球面上的最短距离

球面上任意两点的最短距离，是过这两点的大圆的劣弧。

①若两地经度差等于180°，过这两点的大圆便是经线圈，过两极点为最短航程，具体又分为三种情况：a.同为于北半球，最近航程一定是先向北，过极点后再向南；b.同位于南半球，最近航程一定是先向南，过极点后再向北；c.两地位于不同半球，这时需要讨论，确定过哪个极点的为劣弧，再讨论。

②两地经度差不等于180°，则过两点的大圆不是经线圈，而与经线圈斜交，最短航程不过两极点，而是过两极地区（或上空），可分为两种情况：

a．甲地位于乙地的东方，从甲到乙的最短航程为：同在北半球，先向西北再向西，最后向西南；同在南半球，先向西南，再向西，最后向西北；位于不同半球时需要讨论，方法同上。 b．甲地位于乙地的西方，从甲到乙的最短航程为：同在北半球，先向东北再向东，最后向东南；同在南半球，先向东南，再向东，最后向东北；位于不同半球时需要讨论，方法同上。

篇二：球面距离最短的证明

球面距离最短的证明

简介：已知:球O的半径为R, A、B是球O上的两定点且A、B间直线距离为AB=2a(0

已知:球O的半径为R, A、B是球O上的两定点且A、B间直线距离为AB=2a(0

?) (用单位圆、三角形面积公式及不等式)证略. 2

证明:(1)当a=R时.过A、B的平面截球面的任意一个圆均为大圆,所以L1=L=?R 证明：引理:sin?

(2)当0

考察⊙o1的半径满足a

?=2arcsin( 2arcsin

(L1)求导=2arcsinaxaa??<2arcsin1=?),所以L1=?x=2x arcsin, xRa+2xx1a??????x?2a(-1x)=2arcsin2a-2xax?a22

?=arcsinaa?,( arcsin??

a则sin?=,cos?=x2?2x,tan?=a

x?a

a

x?a22

所以(L1)求导<0,则L1=?x=2x arcsin

又L1=?x=2x arcsina在a

aa所以L1=?x=2x arcsin?2a arcsin=a? xa

aaaL1=?x=2x arcsin?R 2arcsin=L，所以当x=R时, L1最小=L=R 2arcsin xRR

由以上两种情况可知L1?L

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评注: 由以上证明可知以AB为直径的大圆对应的劣弧最小。

另证：

如图??? lAmN?2R??AB?? sin?

AB??lAnN?2r??sin? 欲证lAmB?l，只需证AB??AB??sin?sin?

AnBsin??sin?即证??? 故只需证y?sinxx为减函数

由于

y'?xcosx?sinxx?(0,?)，又当x?

x22?(0,2)时，tanx?x?xcosx?sinx 所以y'?0，故函数y?sinx

x为减函数。从而命题得证。

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篇三：球面距离最短

为什么球面上任意两点连线中球面距离最短? 首先,连接两点有一弦,在球面上,自然是圆弧最短,我们不考虑走诡异路线的连线（微分可以看成多条圆弧的组合构成）；因为弦是一样的,你可以推算出在同样的弦上,半径最大,所过的弧长最短（就这一点保证任何情况下大圆圆弧最短）,可以证明（根据圆心角和半径以及弦长的关系）

证明：过在一个平面上的任意两点,可以作无数圆.利用平面几何的知识,可以很容易得出以下推论——在这些得到的圆中,如果半径越大,这两点所夹的圆弧长度就越短；对于以这两点间距离为直径的圆,这两点所夹的圆弧长度达到最大.

过球面上任意两点的圆弧都是在某个过这两点的平面与该球切割出的圆上.在所有的可能存在的圆中,过这两点且过球心的那个平面所切割出的圆有最大的半径（即球的半径）,根据上面的推论,该平面所切的圆弧长度最短.

证明中即求得了何时最大又求

得了何时最小两种情况！！！

篇四：球面上两点间的距离为何以大圆劣弧最短

球面上两点间的距离为何以大圆劣弧最短

《立体几何》课本定义球面距离为：“在球面上，两点间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做这两点的球面距离．”学生问两点的球面距离为何最短，课本并没有说明，教师往往感到难以解释清楚，因为此问题用高等数学的知识很容易解决，但学生无法理解．本文给出初等方法的证明．

∵S△AOP＜S△扇形AOP＜S△AOT，

即 sinα＜α＜tanα．

∴sinx2 = sin[x1＋(x2－x1)]= sinx1cos(x2－x1)＋cosx1sin(x2－x1)

∴ x2－x1＞0，cosx1＞0，tanx1－x1＞0，x1x2＞0，

上式＞0，

定理3 过球面上两点的大圆在这两点间的劣弧的长度是这两点在球面上的最短距离．

则大圆O小圆O1有公共弧AB，为方便以AB为轴旋转小圆O1到大圆所在的平面内(如图3)．

∠AO1B=2β，AB=2a，

则：R＞r，M为AB的中点，2α，2β∈(0，π)，OO1⊥AB，

∵ 2α，2β∈(0，π)，

故球面距离最短．

篇五：球面上两点间的距离为何以大圆劣弧最短

球面上两点间的距离为何以大圆劣弧最短

《立体几何》课本定义球面距离为：“在球面上，两点间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做这两点的球面距离．”学生问两点的球面距离为何最短，课本并没有说明，教师往往感到难以解释清楚，因为此问题用高等数学的知识很容易解决，但学生无法理解．本文给出初等方法的证明．

∵S△AOP＜S△扇形AOP＜S△AOT，

即 sinα＜α＜tanα．

∴sinx2 = sin[x1＋(x2－x1)]= sinx1cos(x2－x1)＋cosx1sin(x2－x1)

∴ x2－x1＞0，cosx1＞0，tanx1－x1＞0，x1x2＞0，

上式＞0，

定理3 过球面上两点的大圆在这两点间的劣弧的长度是这两点在球面上的最短距离．

则大圆O小圆O1有公共弧AB，为方便以AB为轴旋转小圆O1到大圆所在的平面内(如图3)．

∠AO1B=2β，AB=2a，

则：R＞r，M为AB的中点，2α，2β∈(0，π)，OO1⊥AB，

∵ 2α，2β∈(0，π)，

故球面距离最短．