin2θ<0,则角θ的终边所在象限是( )

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 8.(2014年课标Ⅰ高考试题)若tanα>0,则( )

(A)sinα>0 (B)cosα>0 (C)sin2α>0 (D)cos2α>0 9.(1990年上海高考试题)设α角属于第Ⅱ象限,且|cos

???

|=-cos,则角属于( ) 222

(A)第Ⅰ象限 (B)第Ⅱ象限 (C)第Ⅲ象限 (D)第Ⅳ象限

10.(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)若cosx,sinx,1这三个数成等比数列,则角x的终边在( ) (A)第1或第2象限 (B)第2或第3象限 (C)第3或第4象限 (D)第1或第4象限 11.(1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)若sin

?4

=,且sinθ<0,则θ所在的象限是第 象限. 25

12.(1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)如果sinα+cosα>tanα+cotα,那么角α的终边所在的象限是( ) (A)一或二 (B)二或三 (C)二或四 (D)一或四 13.(2007年全国Ⅰ高考试题)α是第四象限角,tanα=-14.(2012年山东春招试题)已知cos?=-1.解:由点P(sinα,tanα)在第三象限内?sinα<0,tanα<0?角α是第四象限角.故选(D). 2.解:由sinθcosθ>0?sinθ与cosθ同号?θ在第一、三象限.故选(B). 3.解:由cosθtanθ<0?cosθ与tanθ异号?θ在第三或第四象限角.故选(C). 4.解:由tanα>0?α在第一、三象限;又sinα+cosα>0?α在第一象限.故选(A).

5.解:由secxcscx>0?sinxcosx>0?x在第一、三象限;tanx>0?x在第一、三象限.故选(A).

6.解:①当x在第一象限时,y=4;②当x在第二象限时,y=-2;③当x在第三象限时,y=0;④当x在第四象限时,y=-2.故选(B).

7.解:由cosθ>0,sin2θ=2sinθcosθ<0?sinθ<0?θ的终边所在第四象限.故选(D). 8.解:由tanα>0?α在第一、三象限?sinαcosα>0?sin2α=2sinαcosα>0.故选(C). 9.解:由α角属于第Ⅱ象限?

x

51155

,则sinα=( ) (A) (B)- (C) (D)- 12551313

4

,且?是第二象限角,则tan?等于 .

5

?????

在第一、三象限;又由|cos|=-cos?cos≤0?在第三象限.故选(C). 22222

10.解:由sinx=cosx>0?x的终边在第1或第4象限.故选(D). 11.解:由cosθ=1-2sin

2

?

<0?θ所在的象限是第三象限. 2

00

12.解:取α=45,则sinα+cosα=2,tanα+cotα=2,不符合;取α=225,则sinα+cosα=-,tanα+cotα=2,不符合.

故选(C). 13.解:由tanα=-14.解:由cos?=-y55

=?x=12,y=-5?r=13?sinα=-.故选(D). 12x13

4x3=?x=-4,y=3?tan?=-. 5r4

篇三：三角函数符号

正确认识三角函数符号

内蒙古师范大学锦实验中学 孟庆林 024400

?a href="http://www.zw2.cn/zhuanti/guanyuwozuowen/" target="_blank" class="keylink">我饨堑娜呛ㄒ甯嫠呶颐牵堑闹毡叩奈恢镁龆ㄗ耪飧鼋堑娜呛姆牛庖坏惚匦胍鹞颐堑闹厥樱裨蚓突岱复砦螅聪旅娴睦樱?/p>

例：求证角θ为第二象限的充分必要条件是

?sinA?0?????(1) ?cosA?0?????(2)?

【常见错解】

(1) 先证充分性

∵角A为第二象限的角

∴有sinA>0，cosA<0

(2) 再证必要性

由sinA>0得A在一、二象限

由cosA<0得A在二，三象限

综上所知A在第二象限。

∴求证角A为第二象限的充分必要条件是??sinA?0?????(1) cosA?0?????(2)?

【诊断分析】

本题的证明存在以下几个方面的错误:1是在证明充分性和必要性时出现了顺序性的错误，误把必要性证成了充分性，也误把充分性证成了必要性；2是由sinA>0得A在一、二象限是错误的，sinA>0得A可在一、二象限，也可在y轴的正半轴上，由cosA<0得A在二，三象限也是错误的，由cosA<0得A可在二，三象限，也可在x轴的负半轴上，这样的推理才严密。

事实上，证明一个命题的充分必要性，首先要把所给的命题写成标准的命题形式，那么本题的标准命题形式应该是:

如果??sinA?0?????(1)，那么角A为第二象限的角。

?cosA?0?????(2)

?sinA?0?????(1)证到角A为第二象限的角，cosA?0?????(2)?

?sinA?0?????(1)。

?cosA?0?????(2)也就是说在证充分性时，应该从?证明它的必要性应该从角A为第二象限的角到?

【正确解答】

(1) 先证充分性

由sinA>0得A在一、二象限或在y轴的正半轴上，由cosA<0得A在二，三象限或在x轴的负半轴上，综上所知A在第二象限。

(2) 再证必要性

∵角A为第二象限的角

∴有sinA>0，cosA<0

错在何处

内蒙古师范大学锦实验中学 孟庆林 024400

例：已知AB和CD是平面α内相距28cm的两条平行直线，EF是平面α外和AB平行又和AB相距17cm，和平面α相距25cm的一条直线，求EF和CD间的距离。

【常见错解】

在直线EF上任取一点M，过M作MH⊥平面α，垂足为H，(如图所示)则线段MH的长是EF和平面α的距离，由题设条件可

得MH=15cm。

在平面α内作过H作直线AB的垂线，分别交AB，CD于

P，Q，则线段PQ的长就是平行线AB和CD的距离，由题

条件可知，PQ=28cm。

连接MP，MQ，则MP⊥AB，MQ⊥CD

∴线段MP和MQ的长分别是直线EF和直线AB，直线EF

和直线CD的距离，由题设条件可知MP=17cm

在直角三角形MHP中，

PH2=MP2-MH2=172-152=64

∴PH=8cm

∴HQ=HP+PQ=8+28=36cm

在RtΔMHQ中

MQ2=MH2+HQ2=152+362=392

∴MQ=39cm

所以EF和CD之间的距离是39cm。

【诊断分析】

本题在在题设的条件下部分元素的位置关系是确定的，部分

元素的位置关系是变化的。这里是指平面α外的直线EF是

变化的，这就使得EF在平面α上的射影可以在平行直线的

外部，当然也可以在平行直线的内部，因此必须分不同的

情况进行讨论，产生错误的原因是我们没有看到这种变化

的因素，因此在处理空间几何问题时，必须有认元素运动

的意识。

事实上，错解中只给出了三种情况的一种(如图1)，当

EF在平面α上的射影在AB和CD的内部时，(如图2)

则HQ=PQ-PH=28-8=20

在RtΔMHQ中

MQ2=MH2+HQ2=152+202=252

∴MQ=25

所以EF和CD之间的距离是25cm。

如果点H在线段PQ的延长线上，(如图3所示)，则PH>PQ，这就与PH=8，PQ=28矛盾。所以这种情况不可能。

综上所述，EF和CD的距离是39cm或25cm。

篇四：符号三角形问题

符号三角形问题

问题描述：

如下图是由14个“+”和14个“-”组成的符号三角形, 2个同号下面都是“+”，2个异号下面都是“-”。

+ + - + - + +

+ - - - - +

- + + + -

- + + -

- + -

- -

+

在一般情况下，符号三角形的第一行有n个符号, 符号三角形问题要求对于给定的n， 计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的“+”和“-”的个数相同。

解题思路：

1、不断改变第一行每个符号，搜索符合条件的解，可以使用递归回溯

为了便于运算，设+ 为0，- 为1，这样可以使用异或运算符表示符号三角形的关系 ++为+即0^0=0, --为+即1^1=0, +-为-即0^1=1, -+为-即1^0=1;

2、因为两种符号个数相同，可以对题解树剪枝，

当所有符号总数为奇数时无解，当某种符号超过总数一半时无解

源代码：

#include"iostream"

using namespace std;

typedef unsigned char uchar;

char cc[2]={'+','-'}; //便于输出

int n, //第一行符号总数

half, //全部符号总数一半

counter; //1计数，即“-”号计数

uchar **p; //符号存储空间

long sum; //符合条件的三角形计数

void Backtrace(int t) //t，第一行第t个符号

{

int i, j;

if( t > n )

{//符号填充完毕

sum++;

//打印符号

cout << "第" << sum << "个:\n";

for(i=1; i<=n; ++i)

{

for(j=1; j

{

cout << " ";

}

for(j=1; j<=n-i+1; ++j)

{

cout << cc[ p[i][j] ] << " ";

}

cout << "\n";

}

}

else

{

for(i=0; i<2; ++i)

{

p[1][t] = i; //第一行第t个符号

counter += i; //“-”号统计,因为"+"的值是0

for(j=2; j<=t; ++j) //当第一行符号>=2时，可以运算出下面行的某些符号，j可代表行号

{

p[j][t-j+1] = p[j-1][t-j+1]^p[j-1][t-j+2];//通过异或运算下行符号，t-j+1确定的很巧

counter += p[j][t-j+1];

}

if( (counter <= half) && ( t*(t+1)/2 - counter <= half) )

{//若符号统计未超过半数，并且另一种符号也未超过半数，同时隐含两者必须相等才能结束

Backtrace(t+1); //在第一行增加下一个符号

}

//回溯，判断另一种符号情况 像是出栈一样，恢复所有对counter的操作 for(j=2; j<=t; ++j)

{

counter -= p[j][t-j+1];

}

counter -= i;

}

}

}

int main()

{

cout << "请输入第一行符号个数n：";

cin >> n;

counter = 0;

sum = 0;

half = n*(n+1)/2;

int i=0;

if( half%2 == 0 )

{//总数须为偶数，若为奇数则无解

half /= 2;

p = new uchar *[n+1];

for(i=0; i<=n; ++i)

{

p[i] = new uchar[n+1];

memset(p[i], 0, sizeof(uchar)*(n+1)); }

Backtrace(1);

for(i=0; i<=n; ++i) //删除二维动态数组的方法 {

delete[] p[i];

}

delete[] p;

}

cout << "\n总共 " << sum << " 个"<< endl; return 0;

}

程序运行结果为12，所以又十二个不同的符号三角形。

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