黑棋子是白棋子的2倍

篇一：棋子颜色问题

棋子颜色问题

一 摘要：

二 问题的重述及分析：

1. 问题重述：

任取m枚黑白两色的棋子，任意摆成一个圈；在两个颜色相同的棋子中间插入一枚黑色棋子，在两个颜色不同的棋子中间插入一枚白色棋子，然后去掉原来的棋子，新棋子仍构成一个圈；继续如此下去，如果经过n次这样的操作后，棋子颜色如何变化。

2. 分析：

要将m个黑白不确定的棋子排成一个圈，并根据题目的要求在相同颜色棋子之间放入黑色的棋子，不同颜色棋子之间插入白色的棋子，即黑黑为黑，白白为黑，黑白为白 ，白黑为白。

要将这个实际问题转化为数学问题可以把黑白两色的棋子分别设为两个相关的数字，并使这两个数在运算关系中符合题目的要求，通过计算得出数字之间的关系，假设黑棋子为1，白棋子为-1则1?1=1，(-1)?(?1)=1, 1?(-1)=-1, (-1)?1=-1.那么本题的问题就巧妙的和数学知识联系上了，因此本题就转换成一个数学问题。

三 符号说明：

Q : 每行的元素个数。

E ：每行元素的指数。

四 模型假设：

1．分别设黑棋为1，白棋为-1。

2．相同颜色之间插入黑棋，即转化为：1x1=1或（-1）x（-1）=1。

3. 相异颜色之间插入白棋，即转化为：1x（-1）=-1或（-1）x1=-1。

4. 至少三个棋子围成一圈。

5. 给出的任意m枚棋子依次编号为1~m。

五 模型的建立与求解：

1?2?3 2?3?1

22

⑴ 假设有三个棋子给它分别编号为1，2，3构成一个圈。插入两颗棋子之间的棋子颜色由这两颗棋子共同决定。

1 2 3

1×2 2×3 3×1

1×22?3 2?32?1 3?12?2

1?23?33?1 2?33?13?2 3?13?23?3

(转载于:www.smhaida.com 海 达 范 文网:黑棋子是白棋子的2倍)

1?24?36?14?2 2?34?16?24?3 3?14?26?34?1

1?25?310?110?25?3 2?35?110?210?35?1 3?15?210?310?15?2

通过以上推理过程图，可以发现：

当n=1时，棋子颜色由上一行的两个元素决定且其指数依次为1，1. 当n=2时，棋子颜色由上一行的两个元素决定且其指数依次为1 ，2，

1.

当n=3时，棋子颜色由上一行的两个元素决定且其指数依次为1，3 ，

3，1.

当n=4时，棋子的颜色由上一行的两个元素决定且其指数依次为1，

4，6，4，1.

当n=5时，棋子的颜色由上一行的两个元素决定且其指数依次为1 5，

10，10，5，1.

⑵ 再以m=5 ，n=5为例，通过对任意一颗棋子（令这颗棋子为第一

颗棋子）的计算可得到每一次这颗棋子的符号分布如下：

n=1时，得到新棋子的符号决定因素为1×2，其对应指数分布为1，

1.

n=2时，得到新棋子的符号决定因素为1×22?3，其对应指数分布为

1，2，1.

n=3时，得到新棋子的符号决定因素为1?23?33?4，其对应指数分布

为1，3，3，1.

n=4时，得到新棋子的符号决定因素为1?24?36?44?5，其对应指数

分布为1，4，6，4，1.

n=时，得到新棋子的符号决定因素为1?25?310?410?55?1，其对应

指数分布为1，5，10，10，5，1.

由以上具体的两个例子的递推结果可以得到以下一般规律：

n+1 , n

① Q= m , n? m .

rC n?1 ， n

② E=

i?1?mtC?n

0?t?n/m, n? m .

（以上两公式推导及证明见附录）

由以上公式可得，各层元素的各指数满足杨辉三角，如下图： 第1行：

第2行：

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第9行 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 第10行

第11行 1

第12行：1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 ··· ···

六 模型评价和改进：

模型的优点：将复杂的棋子颜色变化问题转化为简单的数学逻辑符号问题。整个模型的建立过程应用的数学知识难度不高，数学模型通俗易懂。巧妙的运用递推原理且与杨辉三角相结合，加深了读者对模型的理解。对任意的棋子数都能计算出经过任意次变化颜色的改变。模型具有广泛性。

模型的缺点：由于棋子个数及操作次数的任意性导致数据较多，计算繁琐，运算量大。

七 参考文献：

《》

八 附录：

E= i?1?mtC?n

0?t?n/m, n? m . 的证明如下：

当进行n次操作时决定元素符号的m个元素的分布：

1?2?3?4?5?…i?(i+1) ?…m?1?2?3…i?(i+1)?…n

i出现的次数为i+mt(0?t?n/m)次,由二项式定理的递推公式

r?1Tr?Cn可

当n=m时：10Cm?21Cm?……?mm?1Cm?1mCm

0mCi=1的指数和为m+Cm即

篇二：和倍差倍问题

第7讲 和倍、差倍问题

和倍、差倍问题就是已知两数的和、差与两数的倍数关系，求这两个数各是多少的 应用

题。解答和倍、差倍问题，关键是先确定标准量，一般是以较小的数作为比较标准，看和或

差是较小的数的几倍，由此先求出较小的数，然后再求出较大的数。

解答这类题目的基本数量关系是：和÷（倍数 +1）=小数

小数×倍数 =大数（和-小数=大数）

差÷（倍数 -1）=小数

小数×倍数 =大数（小数+差=大数）

当然我们还可以用第6讲学习过的线段图来使复杂的问题具体化，形象化。从而使数量

关系简单，一目了然。

少箱？

2． 某学校在植树节那天植杨树和柳树共400棵，其中杨树是柳树的5倍少44棵，杨树和柳树各植多少棵？

3．师徒两人一共生产了380个零件，师傅生产的零件个数是徒弟的2倍还多20个，师、徒各生产了多少个零件？

题2 甲、乙两个粮仓个存粮若干吨，甲仓存粮

是乙仓的3倍，如果从甲仓取出260吨，乙仓取出60吨，甲、乙两仓的存粮就一样多，求原来甲、乙两仓各存粮多少吨？

敏捷思维 依据题意，画出线段图：

【专题精华】

从图中可以知道，260吨比60就是乙原来的2倍。根据差倍问题的解法，可

以解决。

全解

乙原来的吨数：（260-60）÷（3-1） 甲原来的吨数：100×3=300（吨）

答：甲仓原来存粮300吨，乙仓原来存粮100

吨。

拓展探究 分析判断是差倍问题后，关键是 确

定出标准量“1”与已知量所对应的“份量”。

以四年级为标准量“1”，五年级若减少30棵也是标准量“1”，六年级就是标准量的3倍。

也就是说（480-30）里面包含了了（1+1+3）各1．小明的存款数是小刚的3倍，现在小明取出“1”，这样就可以求出四年级了。

8500元，小刚取出500元。两人的存款就全解 四年级：（480-30）÷（1+1+3）=90(棵) 一样多，求小明和小刚原来各有存款多少 五年级：90+30=120

(棵)

元？ 六年级：90×3=270(棵)

答：四年级植树90棵，五年级植树120棵， 六年级植树270棵。

2．甲仓存粮吨数是乙仓的3倍，如果甲仓取出拓展探究 较复杂的“和倍问题”的解题关键80吨，乙仓运进80吨，两个仓库的存粮就是从不同的数量中确定出“标准量”，再由“标一样，求甲乙两个仓库原来各存粮多少吨？ 1．三个数的和是1155，甲数是乙数的一半， 丙数是乙数的2倍，甲、乙、丙三个数各是

3．有甲、乙两个书架，甲书架上的书是乙书架多少？

上的4倍，如果从甲书架取出180本数放到

乙书架上，这样两个书架上的书就相等，问

原来每个书架上有多少本书？ 【感受奥赛】

题4 甲工程队有72人，乙工程队有42人， 将两个工程队调走同样多的人数后，甲工程队

剩下的人数是乙工程队的3倍，甲、乙两个工【生活数学】 程队各剩下多少人？

题3 四、五、六年纪共植树480棵，六年级植树的棵树是四年级的3倍，四年级比五年级少30棵，求每个年级各植树多少棵？ 敏捷思维 题目涉及三个年级的数量，画出线段图帮助我们分析题意

从图中可以看出:甲、乙两队调出一样多的

人数，他们剩下的人数差与原来的人数差是不

变的。所以原来的差应（72-42）是甲工程队剩

下人数比乙工程队多的倍数所对应的数量。

全解 乙工程队剩下的人数：（72-42）÷（3-1=15（人）

甲工程队剩下的人数：15×3=45（人）

答：甲工程队剩下45人，乙工程队剩下

15人。

拓展探究 此题属于“差倍”问题。题目中的

“倍数”与对应的“数量差”比较隐蔽，就像

年龄问题中的年龄差一样，两个数同时增加或

苹果35×2=70千克的话那么苹果和梨应该同时卖完，对比每天少卖的苹果，可以求出天数。 全解 每天少卖苹果：70-55=15（千克） 梨卖完苹果剩下：135千克，因此卖了： 135÷15=（天） 苹果有：55×9+135=630（千克） 答：苹果有630千克。 拓展探究 当一种物品是另一种物品的A倍，只要每天卖出的物品都是那一种A倍，则他们能同时卖完。所以由苹果还剩的数量和每天苹果比梨的2倍少的千克数，可以求出卖了多少天。

1．食堂有2桶油，第二桶油是第一桶油的3倍，

每天第一桶油用去2千克，第二桶油用去41． 大桶里有油56千克，小桶里有油34千克，当第一桶油用完时，第二桶还剩10

将两桶油卖出一样多后，大桶剩下的油是千克。原来第二桶油有多少千克？

小桶剩下3倍，求两个桶各剩下多少千克

油？

2．有一堆棋子，白棋子的数量是黑棋子的5倍， 每次取走7颗白子和3颗黑子，当白子还剩53

2．甲粮仓存粮120吨，乙粮仓存粮80吨。从颗时，黑子只剩1颗，原来这堆棋子共有多少两粮仓取出相同吨数的粮食后，甲仓剩下的颗？

粮食吨数是乙仓的5倍，问甲、乙两仓个剩

下粮食多少吨？

3．箱子里有红、白两种玻璃球，红球数比白球 数的3倍多2只，每次从箱子取出7只白球，

3．小王和小李的存款一样多，小王取出149，15只红球，经过若干次后箱子里剩下3只白球，小李取出26元后。小李的存款数是小王的53只红球。那么箱子里原来有红球数比白球数4倍。求小王和小李剩下的存款数各是多少多多少只？

元？

题5 水果店中苹果是梨的2倍。如果每天卖

出35千克梨和55千克苹果，

苹果还余下135千克，原来苹果有多少千克？

敏捷思维 因为苹果是梨的2倍，如果每天卖出

60分钟·夯基础，求提高，成为奥数明星！

1．甲筐水果比乙筐多24千克，从乙筐拿12千9．两个数相除，商3余10，被除数，除数，克给甲筐后，甲筐水果是乙框的5倍，甲筐商及余数的和是163，被除数是 ，原有水果除数是 。

千克。 10．甲仓存粮860吨，乙仓存粮500吨，每天

往甲仓运进27吨粮食，往乙仓运进10吨粮2．小红有30支铅笔，小兰有45支铅笔，小兰

给小红 支后，小红的支数是小兰的食。

2倍。 天后，甲仓的存粮是乙仓存粮的

3．某市一小、二小和三小共有2000名学生。2倍。

如果一小人数扩大2倍，二小人数减少4人，11．有6箱苹果、梨和橙，每箱都只装一种水三小人数增加4人，这样三个学校的人数就果。装的水果的质量分别是22千克、20千同样多，一小有 人。 克、29千克、28千克、25千克和27千克。

4．小林今年13岁，妈妈今年38知道苹果的 质量是梨的一半，橙只有一箱，年后，妈妈的年龄是小林的2倍。 橙重 千克。

5．学校第一阅览室有科技书850本，文艺书12．今年小明爸爸的年龄是小明的年龄的3倍，670本，第二阅览室的文艺书是科技书的6年前，他爸爸的年龄是他的年龄的5倍，

1．2倍。如果两个阅览室的 书和在一起，今年小明 岁。

那么文艺书和科技书一样多，第二阅览室一13．某校学生参加数学竞赛，考了两次第一次共有多少本书？ 及格的人数比不及格人数的4倍多2人，如 果第二次及格的人数增加2人，这时及格人 数是不及格人数的6倍，。这次参赛的总人 数是多少？

6．甲、乙两人共有333元，甲的钱数的9倍和

一的钱数的5倍一共是2005元，甲的钱数

比乙少多少元？

14．华兴小学参加团体操表演的比参加团体表 演的多138人，调整后又增加了100人参加 团体操表演，这样参加团体表演的人数正好

7．某文艺小组女生人数是男生人数的4倍，后是不参加团体表演人数2倍，华兴小学有多来又有7名男生来到文艺小组，女生人数就少学生？

是男生的3倍，现在文艺小组共有 人。

8．小华的书本数是小丽的3倍，小华给小丽

10本数后，小华的书的本数是小丽的2倍，

小华原来有 本书。 第7讲 和倍、差倍问题提高卷

篇三：棋子颜色问题

棋子颜色问题

一 摘要：本文针对棋子状态的变化情况，引入了程序设计、数学建模的有关知识，将其模拟情况与棋子状态变化的实际情况有机地结合起来，在此基础上建立模型，解决一定范围内棋子状态变化的问题。

二 问题的重述及分析：

1. 问题重述：

任取n枚黑白两色的棋子，任意摆成一个圈；在两个颜色相同的棋子中间插入一枚黑色棋子，在两个颜色不同的棋子中间插入一枚白色棋子，然后去掉原来的棋子，新棋子仍构成一个圈；继续如此下去，如果经过n次这样的操作后，棋子颜色如何变化。

2. 分析：

要将n个黑白不确定的棋子排成一个圈，并根据题目的要求在相同颜色棋子之间放入黑色的棋子，不同颜色棋子之间插入白色的棋子，即黑黑为黑，白白为黑，黑白为白 ，白黑为白。

要将这个实际问题转化为数学问题可以把黑白两色的棋子分别设为两个相关的数字，并使这两个数在运算关系中符合题目的要求，通过计算得出数字之间的关系，假设黑棋子为1，白棋子为-1则1?1=1，(-1)?(?1)=1, 1?(-1)=-1, (-1)?1=-1.那么本题的问题就巧妙的和数学知识联系上了，因此本题就转换成一个数学问题。

三 符号说明：

Q : 每行的元素个数。

E ：每行元素的指数。

四 模型假设：

1．分别设黑棋为1，白棋为-1。

2．相同颜色之间插入黑棋，即转化为：1x1=1或（-1）x（-1）=1。

3. 相异颜色之间插入白棋，即转化为：1x（-1）=-1或（-1）x1=-1。

4. 至少三个棋子围成一圈。

5. 给出的任意m枚棋子依次编号为1~m。

五 模型的建立与求解：

1?2?3 2?3?1

22

⑴ 假设有三个棋子给它分别编号为1，2，3构成一个圈。插入两颗棋子之间的棋子颜色由这两颗棋子共同决定。

1 2 3

1×2 2×3 3×1

1×22?3 2?32?1 3?12?2

1?23?33?1 2?33?13?2 3?13?23?3

1?24?36?14?2 2?34?16?24?3 3?14?26?34?1

1?25?310?110?25?3 2?35?110?210?35?1 3?15?210?310?15?2 通过以上推理过程图，可以发现：

当n=1时，棋子颜色由上一行的两个元素决定且其指数依次为1，1. 当n=2时，棋子颜色由上一行的两个元素决定且其指数依次为1 ，2，

1.

当n=3时，棋子颜色由上一行的两个元素决定且其指数依次为1，3 ，

3，1.

当n=4时，棋子的颜色由上一行的两个元素决定且其指数依次为1，

4，6，4，1.

当n=5时，棋子的颜色由上一行的两个元素决定且其指数依次为1 5，

10，10，5，1.

⑵ 再以m=5 ，n=5为例，通过对任意一颗棋子（令这颗棋子为第一

颗棋子）的计算可得到每一次这颗棋子的符号分布如下：

n=1时，得到新棋子的符号决定因素为1×2，其对应指数分布为1，

1.

n=2时，得到新棋子的符号决定因素为1×22?3，其对应指数分布为

1，2，1.

n=3时，得到新棋子的符号决定因素为1?23?33?4，其对应指数分布

为1，3，3，1.

n=4时，得到新棋子的符号决定因素为1?24?36?44?5，其对应指数

分布为1，4，6，4，1.

n=时，得到新棋子的符号决定因素为1?25?310?410?55?1，其对应

指数分布为1，5，10，10，5，1.

由以上具体的两个例子的递推结果可以得到以下一般规律：

n+1 , n

① Q= m , n? m .

rC n?1 ， n

② E=

i?1?mtC?n

0?t?n/m, n? m .

（以上两公式推导及证明见附录）

由以上公式可得，各层元素的各指数满足杨辉三角，如下图： 第1行：

第2行：

第3行

第4行

第5行

第6行

第7行

第8行

第9行

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1

第10行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 第11行 1

第12行：1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 ··· ···

六 模型评价和改进：

模型的优点：将复杂的棋子颜色变化问题转化为简单的数学逻辑符号问题。整个模型的建立过程应用的数学知识难度不高，数学模型通俗易懂。巧妙的运用递推原理且与杨辉三角相结合，加深了读者对模型的理解。对任意的棋子数都能计算出经过任意次变化颜色的改变。模型具有广泛性。

模型的缺点：由于棋子个数及操作次数的任意性导致数据较多，计算繁琐，运算量大。

七 附录：

E= i?1?mtC?n

0?t?n/m, n? m . 的证明如下：

当进行n次操作时决定元素符号的m个元素的分布：

1?2?3?4?5?…i?(i+1) ?…m?1?2?3…i?(i+1)?…n

i出现的次数为i+mt(0?t?n/m)次,由二项式定理的递推公式

r?1Tr?Cn可

当n=m时：10Cm?21Cm?……?mm?1Cm?1mCm

i=1的指数和为C0

m+mCm即

篇四：2013数学竞赛4年级模拟卷(二)

2013数学竞赛4年级模拟卷（二）

学校____________ 姓名_____________

一、填空题。（每题5分） 1．规定运算“☆”为：

若a>b，则a☆b＝a＋b； 若a＝b，则a☆b＝a－b＋1； 若a

2、豆豆用数字卡片做游戏，剩下许多写有4、7和8的卡片，而其余数字卡片都用完了。她

用这些剩下的卡片可以组合成 个不同的三位数。

3、一个六位数，个位数字是5，十万位上的数是9，任意相邻的三个数位上数的和都是20，这个六位数是 。

4、黑、白两种棋子堆成一堆，黑棋子是白棋子的2倍。现从这堆棋子中每次取黑棋子4个、白棋子3个，若干次后，白棋子取尽，而黑棋子还有16个。请问，原来黑棋子有 个。

5、几百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和等于16。如果十位数字加1，则十位数字恰等于个位数字的5倍，那么哥伦布发现美洲新大陆是在公元 年。

6、一次英语考试只有20道题，做对一题加5分，做错一题倒扣3分（不做算错）。皮皮这次没考及格，不过他发现，只要他少错一道题就能及格。他做对了 道题。

7、图中是一个2×2的正方形和一个3×1的长方形。正方形的一个顶点位于

长方形的一条边上。长方形的边分别平行于正方形的对角线。请问阴影三角形的面积是 。

8、把围棋子摆成正方形，余下18个。如果纵横各增加4排，摆成新的正方

形还需要追加62个，那么最初的围棋子是________。

9、A与B进行百米竞走比赛，B到终点时，A刚走到90米处。如果再比一次，

A仍在原来起点，让B在A后面10米处作起点，两人同时出发，获胜者到达时领先 ______米。

10、如图、正方形中阴影部分的面积是53平方厘米，那么正方形的面积是

_________平方厘米。

11、将各面都涂有颜色的正方体锯成27个小正方体，其中恰有1个面涂有颜色的小正方体的个数记为a，恰有2个面涂有颜色的小正方体的个数记为 b，恰有3个面涂有颜色的小正方体的个数记为c，则a+2b+3c= 。

12、从1，4，7，10，13，16，19，22，25，28这些数中选取三个不同的数a，b，c。 请问a＋b＋c的和有___________种不同的答案。

二、解答题。（每题10分） 13、abcd，abc，ab，a依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足

abcd—abc—ab—a＝ 1787。这四位数abcd是多少。

14、有两只大熊猫贝贝和京京同时从一个等边三角形水池的顶点A出发，贝贝每分钟行50米，京京每分钟行40米，分别沿着水池两边爬行，最后它们在离BC的中点40米处的P点相遇．则BP 的距离是多少米？

15、如下图，某城市东西路与南北路交会于路口A．甲在路口A南边560米的B点，乙在路口A．甲向北，乙向东同时?a href="http://www.zw2.cn/zhuanti/guanyurenzuowen/" target="_blank" class="keylink">人傩凶撸?分钟后二人距A的距离相等．再继续行走24分钟后，二人距A的距离恰又相等．问：甲、乙二人的速度各是多少？

16、星期天早晨，小明发现闹钟因电池能量耗尽停走了。他换上新电池，估计了一下时间，将闹钟的指针拨到8：00。然后，小明离家前往天文馆。小明到达天文馆时，看到天文馆的标准时钟显示的时间是9：15。一个半小时后，小明从天文馆以同样的速度返回家中，看到闹钟显示的时间是11：20。请问，这时小明应该把闹钟调到什么时间才是准确的?

2013数学竞赛4年级模拟卷（二）

学校____________ 姓名_____________

一、 填空题。（每题5分，共60分）

二、解答题。（每题10分，共40分） 13、

14、

15、

16、

篇五：六年级数学思维训练10

1、有黑、白棋子一堆，黑子个数是白子个数的2倍。现在从这堆棋子中每次取出黑子4个，白子3个，待到若干次后，白子已经取尽，而黑子还有16个。求黑、白棋子各有多少个？（假设思维）

【分析与解答】假设每次取出的黑子不是4个，而是6个（6=3×2），也就是说每次取出的黑子个数也是白子的2倍。由于这堆棋子中黑子个数是白子的2倍，所以，待取到若干次后，黑子、白子应该都取尽。但是实际上当白子取尽时，（留下）黑子还有16个，这是因为实际每次取黑子是4个，和假定每次取黑子6个相比，相差（留下的是）2个。由此可知，一共取的次数是：16÷2=8（次）。白棋子的个数为：3×8=24（个）。黑棋子的个数为24×2=48（个）。

2、小华解答数学判断题，答对一题给4分，答错一题扣4分，她答了20道判断题，结果只得 56分。小华答对了几题？（假设思维）

【分析与解答】假设小华全部答对：该得4×20=80（分），现在实际只得了56分，相差80-56=24（分），因为答对一题得4分，答错一题扣4分，这样，一对一错相比，一题就差8分（4+4=8），根据总共相差的分数以及做错一题相差的分数，就可以求出做错的题数：24÷8=3（题），一共做20题，答错3题，答对的应该是：20-3=17（题）4×17=68（分）（答对的应得分）4×3=12（分）（答错的应扣分）68-12=56（分）（实际得分） 3. 如图正方形面积是50平方厘米。求阴影部分的面积。（等量代换）

【分析与解答】，就不难发现这里的r2恰好是正方形边长的平方，就等于正方形的面积50平方厘米。所以，计算扇形面积只要用“50”代换算式中的r2就可以了，没有必要再求出半径r的长度。因此，这道题可列式解答如下：50-3.14×50÷4=10.75（平方厘米）

4. . 一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米,高4分米，水深2.8分米,如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块,缸里的水溢出多少升?

【分析与解答】 铁块的体积 4×4×4=64(立方分米)

水的体积 8×6×2.8=134.4 (立方分米)

玻璃缸的容积 8×6×4=192 (立方分米)

注意到铁块的高度与玻璃缸的高度相同,而水的体积与铁块的体积的和比玻璃缸的容积大,则溢出水的体积是 64+134.4-192=6.4 (立方分米)=6.4(升)

5. 分数3/71的分子和分母同时加上一个相同的数，使分数变成1/5。问：这个加上的数是多少？（类比转化法）

【分析与解答】

同理，本题中分母与分子的差68相当于新分子的（5—1=）4倍，用除法可求出新分子，进而再求出分子和分母同加上的是什么数。（71—3）÷（5—1）—3=14，即分子与分母同时加上14，可以使分数变成1/5。

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6. 两人轮流从1，2，3，……，9这9个数字中取数。每次取1个，谁先取的数中有3

个数的和为15就算赢家。如果第1个人取的数是5，那么第2个人应该取几才能使自己立于不败之地？（类比转化法）

【分析与解答】这个问题实际上是“井字棋”游戏，乙的对策如果不对，会导致失败。本题条件中的“和为15”，使我们联想到“三阶幻方”，它的每行、每列及对角线的和都是15。故本题等价于甲乙二人轮流将黑白二色棋子放入九宫格中，哪一方放入的棋子先成一行（横行、竖行和斜行）者为胜。甲先占了中间一格，乙应选哪一格才能保证自己不败？

假设乙选择边上的位置，比如选3，则甲选4，乙只好选6。甲再选2，这时8、9这两个位置乙只能选一个，甲必得其一，这样甲就必胜无疑了。

当甲选5时，乙应选九宫格中位角上的数字，即应选2、4、6、8中的一个，才能使自己立于不败之地。 7. 一份试卷共25道题。每一道题给出4个答案，其中只有一个正确。要求考生把正

确的选出来，每选对一题得4分，不选或错选扣1分。如果一个学生得90分，那么他做对了几道题？（逆推法）

【分析与解答】此题按正向思维的方法解，很难，要不就用假设法。如果用逆推法就简单、巧妙得多。因为选错或不选扣1分，与做对相比，损失5分，得90分的人被扣了10分，这就是选错或不选的有2道题，所以选对了23题。

8. 甲乙二人做换棋子游戏，甲有100个棋子，乙有20个棋子。如果甲每次给乙5个棋

子，乙再还给甲3个棋子，那么按照这样的方法连续调换多少次，乙的棋子是甲的3倍？（抓不变量）

【分析与解答】此题如果我们按照甲的棋子每次减少（5—3）个，乙的棋子每次增加（5—3）个，一步一步地推算，解答起来就很麻烦。如果能抓住“和不变”进行思考，问题就简单了。当“乙的棋子是甲的3倍”时，则两人共有的棋子（100+20）个就相当于甲这时所有棋子的（3+1）倍。（100+20）÷（3+1）=30个，（100—30）÷（5—3）=35次。

9. 有一名妇女在河边洗刷一大摞碗，一个过路人问她：“怎么刷这么多碗？”她回答：“家里来客人了。”过路人又问：“家里来了多少客人？”妇女笑着答道：“2个人给一碗饭，3个人给一碗鸡蛋羹，4个人给一碗肉，一共要用65只碗，你算算我们家来了多少客人。”

10. 已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连接起来得下图。那么图中阴影部分的总面积等于多少平方厘米？（注π取3.14）

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[分析与解答]：如右图，原题阴影部分相当于该图的阴影部分的一半。小圆半径为10÷2=5（厘米），大圆半

22222径的平方是（5+5），因此，所求阴影部分的总面积为[（5+5）×π－5π]÷2=39.25（平方厘米）

11. 兄弟四人一起去买一台电视机。老大带的钱是另外三个人所带钱总数的一半，老二带的钱是另外三个人所带钱总数的，老三带的钱是另外三个人所带钱总数的，老四带了910元。那么这台电视机需要多少元？

12.牧场上牧草匀速生长。27头牛6天吃完；23头牛9天吃完。如果一群牛12天吃完这片牧草，这群牛有几头？

[分析与解答]：解：设每头牛每天吃草量为1。

每天生长的草量：（23×9－27×6）÷（9－6）＝15

原有草量： 27×6－15×6＝72

这群牛的头数：（72+15×12）÷12=21（头）

13. 甲丙两个仓库存放的货物重量比是4:3，把甲仓库货物的1/3运到丙仓库，这时丙仓库货物比甲仓库多100吨。甲仓库原有货物多少吨？

[分析与解答]甲丙两仓库货物重量比是4比3，则丙仓库的重量占甲仓库的3/4，把甲仓库的1/3运到丙仓库后，则甲仓库剩2/3，丙仓库有甲仓库的3/4+1/3，丙仓库比甲仓库多甲仓库的3/4+1/3-（1-1/3），即多100吨，可列式求出甲仓库原有货物的重量。解：100除以[3/4+1/3-（1-1/3）]=240吨。

14. 要想得到浓度为8%的盐水若干千克，应往40千克浓度为20%的盐水中加多少千克水？

[分析与解答]学度为20%降低为8%，即盐水由咸变淡，属于稀释类问题，盐水稀释后，浓度发生了变化，溶剂水发生了变化，盐水也发生了变公，但上于稀释是加进水所造成的，盐水中的含盐量并未姓变化，这是一个不变量，根据这个条件可以列方程解答。充应加水A 千克。40乘20%-（40+A）乘8% A等于60所以加水60千克。

15. 森林中，猎狗发现前方20米处有一只奔跑的野兔，立即追去，猎狗步子大，它跑5步的路程式，兔 子要跑9步，但兔子动作快，猎狗2步的时间，兔子却能跑3步，猎狗跑出多远才能追上野兔？

[分析与解答]求这道题的关键是要知道在相同的时间内，猎狗与兔子跑的路程式之比。如果把猎狗跑5步的路程式看作单位1，则猎狗每步长1/5，兔子每步长1/9。在相同时间内，猎狗可以跑2步，兔子可以跑3步。在相同的进间内，猎狗 与兔子跑的路程之比是1/5乘2比1/9乘3等于6比5 ，再根据公分数应用题求出猎狗的路

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程。解，猎狗与野兔在相同的时间内跑的路程比是：（1/5乘2）：（1/9乘3）=2/5：1/3=6：5所以20除以（1-5/6）=120米。

16. A、B 两个同学数学竞赛扮数之比是5：4。如果A少得15分，而B多得23分，则他们两面三刀人的得分比为15：19。问A 、B两人共得多少分/

[分析与解答]设A 变化前的分数为X 分，则B 变化前的分数为4/5XWV ，P SU A变化后的分数是（X-15）分，B 变化后的分数是（4/5+25}分。再通过列比例式求出A 、B各得多少分。解（X-15）：（4/5+23）=15：19 X=90 90X（1+4/5）=162，两人共得162分。

17. 一底面周长是3.14分米的圆柱形玻璃杯内装有一些水，恰好占杯子容量的2/5。将两个同样大小的鸡蛋放入杯中，浸没在水里，这时水面上升8.2厘米，刚好与杯口平齐。求一个鸡蛋的体积和杯子的容积。

[分析与解答]根据题意，当两个鸡蛋放入杯中，杯中水面上升8.2厘米，上升的这一部分水的体积就是两个鸡蛋的体积，这样可求一个鸡蛋的体积，而上升的这一部分水的体积刚好占杯子容量的1-2/5=3/5，所以可求出杯子的容积。解一个鸡蛋的体积3。14X（3。14除以/3。14乘以2）的平方乘方0。82除以2等于0。32185立方分米等于322立方厘米322乘方2除以3/5=644除3/5=1073立方厘米。

18. ．设

a=，

b=，

c=，

d=，则a，b，c，d这四个数中，最大的是___________，最小的是_________________。

分析与解答 ：a-1=-1=；

b-1=-1=；1- c=1-=； 1- d=1-=

所以最大的是a，最小的是c ；由此可知，c＜d＜b＜a.

19. 修一条公路，已修和未修的长度的比是1：3，再修300米后，已修和未修长度比是1：2。问这条路有多少米？

【分析与解答】

这道题的已知条件是用比给出来的，显然是一道比例应用题，但只要学生掌握了比与分数的关系，把1：3、1：2转换为分数1/3、1/2，该题就转化为分数应用题了。然而这两个分数所表示的分率对应后的标准数不同，只要把标准数统一起来，问题就迎难而解了。

根据已修和未修长度的比为1：3，便知已修为全长的1/1+3即1/4。同样根据已修的未修长度为1：2，就知已修的长度为全长的1/1+2即1/3。300米是两次已修的差。它所对应的分率是（1/3-1/4）。求公路全长用300/（1/3-1/4）=3600米。

20. 有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑白两色，第一堆的黑子数和第二堆里的白子数一样多，第三堆的黑子占全部黑子的 ，把这三堆棋子集中在一起，白子占全部棋子数的几分之几？分析与解答：第三堆黑子占全部黑子的 2/5 ，

4那么，第一、二堆里的黑子占全部黑子的 3/5 9第一、二堆里的黑子数正好等于第一堆棋子数，把每堆棋子数看作3，三堆棋子总数则是9，黑子有5份，

那么白子有9-5=4份，所以白子占全部棋子数的

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