相似三角形

篇一：初三数学相似三角形典例及练习(含答案)

初三数学相似三角形

（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：

1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。

2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。

3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。

4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题

本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。

（二）重要知识点介绍：

1. 比例线段的有关概念： 在比例式ac?(a：b?c：d)中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项， bd

b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。

2 把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线

段AB的黄金分割点。

2. 比例性质： ①基本性质：ac??ad?bc bd

②合比性质：aca±bc±d??? bdbd

acma?c?…?ma??…?(b?d?…?n≠0)?? bdnb?d?…?nb ③等比性质：

3. 平行线分线段成比例定理：

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。

则ABDEABDEBCEF?，?，?，… BCEFACDFACDF

②推论：平行于三角?a href="http://www.zw2.cn/zhuanti/guanyuwozuowen/" target="_blank" class="keylink">我槐叩闹毕呓仄渌奖撸ɑ蛄奖叩难映は撸┧玫亩杂ο叨纬杀壤?/p>

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

4. 相似三角形的判定：

①两角对应相等，两个三角形相似

②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

③三边对应成比例，两三角形相似

④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似

⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

5. 相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等

②相似三角形的对应边成比例

③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比

④相似三角形周长的比等于相似比

⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方

【典型例题】

例1. （1）在比例尺是1：8000000的《中国行政区》地图上，量得A、B两城市的距离是7.5厘米，那么A、B两城市的实际距离是__________千米。

（2）小芳的身高是1.6m，在某一时刻，她的影子长2m，此刻测得某建筑物的影长是18米，则此建筑物的高是_________米。

解：这是两道与比例有关的题目，都比较简单。

（1）应填600 （2）应填14.4。

例2. 如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式错误的是：

____________

ADAE?ABAC

DEAD C.?BCBD A.B.CEEA ?CFFBEFCF D.?ABCB

DEAD?， BCBD 分析：由DE∥BC，EF∥AB可知，A、B、D都正确。而不能得到

故应选C。利用平行线分线段成比例定理及推论求解时，一定要分清谁是截线、谁是被截

线，C中DE很显然是两平行线段的比，因此应是利用三角相似后对应边成比 BCDEADAE 例这一性质来写结论，即??BCABAC

例3. 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，

BP?1，CD?2，求△ABC的边长

3

解：∵△ABC是等边三角形

∴∠C=∠B=60°

又∵∠PDC=∠1+∠APD=∠1+60°

∠APB=∠1+∠C=∠1+60°

∴∠PDC=∠APB

∴△PDC∽△APB ∴PCCD ?ABPB

设PC=x，则AB=BC=1+x 2

x ∴?，∴x?2， 1?x1

∴AB=1+x=3。

∴△ABC的边长为3。

例4. 如图：四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a的正方形，

（1）求证：△AEF∽△CEA

（2）求证：∠AFB+∠ACB=45°

分析：因为△AEF、△CEA有公共角∠AEF

故要证明△AEF∽△CEA

只需证明两个三角形中，夹∠AEF、∠CEA的两边对应成比例即可。

证明：（1）∵四边形ABEG、GEFH、HFCD是正方形

∴AB=BE=EF=FC=a，∠ABE=90° ∴AE?2a，EC?2a

∴AE2aEC2a??2，?? EFaAE2a

∴AEEC ?EFAE

又∵∠CEA=∠AEF

∴△CEA∽△AEF

（2）∵△AEF∽△CEA

∴∠AFE=∠EAC

∵四边形ABEG是正方形

∴AD∥BC，AG=GE，AG⊥GE

∴∠ACB=∠CAD，∠EAG=45°

∴∠AFB+∠ACB=∠EAC+∠CAD=∠EAG

∴∠AFB+∠ACB=45°

例5. 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，EF经过点O且和两底平行，交AB于E，交CD于

F

求证：OE=OF

证明：∵AD∥EF∥BC OEAEOEEB ?，?BCABADAB

OEOEAEEBAB ∴?????1 BCADABABAB

111 ∴ ??BCADOE

111 同理： ??BCADOF

11 ∴∴OE=OF ?OEOF ∴

从本例的证明过程中，我们还可以得到以下重要的结论： 111 ??ADBCOE

1 ②AD∥EF∥BC?OE?OF?EF 2

11111212 ③AD∥EF∥BC? ? ??即???ADBCOEADBCEFOFEF2 ①AD∥EF∥BC?

这是梯形中的一个性质，由此可知，在AD、BC、EF中，已知任何两条线段的长度，都可以求出第三条线段的长度。

例6. 已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于

F

求证：AEAC ?AFAB

分析：观察AE、AF、AC、AB在图中的位置不宜直接通过两个三角形相似加以解决。因此可根据图中直角三角形多，因而相似三角形多的特点，可设法寻求中间量进行代

换，通过△ABD∽△ADE，可得：ABAD?，于是得到AD2?AE·AB，同理 ADAE

AEAC 可得到AD2?AF·AC，故可得：AE·AB?AF·AC，即?AFAB

证明：在△ABD和△ADE中，

∵∠ADB=∠AED=90°

∠BAD=∠DAE

∴△ABD∽△ADE ∴ABAD ?ADAE

2 ∴AD=AE·AB

同理：△ACD∽△ADF

2 可得：AD=AF·AC

∴AE·AB=AF·AC ∴AEAC ?AFAB

例7. 如图，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD=∠B，若AD=6，AB=8，BD=7，求DC的长。

分析：本题的图形是证明比例中项时经常使用的“公边共角”的基本图形，我们可以由基本图形中得到的相似三角形，从而得到对应边成比例，从而构造出关于所求线段的方程，使问题得以解决。

解：在△ADC和△BAC中

∵∠CAD=∠B，∠C=∠C

∴△ADC∽△BAC

篇二：初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)

经典练习题

相似三角形（附答案）

一．解答题（共30小题）

1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．

2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．

（1）求证：△CDF∽△BGF；

（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．

3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．

求证：△ABC∽△FDE．

4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．

5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．

（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；

（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；

（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．

6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．

7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．

（1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；

（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．

8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点?a href="http://www.zw2.cn/zhuanti/guanyurenzuowen/" target="_blank" class="keylink">人僭硕煌保鉔从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：

（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？

（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．

（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）

（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．

10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．

（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；

（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；

（3）求△BEC与△BEA的面积之比．

11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．

（1）求四边形AQMP的周长；

（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；

（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．

12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．

篇三：2014相似三角形中考试卷分类汇编

图形的相似与位似

一、选择题

1. （2014?山东潍坊，第8题3分）如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4．E是BC边上的一个动点，AE⊥上EF,EF交CD于点F．设BE=x,FC=y，则点 E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是（ ）

考点：动点问题的函数图象．

分析：易证△ABE∽△ECF，根据相似比得出函数表达式，在判断图像.

解答：因为△ABE∽△ECF，则BE：CF=AB：EC，即x：y=5：（4－x）y，

整理，得y=－?14（x－2）2+， 55

4）的抛物线．对应A选项． 5很明显函数图象是开口向下、顶点坐标是（2，

故选：A．

点评：此题考查了动点问题的函数图象，关键列出动点的函数关系，再判断选项．

2. (2014?年山东东营,第7题3分)下列关于位似图形的表述：

①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；

②位似图形一定有位似中心；

③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；

④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．

其中正确命题的序号是（ ）

A． ②③ B． ①② C． ③④ D． ②③④

考点： 位似变换；命题与定理．

分析： 利用位似图形的定义与性质分别判断得出即可．

解答： 解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故此选项错误； ②位似图形一定有位似中心，此选项正确；

③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，此选项正确；

④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比，此选项错误．

正确的选项为②③．

故选：A．

点评： 此题主要考查了位似图形的性质与定义，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．

3.（2014?四川凉山州，第7题，4分）如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似

4．（2014?四川泸州，第11题，3分）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，

F，则的值是（ ）

斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（ ）

6.（2014?甘肃白银、临夏,第10题3分）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连接ED交AB于点F，

AF=x（0.2≤x≤0.8），EC=y．则在下面函数图象中，大致能反映y与x之闻函数关系的是（ ）

4.

5.

6.

7.

8.

二、填空题

1.（2014?湖南怀化，第11题，3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，则S△ADE：S△ABC=．

2.．（2014?湖南张家界，第10题，3分）如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为 1：4 ．

篇四：相似三角形练习题及答案

相似三角形练习题

一、填空题：

1、若a?3m,m?2b，则a:b?_____。 2、已知

x3?y5?z6

，且3y?2z?6，则x?____,y?______。

。

3、在Rt△ABC中，斜边长为c，斜边上的中线长为m，则m:c?______4、反向延长线段AB至C，使AC＝

12

AB，那么BC：AB＝。

5、如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：2，若它们的周长的差为40厘米，则 △A′B′C′的周长为 厘米。

?6、如图，△AED∽△ABC，其中∠1＝∠B，则

?___?

AD

?___?

BC

?

?___?

AB

。

第6题图 第7题图

7、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若∠A＝30°，则BD：BC＝。 若BC＝6，AB＝10，则BD＝ ，CD＝ 。

8、如图，梯形ABCD中，DC∥AB，DC＝2cm，AB＝3.5cm，且MN∥PQ∥AB， DM＝MP＝PA，则MN＝ ，PQ＝ 。

N

A

第8题图 第9题图

9、如图，四边形ADEF为菱形，且AB＝14厘米，BC＝12厘米，AC＝10厘米，那BE＝厘米。

10、梯形的上底长1.2厘米，下底长1.8厘米，高1厘米，延长两腰后与下底所成的三角形的高为 厘米。 二、选择题：

11、下面四组线段中，不能成比例的是（ ）

A、a?3,b?6,c?2,d?4 B、a?1,b?

C、a?4,b?6,c?5,d?10 D、a?2,b?

2,c?

6,d?

3

3

5,c?,d?2

12、等边三角形的中线与中位线长的比值是（ ）

A、3:1 B、3:2 C、13、已知

x4

y5?

12:

32

D、1：3

??19

z7

，则下列等式成立的是（ ）

x?y?z

z

716

x?y?zx?y?z

83

A、

x?yx?y

B、

?

C、

?

D、y?z?3x

14、已知直角三角形三边分别为a,a?b,a?2b，?a?0,b?0?，则a:b?（ ） A、1：3 B、1：4 C、2：1 D、3：1

15、△ABC中，AB＝12，BC＝18，CA＝24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（ ）

A、27 B、12 C、18 D、20

16、已知a,b,c是△ABC的三条边，对应高分别为ha,hb,hc，且a:b:c?4:5:6，那么ha:hb:hc等于（ ）

A、4：5：6 B、6：5：4 C、15：12：10 D、10：12：15 17、一个三角形三边长之比为4：5：6，三边中点连线组成的三角形的周长为30cm，则原三角形最大边长为（ ）

A、44厘米 B、40厘米 C、36厘米 D、24厘米 18、下列判断正确的是（ ）

A、不全等的三角形一定不是相似三角形 B、不相似的三角形一定不是全等三角形 C、相似三角形一定不是全等三角形 D、全等三角形不一定是相似三角形

19、如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，EF∥BC，则图中与△ADC相似的三角形共有（ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、多于3个

B

第19题图 第20题图

20、如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的点，若BE：EC＝4：5，AE交BD于F，则BF：FD等于（ ）

A、4：5 B、3：5 C、4：9 D、3：8 三、解答题：

21、已知?x?y?:y?2:3，求

2x?5y3x?2y

的值。

解：

22、如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，且AC＝6厘米，AD＝4厘米，求AB与BC的长

解：

A

23、如图，△ABC中，若BC＝24厘米，BD＝

13

AB，且DE∥BC，求DE的长。

解：

24、如图，RtΔABC中斜边AB上一点M，MN⊥AB交AC于N，若AM＝3厘米，AB：AC＝5：4，求MN的长。

解：

B

四、证明题：

25、已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AB的中点，直线ED分别与对角线AC和BC的延长线交于M、N点

求证：MD：ME＝ND：NE

证明：

A

26、已知：如图，△ABC中，D在AC上，且AD：DC＝1：2，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，求证：BF：FC＝1：3。

证明：

24. 如图，在△ABC中，?BAC?90，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），EF?AB，EG?AC，垂足分别为F，G． （1）求证：

EGAD

?CGCD

?

A

F

；

B

（2）FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；

（3）当AB?AC时，△FDG为等腰直角三角形吗？并说明理由．（12分） 证明：

D E

C

26、（14分）如图，矩形ABCD中，AD?3厘米，AB?a厘米（a?3）．动点M，N同时从B点出发，分别沿B?A，B?C运动，速度是1厘米／秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q．当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为

t

秒．

（1）若a?4厘米，t?1秒，则PM?______厘米；

（2）若a?5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；

（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；

（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由． 解：

N

一、选择题 1. D 2. A 3. D 4. A 5. D 6. B 7. B 8. A

二、填空题 9.

37

10. 3858 11. 12.

?B??DCA

或?BAC

??D

或

ADAC

?

ACBC

49

13. 9.6

14. △AFD∽△EFC（或△EFC∽△EAB，或△EAB∽△AFD） 15. 12.6 16. 4.2

17. 2476099

18.

1

或2:

三、

19. ?CD∥BE，??DCO??E， 又?DOC??BOE， ?△OCD∽△OEB，

?ODOB

?OCOE

．

ODOB

2

又?AD∥BC．同理

?OCOE

?OAOC

?

OAOC

．

，即OC?OA?OE．

?

25. 解：（1）①2，60； ②2；

2分 4分

?

5)，△

AO1O2经过旋转相似变换A（2）得到△ABI，此时，线段O1O2变为线段BI；

6分

初中作文