机器人拉黄包车

篇一：人教版小学三年级语文上册教案(全)

《果园机器人》教学实录

（一）激情导入

师：电脑真神奇，不仅使我们跨上了“信息高速路”，还能指挥机器人工作呢！这不，秋天到了，水果又丰收了，需要干的活可太多了。猜猜看 ，果农请来了谁帮忙呢？

生：请来了果园机器人帮忙。 板书课题

师：这节课就让我们一起来学习24《 果园机器人》，你们看标题上这个“*”是什么意思呢？

生：表示这是一篇略读课文。

师：对，既然是一篇略读课文，老师相信你们在老师的帮助下，一定能够自学好这篇课文。

（二） 自读课文，初步感知。

师：请同学们自由读课文，注意读准字音，读通句子，边读边想：课文讲了个什么样的故事？

生：这篇课文讲了秋天水果丰收，果农请机器人帮忙摘果子，可是机器人也遇到了麻烦，机器人工作时没电就不能继续工作，科学家正在研制一种能够自己充电的机器人。

（三）根据自学提示，学生自学课文。

师：请同学们默读连接语中的阅读提示，然后想想：课文写的果园机器人是怎样的？ 生：课文中的机器人聪明能干，能帮助果农摘果子。

生：课文中的机器人能把成熟的果子从树上摘下来，整齐的装箱，运到指定的地方。 师：同学们说得非常好，谁还为他们做补充？

生：果园机器人真有趣，它们只捡掉在地上的水果“吃”，自我充电，不停地工作。 1

师小结：

看来，这果园机器人不仅是果农的好帮手，同时还真有趣。

师:现在,请同学们用横线在文中划出描写果园机器人最有趣的句子,在空白处写写你的感想.

（划句子后批注,然后在班上交流汇报）

生:我认为文章中第二段写得最有趣, “它们能把成熟的果子从树上摘下来,整齐地装进纸箱,然后运到指定的地方 ” 我觉得果园机器人多么聪明能干呀,在丰收的秋天,给果农减轻了不少负担呢!

师：你说得真好，看来，这果园机器人为果农确实办了一件好事。

生：我认为描写机器人最有趣的句子是“有了这种?吃?水果的机器人，果农们就轻松多了，只要坐在办公室指挥它们就行了，要是有机器人报告：地上的水果不够 ?吃?了，主人就会立刻告诉它，从树上摘些果子?吃?吧”。 我觉得这句话特别有意思。你看，有了这种会自我充电的果园机器人，果农再也不为摘不完果子发愁了。瞧，果农多悠闲，只需在办公室里指挥机器人就行了。

师：噢，这果园机器人能自我充电，让果农们多省心呀，谁还想说说？

生：文中写机器有趣的句子还有“如果没有电，他们是要“罢工”的，果园那么大，到处是果树，机器人不可能拖着长长的电线走来走去。”我觉得这果园机器人真有意思，一没电就不能工作，文中用“罢工”这个词，描写得很形象。

………..

（四）有感情地朗读句子

师：刚才同学们已经从文中找到了描写果园机器人有趣的句子，现在看谁能把这些你认为有趣的句子通过朗读告诉同学们，让我们再一次深刻感受那聪明神奇的果园机器人。 （学生纷纷举手涌跃站起来，读自己认为最有趣的句子）

2

（五）学生交流收集到的有关机器人的资料

师：机器人除了能帮果农摘果子，还能干什么呢？请同学们在小组内把你收集到的有关机器人的资料交流交流。

（学生兴致勃勃地给其他同学介绍自己收集的资料，后又上台展示了自己收集的机器人图片，并配有相关文字解说）

师：看来机器人能做的事还真不少，随着生活实际的需要，需要机器人做的事还很多，下面，发挥你的想象，填写下面这段文字。

1、大人上班，小孩儿没人照顾，我会想，请（ ）来帮忙，小孩不能总呆在家里， 我会想，请（ ）陪孩子玩，并保护他的安全，小孩要学认字、唱歌，我会想，能不能（ ）呢？ 2、一居民小区着火了，我会想，请（ ）进入火场救人，在救护人员没赶到时，我会想，能不能（ ）呢？

（学生发挥想象力，自由填写）

师小结：

同学们的想象力可真丰富，随着人们生活的不断需求，人们对机器人的要求在不断提高，期待着同学们长大后研制出更多功能完善的机器人为我们人类服务。

（六）课外拓展，激发兴趣

师：刚才看了同学们收集的有关机器人的资料，真让老师大开眼界，老师也从网上下载了一些有趣的机器人的图片，你们想看吗？

（生：想！）

播放课件（会踢足球的各种机器人，十运会上点燃火炬的机器人，会做家务的各种机器人，会表演器乐及拉黄包车的机器人，还有科学家正在研制的各种造型的变形机器人）。 学生吃惊地盯着画面，笑声充满整个教室，嘴里不时发出赞叹声。

3

（播放结束）

师：当看到大屏幕上那神奇的机器人时，老师发现同学们都瞪大眼睛，不停地发出由衷的赞叹，你们大家到底在赞叹什么？谁来说说（生畅所欲言）

生：机器人可真能干呀，长大了我也要发明功能更多的机器人。

生：现代科技真发达，能发明那么多有趣的机《果园机器人》教学实录

（一）激情导入

师：电脑真神奇，不仅使我们跨上了“信息高速路”，还能指挥机器人工作呢！这不，秋天到了，水果又丰收了，需要干的活可太多了。猜猜看 ，果农请来了谁帮忙呢？

生：请来了果园机器人帮忙。 板书课题

师：这节课就让我们一起来学习24《 果园机器人》，你们看标题上这个“*”是什么意思呢？

生：表示这是一篇略读课文。

师：对，既然是一篇略读课文，老师相信你们在老师的帮助下，一定能够自学好这篇课文。

（二） 自读课文，初步感知。

师：请同学们自由读课文，注意读准字音，读通句子，边读边想：课文讲了个什么样的故事？

生：这篇课文讲了秋天水果丰收，果农请机器人帮忙摘果子，可是机器人也遇到了麻烦，机器人工作时没电就不能继续工作，科学家正在研制一种能够自己充电的机器人。

（三）根据自学提示，学生自学课文。

师：请同学们默读连接语中的阅读提示，然后想想：课文写的果园机器人是怎样的？ 4

生：课文中的机器人聪明能干，能帮助果农摘果子。

生：课文中的机器人能把成熟的果子从树上摘下来，整齐的装箱，运到指定的地方。 师：同学们说得非常好，谁还为他们做补充？

生：果园机器人真有趣，它们只捡掉在地上的水果“吃”，自我充电，不停地工作。 师小结：

看来，这果园机器人不仅是果农的好帮手，同时还真有趣。

师:现在,请同学们用横线在文中划出描写果园机器人最有趣的句子,在空白处写写你的感想.

（划句子后批注,然后在班上交流汇报）

生:我认为文章中第二段写得最有趣, “它们能把成熟的果子从树上摘下来,整齐地装进纸箱,然后运到指定的地方 ” 我觉得果园机器人多么聪明能干呀,在丰收的秋天,给果农减轻了不少负担呢!

师：你说得真好，看来，这果园机器人为果农确实办了一件好事。

生：我认为描写机器人最有趣的句子是“有了这种?吃?水果的机器人，果农们就轻松多了，只要坐在办公室指挥它们就行了，要是有机器人报告：地上的水果不够 ?吃?了，主人就会立刻告诉它，从树上摘些果子?吃?吧”。 我觉得这句话特别有意思。你看，有了这种会自我充电的果园机器人，果农再也不为摘不完果子发愁了。瞧，果农多悠闲，只需在办公室里指挥机器人就行了。

师：噢，这果园机器人能自我充电，让果农们多省心呀，谁还想说说？

生：文中写机器有趣的句子还有“如果没有电，他们是要“罢工”的，果园那么大，到处是果树，机器人不可能拖着长长的电线走来走去。”我觉得这果园机器人真有意思，一没电就不能工作，文中用“罢工”这个词，描写得很形象。

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篇二：机器人拉车内部构造说明

机器人拉车-内部构造说明

机器人拉车仿真人行走，大腿带动小腿，行走自如，各关节设计必须合理，便于日后维护，对机器各轴之间经常滴机油以便延长使用寿命。

机器人如应用于经营属高磨损部件，如材料及结构设计不合理容易出现断裂现象，例如：采用铁管材料研制的机器人，主要以腿部为高磨损部位，市面上的铁管机器人（方管或圆管）由于空心及材料造价便宜，在使用上经常会出现开焊等现象，给使用者造成极大的不便，久而久之，当无焊点可焊的时候，此机器人可能将面临报废的危险。如使用者不懂得电焊，维修将极为不便。

精铸钢机器人个的精密铸钢结构，精铸钢在铁路、汽车等制造领域应用广泛，结实内用，精铸钢机器人在各关节的设计上也更为合理，无铁管焊点，所以也就不会有开焊的问题。其行走方式采用大腿带动小腿的方式，仿真人直立行走，姿态优美，并非像铁管机器人是躬身行走。如下对比图可清楚看出两者之间的区别：

精铸钢机器人内部构造 空心铁管机

器人内部构

篇三：拉床自动上下料机器人技术要求

拉床自动上下料机器人

技术要求 编制： 审核： 会签： 批准：

2014年12月

拉床自动上下料机器人技术要求

一、设备用途及产品要求

设备用于制齿工厂齿轮内花键拉床加工工件的自动装卸作业，适用于推土机用齿轮10Y-18-00027、16Y-18-00018、23Y-18-00034、175-27-31255四种加工工件，其中齿轮最大重量为54Kg，最大尺寸为直径473mm，各机型齿轮结构形式及尺寸要求见产品图纸；设备加工节拍工时为2.5分钟。

二、设备组成及安装要求

1.自动搬运系统由机器人本体、机器人控制系统、机器人示教器、工件抓手、工件上料台、成品工件放置台、外部急停、安全防护栏和控制电气等构成，机器人采取分别控制，不集成于加工中心系统，

2.使用环境：

供电：三相交流电源380V（±10%） 50Hz；

单相交流电源：220V（±10%） 50Hz；

环境温度：-10℃～45℃；

湿度：50～90%；

3.物料搬运循环间隔为：≤3分钟；

三、与拉床协调性要求

自动搬运系统设计要统筹考虑现有拉床作业规范，系统内各单元布局合理，不能干涉拉床的独立加工作业，满足整体安全性要求。

四、设备主要参数

1、执行机构即机器人本体：（1）采取德国库卡KUKA、日本发那科FANUC、瑞典ABB等国际知名厂家；（2）运动轨迹半径范围不小于2.5米及重复定位精度不低于±0.1mm，定位精度不低于0.2mm；（3）各轴设有独立的抱闸释放开关；（4）交流伺服电机采取国际知名品牌，驱动配绝对编码器，重启无需校正，电机及编

码器需有防护罩；（5）各轴需有足够的刚度；（6）允许负载不低于100KG。

2、控制柜：实现机器人、末端取料手伺服机构等信号的控制，（1）采用WINDOWS或其它平台，运行稳定，实现机器人本体、机器人本体支撑装置的全数字化控制，实现对各轴（含外部轴）工作范围和负载的监控功能；（2）具有高性能防撞、干涉监控检测等多重保护和自我诊断追溯功能；（3）示教器结实耐用，易于操作，具有安全插销，防止误操作；（4）有足够的程序存储容量及通用存储接口；（5）支持多种标准工业控制总线，伺服总线类型：Interbus；（6）控制柜防护等级达到IP54标准要求；可配置空调，能够良好控制柜内温度，保证控制系统正常工作。

3、末端取料手：末端取料手可采取吸附式、夹钳式、仿生多指手或专用操作器结构，安全可靠，不得影响工件质量，并具有防撞和负载检测保护功能；可采取液压驱动、电机驱动或气压驱动方式，保证压力稳定，驱动灵活、位移偏差和速度偏差小；传动机构要求结构紧凑、传动刚度大、可靠性高、回差小；抓取成品时具有防工件加工冷却油液外溅辅助环保功能。

4、工件放置台：上下料工件放置台分别设计，满足≥6件批量的放置要求，放置牢靠，调整方便；其工件定位简便可靠、通用互换性好、满足人工高效吊装放置和末端取料手定位自动装夹作业要求。

5、作业安全：围栏美观实用，在安全防护栏入口处设有2组光栅及紧急停止开关。

6、备件及易损件1套，投标时需提供清单。

五、制造周期：三个月

六、制造数量：1台套（包括多功能机械手1套）

七、安装和调试

需方负责协助设备就位,供方负责现场安装、调试。

八、培训

供方负责在需方预验收设备的同时对需方相关人员就使用、维护、编程等内容免费系统培训5个工作日，并在需方现场培训5天，直至相关人员独立操作。

九、验收

1、预验收

在制造方进行初步验收，对技术协议的各项要求进行验收，并对工件实物搬运，检验后须满足现场使用要求。

2、最终验收

在安装地进行最终验收，设备验收方法同预验收。

十、质量保证

1、可靠性：MBTF≥70000h，MTTR≤30min；

2、设备自验收合格之日起保修一年,由于非操作性失误造成设备损坏,由供方免费排除。由于使用不当造成故障，供方给予排除，仅收成本费。

3、当供方得到故障信息时，2小时内做出应答，需到现场排除故障的在24小时内到达。

4、保修期过后，供方提供广泛而优惠的技术支持和备品备件供应。

十一、随机文件（除合格证外，均要求中文）

1、设备使用维护说明书 3套

2、电气控制原理图 2套

3、设备合格证 1份

4、主要电器元器件合格证及说明书 各1份

5、元器件明细表 2份

6、设备安装现场布局及基础图 1份

7、操作系统软件及弧焊软件光盘 各1份 十二、随机附件

配备相应的维护工具等。

十三、投标单位

：

篇四：克拉维尔Delta机器人的动态平衡

克拉维尔Delta机器人的动态平衡

v.van der Wijk和j.l.herder

摘要

在许多应用中，Delta机器人已被证明是一个有用的设备。但是由于较大的加速度，振动能够显著地降低的准确度和性能。不像常见的技术来以减少震动，如阻尼或着包括在运动周期中的等待时间，这篇文章展示了如何在所有振动被消除的方式下，Delta机器人可实现动态地平衡。由于其特定的结构，在只有3个配重块和2个附加的链接的情况下,Delta机器人能够实现力的平衡。通过三个附加的转动惯性的主动驱动，力矩平衡可以实现。

第一部分：简介

自从80年代雷蒙德克拉韦尔发明Delta机器人，在广泛的应用，它已被证明是一个有用的设备，如包装、加工、医疗设备和触觉感知接等等。Delta机器人能够在相对较大

的工作空间内高循环速度地工作。

然而由于较大的加速度、移动的连杆和平台的动态负载是振动的来源，其可严重降低机器人的精度和性能。为了抑制这些振动，经常Delta机器人被安装在一个较大较重的框架内，等待时间被包括在运动周期中以便等待振动消失。

减少振动的一般方法是动态平衡[5].这种机构被这样设计使得移动链接和平台作用在环境（振动力和振动力矩）的所有反应力和反应力矩被消除，因此不存在振动。因为静态平衡（通过力平衡的方式）是动态平衡的一个子集，该机构可在任何位置被保持静止，而无需执行器或锁紧机构。

据作者所知，没有文献已经提出了关于Delta机器人的动态平衡。在大量的有效负载和平台下，Delta机器人只通过弹簧实现静态平衡的。由于这种解决方案不能生成力平衡的机器人，因此它是不适用的于动态平衡。

动平衡通常是由移动连杆的质量再分配和（或）添加附加的机构来实现的。空间机制的动态平衡已经证明是比较困难的，其容易导致质量、惯性、复杂性的显著的增加[8,9,10,11]。本文的目的是展示Delta机器人如何利用其特殊结构，在一个实用的、有效的方式下能够实现动态平衡。首先，Delta机器人的力平衡将会被解决，随后力矩平衡也会被解决。

第2部分：力平衡

如果其线性动量对于任何运动是恒定的，那么这种机构是力平衡的[9]。但考虑到Delta机器人安装的框架，Delta机器人的线性动量必须恒定和为零。这意味着，Delta机器人质量的中心（CoM）是固定的。

图1.力平衡的Delta机器人：（一）通过使用有一个受电弓的质量中心和单个配重块来平衡； （二）通过使用一个有配重块的受电弓和三个其他的配重块来平衡； （三）通过在每一个连杆上添加配重块的方式来平衡；（四）通过使用每一条支腿都是一个有配重块的三维受电弓（专利申请中）。

图1显示了如何能够实现固定的质量中心的解决方案。在图1a中，展示了一种可以应用到Delta机器人中去寻找并利用平面四连杆机构的质量中心的方法。附加的连杆由线表示，并且为了清楚起见，关节处不绘制。机器人质量的中心通过使用安装在机器人基座上的带有配重块的受电弓来进行固定。为了省略图1a中附加连杆的复杂性，如图1b所示，受电弓通过它能够平衡平台的质

量和部分连接到平台的每个连杆的质量的原因，受电弓还可以直接连接到移动平台上。为了平衡连接到基座的连杆的质量和其他部分连接到平台的连杆的质量，需要添加三个配重块。图1c显示出了一种通过每一个连杆是单独平衡和由每个支腿来平衡平台的质量的三分之一的解决方案。这时6个配重块是必需的，但是由于处于基座附近的配重块必须平衡其他配重块，所以这种解决方案会导致相当大的附加质量和惯性。图1d显示出了一个解决方案，其中具有的三分之一平台质量的每个支腿与一个配重块相互平衡。由于每条支腿附加两个连杆，使得每条支腿成为一个三维受电弓。

图2.由于其特殊结构，通过使用3个配重块和2个附加连杆使得Delta机器人

能够实现力平衡，由此生成了一种实用的配置。

图3：一）质量位置参数；二）质量建模以单独评估每一条支腿。

由于Delta机器人的平台没有任何方向旋转，图1d的配置可以简化成图2所示的配置。在这里一条支腿作为一个三维的受电弓可以平衡平台的全部质量和部分连接到其他两条支腿的平台的链路的质量。相当于图 1b中，另外两个配重块可以在连杆上连接到基座。因此，Delta机器人的平衡仅仅使有了三个配置块和两个附加的连杆，以此生成了一种实用的配置。为了实现Delta机器人的力平衡，本节的其余部分用来介绍条件的计算。 图2中Delta机器人的质量中心的位置可以写成

3

2

****PCoM???mi,nPi,n?m1P?mP,11,11,21,2?mPP

i?1n?1

（1）

使用

mi,n

和

pi,n

作为质量和支腿i的连杆n的质量中心的位置，分别如图3a所

和

，那么

和

就

示，如果支腿i的附加连杆和它的中心位置分别位于是质量。

P

*

1,1

P

*1,2

m

*1,1

m

*1,2

Mp

2

是平台的质量，位置在P。那么线性动量方程就可以写成

L???mi,nPi,n?mP?mP?mPP

*1,1

*1,2

i?1n?1

3

?

?*1,1?*1,2

?

（2）

分别作为支腿1的

使用作为支腿i的连杆n的质量中心的速度，使用

P

?*1,2

和

P

P

?

?*1,2

附加连杆的质量中心的速度。平台的质量移动记作速度以用于确定力平衡条件。方程具有一些优点。 质量中心的位置可写成

??T

Pi,1?Ai?TiTi[ri,100]

。方程（1）、（2）可

PCoM

必须是常数，L必须是0。它将证明使用线性动量

??T

Pi,2?Bi?TiTi[ri,200]

**??*T

P1,1?A1?T1T1[?r1,100]**??*T

(转 载于:wWw.SmHaIDA.cOM 海达 范文 网:机器人拉黄包车)

P1,2?B1?T1T1[?r1,200]

篇五：基于弹性绳索拉伸的机器人避障问题

基于弹性绳索拉伸的机器人避障问题

摘要

本文研究了机器人避障的相关问题。在一个已知区域中存在12个障碍物，使用基于弹性绳索拉伸的方法，求解了由出发点到目标点的最短路径和最短时间路径。我们在禁区顶点以最小转弯半径转向为最优的前提下，对障碍物进行了加工，即将限定区域向外扩展并将顶点圆角化。那么最短路径就由两部分组成：一部分是平面上的直线段，另一部分是限定区域上部分弧构成。由于最短路径一定是由直线线段和圆弧做组成，而弹性绳索紧贴障碍物时，弹性绳索与直线线段和圆弧重合，并且弹性绳索有自然缩短的趋势，弹性绳处于紧绷状态，此时弹性绳长就是最短路径。

问题一，将绳索系与起点和终点，使用拉伸弹性绳索的方法，找到所有符合要求的绳索连结成的路径并计算路径长度，最终最短的绳长即为所求。由于符合要求的路径可能比较多，我们又使用了尺规作图进行简化了以及一般情况下的Dijkstra求解最短路径的方法。

最终求得：

O→A最短路径长度为471.037

O→B最短路径长度为 853.13

O→C最短路径长度为 1092.82

O→A→B→C→O最短路径长度为2714.31

问题二，由于机器人转弯时所行走的速度和转弯半径有关。而当转弯半径最小时相应的速度也最小。就必须平衡转弯半径和转弯时速度的这一对矛盾。本文通过极限状态的求解，计算出可能的最短时间路径。

关键字：最短路径 切线长 弧长

一、问题的重述

图1是一个800×800的平面场景图，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，障碍物的数学描述如下表：

碍物的距离至少超过10个单位)。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。

机器人直线行走的最大速度为v0?5个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度为v0v?v(?)?，其中?是转弯半径。如果超过该速度，机器人将发生侧 10?0.1?21?e

翻，无法完成行走。

请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型。对场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具体计算：

(1) 机器人从O(0, 0)出发，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径。

(2) 机器人从O (0, 0)出发，到达A的最短时间路径。

注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。

图1 800×800平面场景图

二、模型假设

1、机器人可以抽象成为点；

2、未到达终点前机器人行走过程不会意外停止；

3、忽略影响机器人行走的外界因素，机器人可以准确转弯。

4、假设路径是一条带有弹性的橡皮绳，有自动缩短的趋势

三、符号说明

四、问题分析

问题一：根据题中的限定条件，机器人的行走路线一定为直线和与直线相切的圆弧，我们对障碍物进行改造，使得障碍物也为直线和圆弧构成。求出所有符合条件的切线和直线段的长度，并寻求最短的路径即为我们需要的最短路径。

另外这条路径还可以看做是栓在起点的一条弹性绳索，经由各个障碍物，并以障碍物的拐角处的圆弧为支撑拉紧最终到达终点的路径，此时这段绳子的长度便是一条可能的最短路径。具体在搜索路径时，我们知道两点确定的直线段最短。那么就将起点和终点用弹性绳索连结，分别向上方和下方拉伸绳索，让绳索绕过障碍物。由于绳索带有弹性，将自动贴紧改造后的障碍物。此时的绳长就是需要的自然直线段和弧长的总和。 问题二：由于机器人转弯时所行走的速度和转弯半径有关。转弯速度v是转弯半径?的增函数，当转弯半径最小时相应的速度也最小。就必须平衡转弯半径和转弯时速度的这一对矛盾。通过考虑各种极限状态，求解最短时间路径。

五、模型的建立

5.1相关定理证明

1.禁区顶点转弯最优，以最小转弯半径转向最优[1]

如图所示：假设在平面中有A(a，0)和B(-a，0)两点，中间有一个半圆形的障碍物，证明从A到B的最优路径为A错误！未找到引用源。B。

平面上连接两点最短的路径是通过这两点的直线段，但是连接两点的线段于障碍物相交，所以设法尝试折线路径。在y轴上取一点C(0，y)，若y适当大，则折线ACB与障碍物不相交，折线ACB的长度为：

|ACB|?显然|ACB|随着y的减小而减小，减小y得y?y1，即C?C1,使得AC1与C1B与障碍物

相切，切点分别为E和F,显然AC1B是这种折线路径中最短的。由于满足0<错误！未找

到引用源。

EF小于EC1F的长， 即错误！未找到引用源。

何折线路径都短。

下面再考察一条不穿过障碍物的任何一条路径，设其分别于OE和OF的延长线交与P、Q两点，记A和P之间的路径长度为错误！未找到引用源。，显然错误！未找到引用源。>|AP|,又由AE?EO,所以|AP|>AE,从而错误！未找到引用源。>AE,同理可得错误！未找到引用源。>BF。

再来比较PQ之间路径长度错误！未找到引用源。和圆弧EF的长度的大小。若PQ之间的路径可有极坐标方程错误！未找到引用源。,则有错误！未找到引用源。,可得：

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。?错误！未找到引用源。-?-错误！3

未找到引用源。

亦即路径APQB的长度超过路径A错误！未找到引用源。B的长度。以上证明足以说明了A错误！未找到引用源。B是满足条件A到B的最短路径。

2.在中间目标点附近转向，且中间目标点位于圆弧中点处最优[1]

如图所示：E点就是圆环上的一个顶点，A错误！未找到引用源。B就是拉紧的绳子，O2就是切线AC和BD的延长线的交点，证明O1、E、O2三点共线。

我们可以用力学的知识进行证明，因为是拉紧的绳子，所以两边的绳子拉力相等，设为F，它们的合力设为F0，定点对圆环的作用力设为F1。

那么由几何学的知识我们可以知道F0一定与O1O2共线，而又由力的平衡条件可知：

F0=-F1

即O1O2与EO2共线。

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