高斯巧解数学题事例

篇一：数学王子高斯解难题

数学王子高斯解难题

一天， 德国哥廷根大学，一个19岁的青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的数学题。正常情况下，他总是在两个小时内完成这项特殊作业。像往常一样，前两道题目在两个小时内顺利地完成了。第三道题写在一张小纸条上，是要求只用圆规和一把没有刻度的直尺做出正17边形。他没有在意，埋头做起来。然而，做着做着，他感到越来越吃力。困难激起了他的斗志：我一定要把它做出来！天亮时，他终于做出了这道难题。导师看了他的作业后惊呆了。他用颤抖的声音对青年说：“这真是你自己做出来的？你知不知道，你解开了一道有两千多年历史的数学悬案？阿基米、牛顿都没有解出来，你竟然一个晚上就解出来了！我最近正在研究这道难题，昨天不小心把写有这个题目

的小纸条夹在了给你的题目里。” 多年以后，这个青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我不可能在一个晚

上解决它。”这个青年就是数学王子高斯。

篇二：数学最牛的人巧解高中数学题

篇三：高中数学试题巧解方法

数学具体解题方法有：代入法 直接法 定义法 向量坐标法 查字典法 挡板模型法 等差中项

法 逆向化法 极限化法 整体化法 参数法 交轨法 几何法 弦中点轨迹求法 比较法 基本不等式法 以题攻题法

综合法 分析法 放缩法 反证法 换元法 构造法 数学归纳法 配方法 判别式法

序轴标根法 向量平行法 向量垂直法 同一法 累加法 累乘法 倒序相加法 分组法 公式法 错位相减法 裂项法 迭代法 角的变换法 公式的变形及逆用法 降幂法 升幂法 “1”的代换法 引入辅助角法 三角函数线法 构造对偶式法 构造三角形法 估算法 待定系数法 特殊优先法 先选后排法 捆绑法 插空法 间接法 筛选法（排除法） 数形结合法 特殊值法 回代法（验证法） 特殊图形法 分类法 运算转换法 结构转换法 割补转换法 导数法 象限分析法 补集法 距离法 变更主元法 差异分析法 反例法 阅读理解法 信息迁移法 类比联想法 抽象概括法 逻辑推理法 等价转化法 根的分布法 分离参数法 抽签法 随机数表法

高中数学活解方法

一、代入法

若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)而运动，而Q点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式x0?f(x)，y0?g(x)，于是将这个Q点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得P点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。

【例1】（广东高考题）已知曲线C：y?x与直线l：x?y?2?0交于两点

2

A(xA,yA)和B(xB,yB)，且xA?xB，记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所

围成的平面区域（含边界）为D.设点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合.若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；

2

【巧解】联立y?x与y?x?2得xA??1,xB?2，则AB中点Q(,)，

1522

15?s?t

设线段PQ 的中点M坐标为(x,y)，则x?， ,y?22

15

即s?2x?,t?2y?，又点P在曲线C上，

22512112

∴2y??(2x?)化简可得y?x?x?，又点P是L上的任一点，

228

(来自:WwW.smhaida.Com 海达 范文 网:高斯巧解数学题事例)

且不与点A和点B重合，则?1?2x?

115?2，即??x?， 244

∴中点M的轨迹方程为

11

2 ? x ? y

??x

8

（?

15?x?）. 44

【例2】（江西高考题）设P(x0,y0) 在直线x?m(y??m,0?m?1)上，过点P作双

曲线x2?y2?1的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点M(m,0)。 过点A作直线

x?y?0的垂线，垂足为N，试求?AMN的重心G所在的曲线方程。

222

【巧解】设A(x1,y1),B(x2,y2)，由已知得到y1y2?0，且x1（1）?y12?1，x2?y2?1，

垂线AN的方程为：y?y1??x?x1， 由?

?y?y1??x?x1x?y1x1?y1

,)，设重心G(x,y) 得垂足N(122?x?y?0

3?

9x?3y??11x1?y1?x?(x1??)x1?????3m24

所以? 解得?

1??y?1(y?0?x1?y1)9y?3x?1

??y?32?

1??4

112

由x1?y12?1 可得(3x?3y?)(3x?3y?)?2

mm

122

)?y2?为重心G所在曲线方程 即(x?3m9

巧练一：（江西高考题）如图，设抛物线C:y?x的焦点为F，动点P在直线l:x?y?2?0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.，求

△APB的重心G的轨迹方程. 巧练二：（全国高考题）在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0,?)和F2(0,)为焦

2

点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处

2的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量??，求点M的轨迹方程

二、直接法

直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。从近几年全国各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用的是此法。但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进行分析、验证，或在选项中取值带入题设计算，验证、筛选而迅速确定答案。

x2y2

【例1】（全国高考题）已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F，过F且斜

ab

率为3的直线交C于A、B两点。若AF?4FB，则C的离心率为（ ）

（A）

6

5

（B）

7 5

（C）

8 5

（D）

9 5

【巧解】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，F(c,0)，由?4，得(c?x1,?y1)?4(x2?c,y2) ∴y1??4y2，设过F点斜率为的直线方程为x?

y?c，

y?

x??cb22b2c?22

由?消去x得：(?a)y?y?b4?0， 32222223?bx?ay?ab?0?

??6b2c6b2cy?y2???3y2????2222?1?(b?3a)3(b?3a)化简得 ∴? ， 将 代入得y??4y?12

3b43b42??y1y2?2?4y2?2

2??b?3ab?3a2??

?2b2c?y2?4b4c23b4?(b2?3a2) ，∴

， ???422222

3b3(b?3a)4(b?3a)?y2??

2?4(b2?3a2)?

366222222222

化简得：16c?9(3a?b)?9(3a?c?a)，∴25c?36a，e?，即e?。

255

故本题选（A）

【例2】（四川高考题）设定义在R上的函数f(x)满足f(x)?f(x?2)?13，若

f(1)?2，则f(99)?（ ）

（A）13 （B）2 （C）

13 2

（D）

2 13

【巧解】∵f(x?2)?

131313

??f(x) ，∴f(x?4)?

13f(x?2)f(x)

f(x)

∴函数f(x)为周期函数，且T?4，∴f(99)?f(4?24?3)?f(3)?故选（C）

巧练一：（湖北高考题）若f(x)??值范围是（ ）

A．[?1,??)

B．(?1,??)

C．(??,?1]

1313

? f(1)2

12

x?bln(x?2)在(?1,??)上是减函数，则b的取2

D．(??,?1)

巧练二：（湖南高考题）长方体ABCD—A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，AA1=1，则顶点A、B间的球面距离是（ ）

A．22?

B．2?

C．

2 2

D．

2 4

三、定义法

所谓定义法，就是直接用数学定义解题。选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查，凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和第二定义解题，是一种重要的解题策略。

【例1】（福建高考题）过抛物线y?2px(p?0)的焦点F作倾斜角为450的直线交抛物线于A、B两点，线段AB的长为8，则p? ．

2

p?

p?y?x?

【巧解】依题意直线AB的方程为y?x?，由?2消去y得：

22

??y?2px

p2

x?3px??0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∴x1?x2?3p，根据抛物线的定义。

4

2

|BF|?x2?

pp

，|AF|?x1?，∴|AB|?x1?x2?p?4p?8，∴p?2， 22

5

，焦点在x轴上且长轴长为26. 若曲线13

故本题应填2。

【例2】（山东高考题）设椭圆C1的离心率为

C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ ）

x2y2

（A）2?2?1

43x2y2

（C）2?2?1

34

x2y2

（B）2?2?1

135x2y2

（D）2?2?1

1312

【巧解】由题意椭圆的半焦距为c?5，双曲线C2上的点P满足

||PF1|?|PF2||?8?|F1F2|, ∴点P的轨迹是双曲线，其中c?5，a?4，∴b?3，

x2y2

故双曲线方程为2?2?1，∴选（A）

43

x2y2

巧练一：（陕西高考题）双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别是F1，F2，

ab

过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心

率为（ ）

A．6

B．3

C．2

2

D．

3 3

巧练二：（辽宁高考题）已知点P是抛物线y?2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）

（A）

2

（B）3

（C）5

（D）

9 2

四、向量坐标法

向量坐标法是一种重要的数学思想方法，通过坐标化，把长度之间的关系转化成坐标之间的关系，使问题易于解决，并从一定程度上揭示了问题的数学本质。在解题实践中若能做到多用、巧用和活用，则可源源不断地开发出自己的解题智慧，必能收到事半功倍的效果。 【例1】（广东高考题）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中

点，AE的延长线与CD交于点F. 若AC=a，BD=b，则AF=（ ）

11

a +b 24

【巧解】如图所示，选取边长为2的正方形ABCD

A．

B．

C．

11a +b 4221

a +b 33

D．

12

a +b

篇四：高斯数学试题

25、（1）平面上7个点，任意三点不共线，那么可以连出个三角形； （2）两条平行线上各有4个点，从这些点中任取3个点作为顶点，可以连

出 个三角形。

26、8块相同的奥运纪念徽章分给小高、小丽、小明、小萱四人，每人至少分一块，有不同的分法。

28、各位数字之和为4的四位数有个，其中能被11个。

29、箱子里有7个红球、8个白球和9个篮球，从中取出个球，才能保证每种颜色的球都至少有一个。

30、由1、4、7、10、13组成甲组数，由2、5、8、11、14组成乙组数，由3、6、9、12、15组成丙组数。现在从三组数中各取一个数相加，共可以得到 个不同的和。

31、欣欣超市举办促销活动，允许用5个空瓶换一瓶啤酒。胡大伯就去年花钱先后买了89瓶啤酒，期间还不断用啤酒瓶换啤酒，胡大伯家去年共能喝到 瓶啤酒。

33、从1、2、3、??、2010个数，使取出的数中任意两个数的差都不是4。

34、全家十人准备外出旅游，旅行社有以下优惠活动： 若购买1张全票，其他人可享受9折优惠； 若购买3张全票，其他人可享受8折优惠； 若购买5张全票，其他人可享受7折优惠； 若购买7张全票，其他人可享受6折优惠； 若购买9张全票，其他人可享受5折优惠；

35、一套玩具售价是120元，打八折出售，仍能获利60%，则每套玩具的进价是元。 36、一个分数，分子与分母的和是23，如果分子、分母都减去4，得到的分数约分后是14

，那么原来的分数是 。

37、两张纸条，原来长度比为3：2，都撕去15厘米后，长度比变为7：3。现在短纸条的长度是

38、有浓度为20%的糖水80克，另有浓度为48%的糖水60克，将它们混合之后的浓度是39、小雅买了一本漫画书，第一天看了这本书的111

6，第二天看了余下的5，第三天看了余下的4

。

这时剩下的比第一天看的多36页。

40、六位数2010

□□是63的倍数，该六位数的最后两位是。 41、42、萱萱早上6点多起床时，发现手表的时针和分针正好成60?，洗漱完毕后，她惊奇地发现，时间仍为6点多，手表的时针和分针仍成60 分钟。

44、5个棱长为1的立方体木块堆成一个几何体，所堆成的几何体得表面积最小是。 46、6

减去一个分数，273

加上同一个分数，两次计算结果相等。那么这个相等的结果是 47、一瓶花生油，在用去60%之后，向瓶内倒入了240克花生油。这时瓶内的花生油恰好是原来整瓶油的60%。那么一瓶花生油重克。

48、有三个连续的自然数，它们的乘积是2010的倍数，这三个两位数的和是。 50、如图，有一系列相似的图形：n=1时，有1个三角形，3条边；n=2时，有4个小三角形，9条边；n=3时，有9个小三角形，18条边；那么n=50时，有 个小三角形和 条小边。

52、如图，已知三角形ABC的面积是2，三角形BDE的面积是10，BC=CD，则AE

AB

?

54、一列数3、4、7、11、18、29、47、??，从第三项起，每一项是之前两项的和数。那么其中第2010项除以6的余数是

55、如果一个五位数，从中划去一个数字后，得到的四位数是2010，就称之为“吉祥数”，那么“吉祥数”有

个。

57、有a、b、c三个自然数，乘积是2010，则a+b+c的最小值是 。

59、某工人与老板签订了一份30天的劳务合同；出勤一天可得报酬240元，缺席一天则要从所得的报酬中扣掉60天。

62、如果3A=4B，5B=6C，则A：B：C= 64、将1999表示成一个两位数与两个三位数之和，如果这三个加数的首位数字都相同，末位数字也相同（首、末位之间未必相同），那么两位加数等于

66、甲、乙两人在A、B两地往返行驶。开始时两人分别从A、B地同时出发相向而行。经过一段时间后，两人在距离两地中点800米处相遇。两人继续行驶，又过了不少时间，两人第二次迎面相遇，相遇地点也恰好距离两地中点800米。那么A、B两地的距离是 米。

67、甲、乙两人共同合作完成600个零件，15天能够完成。实际工作时两人每天都多做5个，结果甲总共做的零件数要比计划少15个，那么甲单独完成这批零件需要天。

68、已知算式ABC?BCD?CDE?DEF?EFG中，各个字母都代表一个0到9的自然数，且相同字母代表相同自然数，不同字母代表不同的自然数，那么该算式结果的最小值是 。

69、悟空大闹天宫时期，曾与哪吒大战，两人都使出分身术，悟空分身出若干小猴，哪吒分身出若干小哪吒。开始哪吒将乾坤圈往小猴处一仍，一下消灭了18个小猴，这时小哪吒的数目是小猴数目的两倍。悟空大怒，立刻反击，金箍棒一挥，一下消灭了81个小哪吒，这时小猴的数目是小哪吒的两倍。那么开始时小猴和小哪吒分别有 个和个。

71、已知横式ABCDE－EDCBA=1089中，相同字母代表相同的数字，不同字母代表不同数字，而且C=A×E，那么ABCDE?。

72、6人用6小时挖了6人用100小时可以挖1000米的沟。

73、如图，正方形ABCD中，E、F是相应边的中点，如果阴影部分面积是7，那么正方形ABCD的面积是

75、甲、乙二人分别以每小时4千米和5千米的速度从A、B两地相向而行。相遇后，二人继续前进，如果甲从相遇地点到达B地又用了2小时，那么A、B相距 千米。

76、如果一个n边形的n条边都相等，且n个角也相等，就称为正n边形。现在把一个正n边形的中心固定，然后旋转84。后发觉与原来的正n边形重合，那么n的最小值等于

77、细蜡烛的长度是粗蜡烛长度的2倍，粗蜡烛可以点16个小时，细蜡烛可以点7个小时，两根蜡烛同时点燃，那么 小时后两蜡烛的长度相等。

78、已知一个分数，如果只有分子增加5，那么分数的值增大了0.5；如果只有分母增加5，那么分数的值减小了0.3，那么原来的分数是 。

1

79、某工程队修一条公路，开工10天后，工人数目增加了一半，结果比计划规定的时间提前4完成任务，那么

修这条公路实际用了 天。

80、超市原有果糖、巧克力糖、奶糖的数量比是1：2：3，然后新购进一批糖果，里面这三种糖的数量比是3：2：4。如果每天卖出三种糖的数量相同，果糖卖完后，将剩下巧克力糖10千克，奶糖170千克。那么超市原有 千克奶糖。

81、如图，正方形的边长为3厘米，阴影部分的面积为平方厘米。

82、已知n个自然数之和是2010，这n个自然数之积也是2010，那么n的最大值是 83、计算：(

1159

2?6)?(2?0.4?10

?1.8)?84、六年级一班的男、女生比例为5：3，又来了3名男生和5名女生后，全班共有48人。那么现在的男、女生

人数之比是 。

85、现有浓度为10%的盐水20千克，再加入 千克浓度为30%的盐水，可以得到浓度为22%的盐水。 87、如图是一个由10人组成的正三角形阵列。现在有一些人，站成一个和此图类似，但更大的三角形阵列，且阵列最外层每边有10人，那么最外层一共有 人；整个阵列一共有 人。

88、有些两位数加上47之后得到一个三位数，而减去47以后得到的是一位数，那么所有这样的两位数的和是 91、两个自然数相除，商是76，余数是4。已知被除数、除数、商和余数之和是2009，那么被除数是 92、有些两位数，它们的十位数字和个位数字交换后所得到的新数是原数的

93、计算：2009?(1?

7

倍，所有这样的两位数之和是 4

1111)?(1?)?(1?)????(1?) 34541

94、1?2?3?4???20100。

95、将1、2、3、4、5、6、7、8、9这8个数字组成2个四位数，使得两者的差最小，那么那个最小的差是

篇五：高斯和他的数学题

一位老人，他有三个儿子和十七匹马。他在临终前对他的儿子们说：“我已经写好了遗嘱，我把马留给你们，你们一定要按我的要求去分。”

老人去世后，三兄弟看到了遗嘱。遗嘱上写着：“我把十七匹马全都留给我的三个儿子。长子得一半，次子得三分之一，给幼子九分之一。不许流血，不许杀马。你们必须遵从父亲的遗愿！”

这三个兄弟迷惑不解。尽管他们在学校里学习成绩都不错，可是他们还是不会用17除以2、用17除以3、用17除以9，又不让马流血。于是他们就去请教当地一位公认的智者。这位智者看了遗嘱以后说：“我借给你们一匹马，去按你们父亲的遗愿分吧！”

高斯(Gauss 1777~1855)生于Brunswick，位于现在德国中北部。他的祖父是农民，父亲是泥水匠，母亲是一个石匠的女儿，有一个很聪明的弟弟，高斯这位舅舅，对小高斯很照顾，偶而会给他一些指导，而父亲可以说是一名「大老粗」，认为只有力气能挣钱，学问这种劳什子对穷人是没有用的。

高斯很早就展现过人才华，三岁时就能指出父亲帐册上的错误。七岁时进了小学，在破旧的教室里上课，老师对学生并不好，常认为自己在穷乡僻壤教书是怀才不遇。高斯十岁时，老师考了那道著名的「从一加到一百」，终于发现了高斯的才华，他知道自己的能力不足以教高斯，就从汉堡买了一本较深的数学书给高斯读。同时，高斯和大他差不多十岁的助教Bartels变得很熟，而Bartels的能力也比老师高得多，后来成为大学教授，他教了高斯更多更深的数学。

老师和助教去拜访高斯的父亲，要他让高斯接受更高的教育，但高斯的父亲认为儿子应该像他一样，作个泥水匠，而且也没有钱让高斯继续读书，最后的结论是－－去找有钱有势的人当高斯的赞助人，虽然他们不知道要到哪里找。经过这次的访问，高斯免除了每天晚上织布的工作，每天和Bartels讨论数学，但不久之后，Bartels也没有什么东西可以教高斯了。

1788年高斯不顾父亲的反对进了高等学校。数学老师看了高斯的作业后就要他不必再上数学课，而他的拉丁文不久也凌驾全班之上。

1791年高斯终于找到了资助人－－布伦斯维克公爵费迪南(Braunschweig)，答应尽一切可能帮助他，高斯的父亲再也没有反对的理由。隔年，高斯进入Braunschweig学院。这年，高斯十五岁。在那里，高斯开始对高等数学作研究。并且独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的「二次互逆定理」(Law of Quadratic Reciprocity)、质数分布定理(prime numer theorem)、及算术几何平均(arithmetic-geometric mean)。

1795年高斯进入哥廷根(G?ttingen)大学，因为他在语言和数学上都极有天分，为了将来是要专攻古典语文或数学苦恼了一阵子。到了1796年，十七岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果。最为人所知，也使得他走上数学之路的，就是正十七边形尺规作图之理论与方法。

希腊时代的数学家已经知道如何用尺规作出正 2m×3n×5p 边形，其中 m 是正整数，而 n 和 p 只能是0或1。但是对于正七、九、十一边形的尺规作图法，两千年来都没有人知道。而高斯证明了：

一个正 n 边形可以尺规作图若且唯若 n 是以下两种形式之一：

1、n = 2k，k = 2, 3,…

2、n = 2k × (几个不同「费马质数」的乘积)，k = 0,1,2,…

费马质数是形如 Fk = 22k 的质数。像 F0 = 3，F1 = 5，F2 = 17，F3 = 257， F4 = 65537，都是质数。高斯用代数的方法解决二千多年来的几何难题，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。

1799年高斯提出了他的博士论文，这论文证明了代数一个重要的定理：

任一多项式都有（复数）根。这结果称为「代数学基本定理」(Fundamental Theorem of Algebra)。

事实上在高斯之前有许多数学家认为已给出了这个结果的证明，可是没有一个证明是严密的。高斯把前人证明的缺失一一指出来，然后提出自己的见解，他一生中一共给出了四个不同的证明。

在1801年，高斯二十四岁时出版了《算学研究》(Disquesitiones Arithmeticae)，这本书以拉丁文写成，原来有八章，由于钱不够，只好印七章。

这本书除了第七章介绍代数基本定理外，其余都是数论，可以说是数论第一本有系统的着作，高斯第一次介绍「同余」(Congruent)的概念。「二次互逆定理」也在其中。

二十四岁开始，高斯放弃在纯数学的研究，作了几年天文学的研究。

当时的天文界正在为火星和木星间庞大的间隙烦恼不已，认为火星和木星间应该还有行星未被发现。在1801年，意大利的天文学家Piazzi，发现在火星和木星间有一颗新星。它被命名为「谷神星」(Cere)。现在我们知道它是火星和木星的小行星带中的一个，但当时天文学界争论不休，有人说这是行星，有人说这是彗星。必须继续观察才能判决，但是Piazzi只能观察到它9度的轨道，再来，它便隐身到太阳后面去了。因此无法知道它的轨道，也无法判定它是行星或彗星。

高斯这时对这个问是产生兴趣，他决定解决这个捉摸不到的星体轨迹的问题。高斯自己独创了只要三次观察，就可以来计算星球轨道的方法。他可以极准确地预测行星的位置。果然，谷神星准确无误的在高斯预测的地方出现。这个方法－－虽然他当时没有公布－－就是「最小平方法」 (Method of Least Square)。

1802年，他又准确预测了小行星二号－－智神星(Pallas)的位置，这时他的声名远播，荣誉滚滚而来，俄国圣彼得堡科学院选他为会员，发现Pallas的天文学家Olbers请他当哥廷根天文台主任，他没有立刻答应，到了1807年才前往哥廷根就任。

1809年他写了《天体运动理论》二册，第一册包含了微分方程、圆椎截痕和椭圆轨道，第二册他展示了如何估计行星的轨道。高斯在天文学上的贡献大多在1817年以前，但他仍一直做着观察的工作到他七十岁为止。虽然做着天文台的工作，他仍抽空做其他研究。为了用积分解天体运动的微分力程，他考虑无穷级数，并研究级数的收敛问题，在1812年，他研究了超几何级数(Hypergeometric Series)，并且把研究结果写成专题论文，呈给哥廷根皇家科学院。

1820到1830年间，高斯为了测绘汗诺华(Hanover)公国（高斯住的地方）的地图，开始做测地的工作，他写了关于测地学的书，由于测地上的需要，他发明了日观测仪(Heliotrope)。为了要对地球表面作研究，他开始对一些曲面的几何性质作研究。

1827年他发表了《曲面的一般研究》 (Disquisitiones generales circa superficies curva)，涵盖一部分现在大学念的「微分几何」。

在1830到1840年间，高斯和一个比他小廿七岁的年轻物理学家－韦伯(Withelm Weber)一起从事磁的研究，他们的合作是很理想的：韦伯作实验，高斯研究理论，韦伯引起高斯对物理问题的兴趣，而高斯用数学工具处理物理问题，影响韦伯的思考工作方法。

1833年高斯从他的天文台拉了一条长八千尺的电线，跨过许多人家的屋顶，一直到韦伯的实验室，以伏特电池为电源，构造了世界第一个电报机。

1835年高斯在天文台里设立磁观测站，并且组织「磁协会」发表研究结果，引起世界广大地区对地磁作研究和测量。

高斯已经得到了地磁的准确理，他为了要获得实验数据的证明，他的书《地磁的一般理论》拖到1839年才发表。

1840年他和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极和磁北极的位置。 1841年美国科学家证实了高斯的理论，找到了磁南极和磁北极的确实位置。

高斯对自己的工作态度是精益求精，非常严格地要求自己的研究成果。他自己曾说：「宁可发表少，但发表的东西是成熟的成果。」许多当代的数学家要求他，不要太认真，把结果写出来发表，这对数学的发展是很有帮助的。 其中一个有名的例子是关于非欧几何的发展。非欧几何的的开山祖师有三人，高斯、 Lobatchevsky（罗巴切乌斯基，1793～1856）， Bolyai（波埃伊，1802～1860）。其中Bolyai的父亲是高斯大学的同学，他曾想试着证明平行公理，虽然父亲反对他继续从事这种看起来毫无希望的研究，小Bolyai还是沉溺于平行公理。最后发展出了非欧几何，并且在1832～1833年发表了研究结果，老Bolyai把儿子的成果寄给老同学高斯，想不到高斯却回信道：

to praise it would mean to praise myself.我无法夸赞他，因为夸赞他就等于夸奖我自己。

早在几十年前，高斯就已经得到了相同的结果，只是怕不能为世人所接受而没有公布而已。

美国的着名数学家贝尔(E.T.Bell)，在他着的《数学工作者》(Men of Mathematics) 一书里曾经这样批评高斯：

在高斯死后，人们才知道他早就预见一些十九世的数学，而且在1800年之前已经期待它们的出现。如果他能把他所知道的一些东西泄漏，很可能现在数学早比目前还要先进半个世纪或更多的时间。阿贝尔(Abel)和雅可比(Jacobi)可以从高斯所停留的地方开始工作，而不是把他们最好的努力花在发现高斯早在他们出生时就知道的东西。而那些非欧几何学的创造者，可以把他们的天才用到其他力面去。

在1855年二月23日清晨，高斯在他的睡梦中安详的去世了。

高斯(Gauss 1777~1855)生于Brunswick，位于现在德国中北部。他的祖父是农民，父亲是泥水匠，母亲是一个石匠的女儿，有一个很聪明的弟弟，高斯这位舅舅，对小高斯很照顾，偶而会给他一些指导，而父亲可以说是一名「大老粗」，认为只有力气能挣钱，学问这种劳什子对穷人是没有用的。

高斯很早就展现过人才华，三岁时就能指出父亲帐册上的错误。七岁时进了小学，在破旧的教室里上课，老师对学生并不好，常认为自己在穷乡僻壤教书是怀才不遇。高斯十岁时，老师考了那道著名的「从一加到一百」，终于发现了高斯的才华，他知道自己的能力不足以教高斯，就从汉堡买了一本较深的数学书给高斯读。同时，高斯和大他差不多十岁的助教Bartels变得很熟，而Bartels的能力也比老师高得多，后来成为大学教授，他教了高斯更多更深的数学。

老师和助教去拜访高斯的父亲，要他让高斯接受更高的教育，但高斯的父亲认为儿子应该像他一样，作个泥水匠，而且也没有钱让高斯继续读书，最后的结论是－－去找有钱有势的人当高斯的赞助人，虽然他们不知道要到哪里找。经过这次的访问，高斯免除了每天晚上织布的工作，每天和Bartels讨论数学，但不久之后，Bartels也没有什么东西可以教高斯了。

1788年高斯不顾父亲的反对进了高等学校。数学老师看了高斯的作业后就要他不必再上数学课，而他的拉丁文不久也凌驾全班之上。

1791年高斯终于找到了资助人－－布伦斯维克公爵费迪南(Braunschweig)，答应尽一切可能帮助他，高斯的父亲再也没有反对的理由。隔年，高斯进入Braunschweig学院。这年，高斯十五岁。在那里，高斯开始对高等数学作研究。并且独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的「二次互逆定理」(Law of Quadratic Reciprocity)、质数分布定理(prime numer theorem)、及算术几何平均(arithmetic-geometric mean)。

1795年高斯进入哥廷根(G?ttingen)大学，因为他在语言和数学上都极有天分，为了将来是要专攻古典语文或数学苦恼了一阵子。到了1796年，十七岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果。最为人所知，也使得他走上数学之路的，就是正十七边形尺规作图之理论与方法。

希腊时代的数学家已经知道如何用尺规作出正 2m×3n×5p 边形，其中 m 是正整数，而 n 和 p 只能是0或1。但是对于正七、九、十一边形的尺规作图法，两千年来都没有人知道。而高斯证明了：

一个正 n 边形可以尺规作图若且唯若 n 是以下两种形式之一：

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