两个同样的直角三角形

篇一：教案-直角三角形两个锐角互余

北师大版-七年级下册课本第五单元 三角形

直角三角形的两个锐角互余

教案背景：

1.面向学生：中学 2.学科：数学 3.课时：1/2课时

教学目标：

1.巩固上节课知识：“三角形内角和为180°”；“所有的三角形只能分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形”； 2.认识直角三角形，探索图形性质； 3.得出结论：“直角三角形的两个锐角互余”；

教学方法：

此节课以探索直角三角形的内角性质为主，让同学们掌握“直角三角形的两个锐角互余”这点知识，课上可积极鼓励同学们发散思维，探索知识，利用作图工具尽量探索出直角三角形的特性。课堂以小组实践探索为主，最后大家互相展示自己小组探索、找到的直角三角形性质。最后老师归纳强调。此节选用以学为主的教学模式中的启发式教学策略与方法，让学生养成自主探索、合作交流的学习方式，引导学生在已有知识的基础上通过观察来总结理论知识.

教学过程：

1.回顾上节课所学知识：

师：（1）三角形内角和为180°；（2）所有的三角形只能分为三类：锐角三角形、直

角三角形、钝角三角形。

（ Ppt显示一张“知识回顾”的主题页，以提问的方式，让同学自己回忆上节课知识，学生回答上一点，ppt显示一条；）

师：总结这一小节，做知识强调。(鼓励同学们的积极参与，激发积极性；） 随后ppt放映一张直角三角形的图片，

师：今天我们将要一块儿学习三角形里面特殊又别致的一个三角形，大家知道是什么

嚒？

生：看到ppt，异口同声的说：直角三角形。

师：情绪很兴奋的表扬同学们说：对，今天我们学习探究的就是它——直角三角形。

（老师以此引入知识主题，进入学习）

2.课程探究： 随后ppt放映：关于“我们一起来动手”的动画提示。

师：（用激励提问的语气）：“那么老师说它非一般，而且很特殊，那它到底有些什么样

的特殊地方呢？下面我就请大家作为探宝者，把它的秘密都给发掘出来”。

师：将全班分组（五组以内），让同学们利用手里的工具（直尺、量角尺）,随意构建任

何大小的直角三角形，老师重点要求作出“直角等腰三角形”、“30°直角三角形”两个RT△，让后让同学利用量角尺量出各角的度数并记录（PPT显示数据记录表一），根据数据记录来发现、探究、总结直角三角形锐角之间的规律和联系。每个小组最后选出自己小组最好的两条结论做展示；

师（平和）：“好了，现在掘宝时间到了，请各个小组展示你们探索到得秘密吧，老师拭

目以待大家的惊奇发现哦”！

ppt随后显示一张小组结论统计表二：

让每个小组展示本组发现的最有规律的RT△各项数据；老师在PPT表格上记录，并给小组结论给予表扬和鼓励；

3.知识交流：老师通过同学给出的数据和结论，得出同学们的知识探究情况，以及得出

书上的结论：直角三角形两个锐角互余； 对于要求探究的两个特殊RT△，

师：下面我们来看看大家对于老师给出的两个RT△有什么更独特的发现？随后PPT转换至

这两个RT△。并让同学记录的数据中不断的鼓励刺激同学举手发表自己的见解，老师一步一步通过同学发言总结出知识点：1.等腰RT△的两个底角都为45 o；2.有一个角为30 oRT△中，30 o所对的边长是斜边的1/2；

师：最后表扬大家，做出积极评价 4.总结交流结果，串通知识：

师（喜悦的）：通过前面大家的积极探索，我们今天就打开了RT△的特殊世界。下面我们

再一块儿总结一下前面我们探究得到的知识点，请同学们大声告诉我（通过知识梳理，让大家对知识点加深映像）：

PPT显示“知识梳理”（学生回答一点，显示一点）

生：1. 直角三角形两个锐角互余；

2.等边指教三角形的两个底角为45°；

师：同样的要是我们知道有一个RT△一个角为45°就可以推出？…… 生：这个RT△为等边直角三角形； 师（微笑）：…下一条

生：3.若RT△有一个角为30°，那么30°所对的边就等于斜边的1/2；（

师：如果知道一个RT△有一个角为30°，而且知道它角所对边长2.5，那么它的斜边长度

是？…

生（停滞一会儿）：5

师（满意的）：请大家给自己掌声…

高兴的表扬大家；

2）布置课后练习题：一、二、四题

教学反思：

老师根据本节课同学们的课堂表现，积极反思教学过程，对这样的教学方法做出改进。了解同学们的自主学习、探索能力，为以后教学提供经验。

表一：

篇二：证明两个直角三角形全等方法归纳打印

证明两个直角三角形全等方法归纳

学习了一般三角形全等的判定方法:SSS、SAS、ASA、AAS，也同样适应于直角三角形全等的判定.除了以上方法外，直角三角形全等还有特殊的判定方法:HL.在判定两个直角三角形全等时，要根据条件选择适当的判定方法.

一、根据一般三角形全等的判定方法（SAS、ASA或AAS)判定三角形全等

例1 如图1，点A、E、F、D在同一直线上，且AE=DF，BF⊥AD，CE⊥AD，垂足分别为点F、E，且BF=CE.求证：AB=CD.

例2 如图2,在△ABC和△BCD中,AC与BD交于O点,BE⊥AC,CF⊥BD且OB=OC.求证:BE=CF.

二、根据直角三角形特有的判定方法（HL）判定两个直角三角形全等

例3 如图3，已知∠ACB=∠BDA=90°，AD=BC，AB//CD.求证：∠1=∠2.

HL”在证明两个直角三角形全等中的应用．

一、用于证明角相等

例1 如图1，已知AD是BE垂直平分线，且AB=DE

二、用于证明线段相等 例2 如图2，已知B、F、C、E在同一条直线上，AB⊥BCBF=EC，求证：AB=DE．

三、用于证明线段垂直

例3 如图3，AC⊥BD，AC=DC，BC=EC，求证：DE⊥AB．

直角三角形全等的应用举例

一、证明两条线段相等

例1 如图，在Rt△ABC的斜边BC上的截取CD=DA，过点D作BC的垂线交AB于E，则图中有哪两条线段相等？请说明理由

A

E

C

B D 二、证明两直线垂直

例2如图，已知，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于E，且有BF=AC，FD=CD，则BE⊥AC，为什么？

A E C

D

B

直角三角形全等及其应用

一、判定两个直角三角形全等的方法

一般三角形全等的判定公理及推论适用于直角三角形，HL是直角三角形全等的一个特殊的判定公理.

例1.如图，A、B、E、F四点共线，AC?CE，BD?DF，AE?BF，AC?BD，求证：?ACF??BDE。 D

A E B

C

二、证明线段相等或角相等

利用三角形全等是证明线段相等或角相等的方法之一。 例2. 求证：等腰三角形底边上的高平分底边并且平分顶角。

已知：如图，在?ABC中，AB?AC，AD?BC于D，求证：BD?CD，

?BAD??CAD。

三、用全等证平行

例3 已知如图，AB⊥AC，AC⊥CD，AD=BC，求证：AD∥BC.

四、证线段互相垂直

例4 已知如图，AD是△ABC的高，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F，BE=AC，DE=DC，BF和AC垂直吗？说明理由

五、证角平分线

例5 如图，已知：AB=AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD、BE交于点O，求证：AO平分∠BAC.

直角三角形中的动态问题

如图1所示，在Rt△ABC，∠C=90o，AC=4cm，BC=2cm，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动，在运动过程中，线段PQ=AB。问P点运动到AC上什么位置时，△ABC才能和△APQ全等？

MQ

M

M

Q

B

QC

P

图1

AC(P)

图2

CA

图3

P

A

学完“直角三角形全等的条件”后，老师给学生布置了这样一个题目： 判断：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等，这个命题是真命题还是假命题，若是真命题，请给出说明；若是假命题，请举出反例。

篇三：八年级下学期《第一章三角形的证明》第二节直角三角形同步练习题

北师大版八年级下学期《第一章三角形的证明》

第二节直角三角形同步练习题

一、选择题

1、如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC

的是【 】A、CB=CD B、∠BAC=∠DACC、∠BCA=∠DCA D、∠B=∠D=90°

2、下列说法正确的是【 】A、若原命题是真命题，则逆命题也是真命题

B、若原命题是假命题，则逆命题也是假命题C、每个命题都有逆命题D、不是每个命题都有逆命题

3、一个三角形的三边长如下，其中能构成直角三角形的是【 】

A、3，3，4 B、60，80，100C、4，5，6 D、5，9，11

4、如果一个三角形两边垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是【 】

A、锐角三角形B、直角三角形 C、钝角三角形 D、任意三角形

5、如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C、下列结论错误的是【 】 A、AD=CP B、△ABP≌△CBP C、

△ABD≌△CBDD、∠ADB=∠CDB

6、下列定理中不存在逆定理的是【 】A、角平分线上的点到这

个角的两边距离相等B、在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所

对的角也相等C、同位角相等，两直线平行D、全等三角形的对应角相

等

7、下列说法中不正确的是【 】A、斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等B、顶角和一腰长对应相等的两个等腰三角形全等C、顶角和底边长对应相等的两个等腰三角形全等D、一个锐角和一组边相等的两个直角三角形全等

8、下列说法中正确的是【 】A、每个定理都有逆命题 B、每个定理都有逆定理C、假命题的逆命题是真命题 D、真命题的逆命题是真命题

9、如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，下列结论中

不一定成立的是【 】

A、PA=PB B、PO平分∠APBC、OA=OB D、AB垂直平分OP

10、如图所示，C是AB上一点，cm，以AC、CB为边在AB同

旁作等边△ACD和等边△CBE，则DE的长为【 】

A、3cm B、cm C、cm D、cm

11、等腰三角形的腰为5，底为6，P是底边上任一点，则P到两腰的

距离之和是【 】A、 B、C、D、

12、如图，任意画一个∠A=60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平

分线BE和CD交AB、CE于点D、E，BE和CD交于点P，连接AP．以下结

论：【 】①∠BPC=120°；②PD=PE；③；

④AD+AE=AP．其中正确的序号是【 】

A、①②③④B、①②③ C、①②④D、②③④

二、填空题

13、如图，∠B=∠D=90°，要使△ABC≌△ADC，还要添加条件

_______________(只要写出一种情况).

____________，它的逆命题是__________________________________.判断这两个命题的真假：原命题是___命题，逆命题是___命题.

15、“两直线平行，内错角相等”的逆命题是_________________________________.

16、已知：如图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，

且BO=CO．∠B=30°，则∠BAO=_______________度.

17、在△ABC中，AB=10，BC=8，AC=6，点O是△ABC的内角平分线的

交点，则点O到各边的距离是_______________，∠AOB=_______.

18、在△ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC的面

积为_____________.

19、如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且2AE=AB+AD，∠ADC=146°，

则∠BCE=____°.

三、解答题

20、如图，AC=BD，AD⊥AC于点A，BC⊥BD于点B，则AD与BC相

等吗？

21、如图，两根长度为12m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．

22、如图，∠B=∠D=90°，OA=OC，当添加条件___________或___________或___________时，就可以得到△ABO≌△CDO.选择添加的一个条件说明△ABO≌△CDO的理由.

23、等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是什么？这个逆命题是什么命题？(真假性)

24、如图，已知AB⊥AC，DC⊥AC，AD=BC．①AB与CD相等吗？②AD与BC平行吗？说明理由．

25、如图，在等腰直角三角形△ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一点，且PB=PD，DE⊥AC，垂足为点E.(1)求证：PE=BO；(2)设AC=2a，AP=x，四边形PBDE的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出自变量取值范围.

26、已知：如图，已知AC=BD，AC⊥AD，BC⊥BD.求证：AD=BC.

27、已知：如图，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，AD=BC.求证：∠A=∠B.

28、如图所示，△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N．求证：∠B=∠C，BM=CN．

29、如图，AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD，求证：AD=BC.

30、已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，点D在BC上，AB=AC=BD，ED⊥BC，垂足为D. 求证：AE=DE=DC.

31、已知：如图，AB=CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，且BF=DE.

求证：∠ABD=∠CDB.

32、如图所示，AB=AC，AD=AG，AE⊥BG，交BG的延长线于E，AF⊥CD，交CD的延长线于F，求证：AE=AF.

33、如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠A+∠C=180°.

篇四：直角三角形相似的判定1

3.4.1.5直角三角形相似的判定

（1）则图中有几对相似三角形.

（2）若AD=9 cm,CD=6 cm,求BD.

（3）若AB=25 cm,BC=15 cm,求BD.

．

2 P79练习 2

课堂小结

1．直角三角形相似的判定除了本节定理外，前面判定任意三角形相似的方法对直角三角形同样适用．

2．用代数法证几何命题的思想方法．

布置作业

A 教材P79中A组6、B 教材P81中B组4.

篇五：北师大版八年级数学下1.2《直角三角形》同步练习含答案

1.2直角三角形

一、选择题

1．下列命题中，是真命题的是 （ ）

A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同位角互补

C．等腰三角形的两个底角相等 D．直角三角形中两锐角互补

2．若三角形三边长之比为1

∶2，则这个三角形中的最大角的度数是 （ ）

A．60° B．90° C.120° D．150°

3．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶1∶2，则其各角所对边长之比等于 （ ）

A

∶1∶2 B．1∶2

∶ C．1

∶∶2 D．2∶1

4．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第

三条边所对的角的关系是 （ ）

A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．相等或互余

5．具备下列条件的两个三角形可以判定它们全等的是 （ ）

A．一边和这边上的高对应相等 B．两边和第三边上的高对应相等

C．两边和其中一边的对角对应相等 D．两个直角三角形中的斜边对应相等

二、填空题

6．在等腰三角形中，腰长是a，一腰上的高与另一腰的夹角是30°，则此等腰三角形的底边上的高是 ．

117．已知△ABC中，边长a，b，c满足a2＝b2＝c2，那么∠B＝ . 34

8．如图1－46所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为 海里（结果保留根号）．

三、解答题

9．已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝1016cm，底边BC＝cm，求底边上33

的高AD

的长．

10．如图1－47所示，把矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点F处，若AB＝

12 cm，BC＝16 cm．

（1）求AE的长；

（2）求重合部分的面积．

11．如图1－48所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处．

（1）求证B′E＝BF；

（2）设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给出证明．

12．三个牧童A，B，C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时，他们所需走的最大距离（看守点到本区域内最远处的距离）相等．按照这一原则，他们先设计了一种如图1－49（1）所示的划分方案，把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧场．过了一段时间，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案．牧童B的划分方案如图1－49（2）所示，三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童C的划分方案如图1－49（3）所示，把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个要所需走的最大距离相等．

（1）牧童B的划分方案中，牧童 （填“A”“B”或“C”）在有情

况时所需走的最大距离较远．

（2）牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原则?为什么?（提示：在计算

时可取正方形边长为2）

参考答案

1．C [提示：可以举出例子说明A，B，D为假命题．]

2．B [提示：设三边长分别为a，a，2a，则a2+

a）2＝（2a）2，为直角三角形．

3．D [提示：∠A＝90°，∠B＝30°，∠C＝60°．]

4．C [提示：如图1－50（1）所示，已知AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD⊥BC于点D，A′D′上B′C′于D′点，且AD＝A′D′，根据HL可判定Rt△ABD≌Rt△A′B′D′，从而证得∠B＝∠B′．如图1－50（2）所示，可知此时两角互补．]

5．B [提示：利用HL可证明．]

6．1a

a[提示：由题意可以画出如图1—51所示的两种情况．] 2

7．60°[提示：b2=3a2，c2=4a2 c2=a2+b2，b

，c=2a．

8．

[提示：在Rt△ACP中，APC=45°，A

,∴AC=PC=40．在Rt△PCB中，∠PBC=30°，BC

, ∴AB=AC+BC

=40+40. ]

9．解：∵AD为底边上的高∴BD=CD=11168BC=×= (cm)．在Rt△ABD中2233

由勾股定理，得A

?

cm 10．解：(1) ∵∠CBD= ∠ FBD(轴对称图形的性质)，又∠CBD=∠ADB(两直线平行，内错角相等)，∴∠FBD=∠ADB(等量代换)．∴EB=ED(等角对等边)．设AE=xcm，则DE=(16一x)cm，即EB=(16一x)cm，在Rt△ABE中，AB2=BE2一AE2即l22=(16一x)2一x2，解得x=3．5．即AE的长为3．5 cm． (2)BA⊥AD，

11∴S△BDE=DE?BA=×(1 6—3.5)×12=75(cm2)． 22

11．(1)证明：由题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE．在矩形

ABCD中，AD∥BC，

∴∠B′EF=∠BFE，∴∠B′FE=∠B′EF，∴B′F=B′E．∴

B′E=BF． (2)解：a，b ,f三者关系有两种情况．①a，b,c

三者存在的关系是a2十b2=c2.证明如下：连接BE，则BE= B′E．由(1)知B′E=BF=c∴BE=c．在△ABE中，∠A=90°∴AE2+AB2=BE2∵AE=a AB=b，∴a2+b2=c2．②a．b，c三者存在的关系是a+b>c证明如下：连接BE，则BE=B′E．由(1)知B′E=BF=c，BE=f．在△ABE中，AE+AB>BE∴a+b>c.

12．解：(1)C [提示：认真观察，用圆规或直尺进行比较，此方法

适用于标准作图．] (2)牧童C的划分方案不符合他们商量的．

划分原则．理山如下：如图1－52所示，在正方形DEFG中，四边

形HENM，MNFP，DHPG都是矩形，且HN=NP=HG，则EN=NF， S矩形HENM=S矩形MNFP，取正方形边长为2．设HD=x，

则HE=2一x,在 Rt△HEN和Rt△DHG中，由HN=HG，得 EH2+EN2=DH2+DG2，即(2一x)2+l2=x2+22，解得x =∴S矩形HENM=S矩形MNFP=1×17,∴HE=2－ x =, 4477=,∴S矩形DHPG≠S矩形HEMN 44

∴牧童C的划分方案不符合他们商量的原则．

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