已知抛物线y,x-m,2,1

篇一：已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1(m为实数)

一道二次函数综合题

已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1（m为实数）.

⑴.m是什么数值时，y的极值是0

⑵.求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线l上.画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论.

⑶.平行于l的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于l而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等.

解: ⑴.用配方法得

4m?5552m?1?4m?5???0m??m?? 由 得 所以，时，y的极值是0 y??x???4442?4?

⑵. 函数图象的顶点坐标为?

即当x??2?2m?14m?5?,?? 24??2m?114m?55??m? 时，y????m? 2244

33两式相减得：x?y? 即y?x? 44

此即各抛物线顶点坐标所满足的方程.它的图形是一条直线.方程中不含m，因此，不论m是什么数值，

3抛物线的顶点都在这条直线l：y?x?上. 4

当m=-1、0、1时，x、y之间的函数关系分别为 2221?53?91?1???y??x??? y??x??? y??x??? 2?42?42?4???3经验证，它们的顶点都在直线y?x?上4

分别作出它们的图象P1、P2、P3.如右图

⑶.设y?x?a为任一条平行于l的直线，与抛物线y=x2+(2m+1)x+m2-1方程联立求解.

消去y，得x2+2mx+m2-1-a=0. ∴ (x+m)2=a+1 因而当a+1≥0即a ≥-

1时，直线l1与抛物线相交，而a+1＜0即a ＜-1时，直线l

1与抛物线不相交. 当a ≥-1

时，x??m即直线l与抛物线两交点横坐标为： ?m

?m

因直线

l的斜率为1，它的倾斜角为45°.

∵ 直线l被抛物线截出的线段等于 ??m??m????而这与m无关.因此直线l被各抛物线截出的线段都相等.

篇二：选修2-1圆锥曲线单元测试卷

选修2-1第二章 圆锥曲线单元测试卷

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．椭圆3x2＋4y2＝12的两个焦点之间的距离为( ) A．12 C．3 答案 D

x2y2

解析 原式?4＋31∴c＝1，∴2c＝2.

2．(2012·四川)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝( )

A．2 C．4 答案 B

p

解析 依题意，设抛物线方程是y2＝2px(p>0)，则有2＋23，得p＝2，故抛物线方程是y2＝4x，点M的坐标是(2，±22)，|OM|＝2＋8＝3，故选B.

1

3．已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为y＝2x，则此双曲线的离心率为( )

5A.2 5C.2

5 D．5 B．23 D．25 B．4 D．2

答案 B

y2x2

解析 由已知可设双曲线方程为ab＝1(a>0，b>0)． a122222∴，∴b＝2a，∴b＝4a，∴c－a＝4a. b2c2c

∴c＝5a，∴a＝5，∴e＝a5.

2

2

x2y2

4mn＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点1

相同，离心率为2( )

x2y2

A.12161 x2y2

C.48641 答案 B

5．若双曲线3mx2－my2＝3的一个焦点是(0,2)，则m的值是( ) A．－1 10C20 答案 A

x2y2

6．已知双曲线的离心率e＝2，且与椭圆24＋8＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程是( )

1A．y＝3 C．y＝3x 答案 C

7．设F1，F2为双曲线x2－4y2＝4a(a>0)的两个焦点，点P在双曲

3

B．y＝3x D．y＝±23x B．1 102x2y2

B.16＋12＝1 x2y2

D.64＋481

→→→→

线上，且满足PF1·PF2＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则a的值为( )

A．2 C．1 答案 C

8．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是7

M，定点A的坐标为(24)，则|PA|＋|PM|的最小值是( )

11A.2 9C.2 答案 C

x22

9．椭圆4y＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则P到F2的距离为( )

3A.2 7C.2 答案 C

x2y2x2y2

10．若椭圆m＋n＝1(m>n>0)和双曲线ab＝1(a>b>0)有相同的左、右焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是( )

A．m－a C．m2－a2 答案 A

解析 取P在双曲线的右支上，则

1

B.2m－a) D.m－a 3 D. 4 B．4 D．5 5B.2 D.5

??|PF1|＋|PF2|＝2m，? ??|PF1|－|PF2|＝a，

解得|PF1|ma，|PF2|ma. ∴|PF1|·|PF2|＝mama)＝m－a.

11．抛物线y＝x2上到直线2x－y＝4距离最近的点的坐标是( ) 35A．(2，4 39C．(24) 答案 B

12．已知抛物线y＝2x2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y1

＝x＋m对称，且x1x2＝－2，那么m的值等于( )

3A.2 C．2 答案 A

解析 因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝2x2上，所以y1＝

222x1，y2＝2x2，两式相减，得y1－y2＝2(x1－x2)(x1＋x2)，不妨设x1

B．(1,1) D．(2,4)

5

B.2D．3

y1－y2

因为直线AB与直线y＝x＋m互相垂直，所以＝－1，所以x1＋

x1－x2111

x2＝－2，而x1x2＝－2x1＝－1，x2＝2，设线段AB的中点为

2

x1＋x2y1＋y22x2151＋2x2

M(x0，y0)，则x0＝2＝－4y0＝2＝24因为中点M

513在直线y＝x＋m上，所以4＝－4m，解得m＝2第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确

答案填在题中横线上)

13．一动点到直线y＝1的距离比到点(0，－3)的距离小2, 则这个动点的轨迹方程为________．

答案 x2＝－12y

解析 由题意知，动点到直线y＝3的距离等于它到点(0，－3)的距离，所以动点的轨迹是抛物线，方程为x2＝－12y.

x2y23

14．已知双曲线ab1(a>b，b>0)的两条渐近线方程为y＝3x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________．

x23y2

答案 4－4＝1

x2y2

15．设椭圆ab＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，线段b

F1F2被点2，0)分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．

答案 2

3π

16．过抛物线y＝4x的焦点，作倾斜角为4P，

2

Q两点，O为坐标原点，则△POQ的面积等于________．

答案 22

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)

篇三：已知抛物线y

已知抛物线y=a（x-m）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D．

已知抛物线y=a（x-m）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D．若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线．

（1）如图1，求抛物线y=（x-2）2+1的伴随直线的解析式．

（2）如图2，若抛物线y=a（x-m）2+n（m＞0）的伴随直线是y=x-3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式．

（3）如图3，若抛物线y=a（x-m）2+n的伴随直线是y=-2x+b（b＞0），且伴随四边形ABCD是矩形．

①用含b的代数式表示m、n的值；

②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标（用含b的代数式表示），若不存在，请说明理由． 问题补充：

1）由抛物线y=a（x﹣m）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，

∴抛物线y=（x﹣2）2+1的与y轴交于点A（0，5），它的顶点为点B（2，1）， 设所求直线解析式为y=kx+b，

∴1＝2K＋b,5=b ，

k=-2,b=5，

∴y=﹣2x+5；

（2）作BE⊥AC于点E，由题意得四边形ABCD是平行四边形，A（0，﹣3），C（0，3），

∴AC=6，

∵平行四边形ABCD的面积为12，

∴S△ABC=6即S△ABC= 1／2AC?BE=6，

∴BE=2，

∵m＞0，即顶点B在y轴的右侧，且在直线y=x﹣3上

∴顶点B的坐标为（2，﹣1），

又抛物线经过点A（0，﹣3），

∴a=﹣1／2 ，

∴y=﹣1／2 （x﹣2﹚2﹣1；

（3）①作BF⊥x轴于点F，

由已知可得A（0，b），C（0，﹣b），

∵顶点B（m，n）在直线y=﹣2x+b（b＞0）上， ∴n=﹣2m+b，即B（m，﹣2m+b）， 在矩形ABCD中，CO=BO．

∴﹣b= √FO2＋FB2，

∴b2=m2+4m2﹣4mb+b2，

∴m= 4／5b，

n=﹣2×4／5 b+b=﹣3／5 b，

②∵B点坐标为（m，n），即（ b，﹣ b）， ∴BO=√﹙4／5b﹚2＋﹙－3／5b﹚2 =b， ∴BD=b，

当BD=BP，

∴PF=b﹣3／5 b=2／5 b，

∴P（ 4／5b，2／5 b）．

篇四：解析几何练习题二完整版 (1)

高三文科数学解析几何练习题二

班级座号

一、 选择题（每小题有且仅有一个结论正确）

x2y2x2y2

1、18． 若实数k满足0

165－k16－k5A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 18．D

2、19. 设a，b是关于t的方程tcos??tsin??0的两个不等实根，则过A(a，a2)，

x2y22

B(b，b)两点的直线与双曲线1的公共点的个数为( )

cosθsinθ

A．0 B．1 C．2 D．3 19．A 19．A

3、22． 已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )

431

A．－ B．－1 C D．－ 22．C

342

22xy

4、23．过双曲线C－1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.

ab

若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为( )

x2y2x2y2x2y2x2y2

－1 B.1 C.＝1 D.1 23．A 4127988124

x2y2

5、24．双曲线C：1(a＞0，b＞0)的离心率为23，

ab则C的焦距等于( )

A．2 B．2 2 C．4 D．4 2 24．C

24．C

x2y2

6、25．已知双曲线1(a＞0)的离心率为2，则a＝( )

a3A．2

65

C. D．1 25．D 22

2

x2y2

7、27．已知双曲线1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双

ab

曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )

x2y2x2y23x23y23x23y2

－1 B.－＝1 C.1 D.＝1 27．A 5202052510010025

→→

8、28．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·OB＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )

17A．2 B．3 C. D. 28．B

8

9、30．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )

5

10、31． 已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0

4＝( )

A．1 B．2 C．4 D．8 31．A

二、填空题：

11、17． 设双曲线C的两个焦点为(2，0)，(2，0)，一个顶点是(1，0)，则C的方程为________．17．x2－y2＝1

12、21.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．21．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

x2y2

13、20． 设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分

ab别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．20.

52

B．6 C．12 D．3 30．C 3

x2y2

14、16、．[2014·江西卷] 设椭圆C＋1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F2

ab

作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D.若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．

3

3

15、15．已知圆O：x2＋y2＝1和点A(－2，0)，若定点B(b，0)(b≠－2)和常数λ满足：对圆O上?a href="http://www.zw2.cn/zhuanti/guanyuwozuowen/" target="_blank" class="keylink">我庖坏鉓，都有|MB|＝λ|MA|，则

(1)b＝________； (2)λ＝________．

11

15．(1)22

三、解答题：

16、1、20．必选[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

(1)求M的轨迹方程；

(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

20．解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16， 所以圆心为C(0，4)，半径为4.

设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x，2－y)． 由题设知CM·MP＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆．

由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM. 1

因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－，

318

故l的方程为y＋.

33

410

又|OM|＝|OP|＝2 2，O到直线l的距离为，

541016

故|PM|POM55

x2y2

17、7、20必选[2014·湖南卷] 如图1-5所示，O为坐标原点，双曲线C1：－1(a1＞0，

a1b1

y2x23?

b1＞0)和椭圆C2＋＝1(a2＞b2＞0)均过点P?，且以C1的两个顶点和C2的两个

a2b2?3，1?

焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．

(1)求C1，C2的方程．

→→

(2)是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且|OA＋OB|＝|AB| ？证明你的结论.

20．解： (1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c2＝2，2a1＝2，从而a1＝1，c2＝1.因为

2

y23?231??2

点P－＝1，故b21在双曲线xb1上，所以1＝3. ?3??3b11

由椭圆的定义知 2a2?23?＋（1－1）2＋?3?

22

3，b22＝a2－c2＝2.故

于是a2＝

y2y2x2

C1，C2的方程分别为x－1，＋＝1.

332

2

?3?＋（1＋1）2＝3.

?3?

(2)不存在符合题设条件的直线．

(i)若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x2或x＝－2.

当x2时，易知A23)，B23)，所以 →→→

|OA＋OB|＝22，|AB|＝23.

→→→

此时，|OA＋OB|≠|AB|.

→→→

当 x＝－2时，同理可知，|OA＋OB|≠|AB|.

(ii)若直线l不垂直于x轴，设l的方程为y＝kx＋m，

y＝kx＋m，??

由?2y2得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0. ??x－31

当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，从而

m2＋32km

x1＋x2＝，xx＝.

3－k12k－3

22

223k－3m于是y1y2＝kx1x2＋km(x1＋x2)＋m＝k－3

y＝kx＋m，??22由?yx得(2k2＋3)x2＋4kmx＋2m2－6＝0. ??321

因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k2m2－8(2k2＋3)(m2－3)＝0.

化简，得2k2＝m2－3.因此

m2＋33k2－3m2－k2－3→→

OA·OB＝x1x2＋y1y2＝＝≠0，

k－3k－3k－3

→→→→→→→→→→→→于是OA2＋OB2＋2OA·OB≠OA2＋OB2－2OA·OB，即|OA＋OB|2≠|OA－OB|2. →→→故|OA＋OB|≠|AB|.

综合(i)，(ii)可知，不存在符合题设条件的直线．

22xy

18、12、18必选[2014·天津卷] 设椭圆1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，右

ab3

顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|.

2

(1)求椭圆的离心率；

(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|＝2，求椭圆的方程．

3

18．解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0)．由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2.又b2

2

2

c1

＝a2－c2，则，

a2

2

所以椭圆的离心率e＝.

2

222

(2)由(1)知a＝2c，b＝c2，

x2y2

故椭圆方程为＋＝1.

2cc

→→

设P(x0，y0)．由F1(－c，0)，B(0，c)，有F1P＝(x0＋c，y0)，F1B＝(c，c)．

→→

由已知，有F1P·F1B＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0. 又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.① 因为点P在椭圆上，所以 x2y21.② 2cc

4c2由①和②可得3x0＋4cx0＝0.而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c，代入①得y0＝，即

33

4cc－. 点P的坐标为??334c－＋0c3322

设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝c，y1＝c，进而圆的半径r＝

2323

5

（x1－0）＋（y1－c）＝.

3

2?2?2?25222?由已知，有|TF2|＝|MF2|＋r.又|MF2|＝22，故有?c＋3?＋?0－3?＝8＋c2，

9

解得c2＝3，

x2y2

所以所求椭圆的方程为＋1.

63

x2y21

19、10、20？选[2014·陕西卷] 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)经过点(03)，左、

ab2右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．

(1)求椭圆的方程；

1

(2)若直线l：yx＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，

2

|AB|3

且满足，求直线l

|CD|4

b＝，

?a＝2，??c1?

20．解： (1)由题设知?＝解得?b＝3，

a2

?

??b＝a－c，?c＝1，

2

2

2

x2y2

∴椭圆的方程为＋＝1.

43

(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，

2|m|

∴圆心(0，0)到直线l的距离d5由d<1，得|m|<

5

，(*) 2

2125－4m. 5∴|CD|＝1－d＝设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

篇五：已知抛物线y1

．已知抛物线y=3ax2+2bx+c，

（1）若a=b=1，c=-1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；

（2）若a=b=1，且当-1

（3）若a+b+c=0，且x1=0时，对应的y1>0；x2=1时，对应的y2>0，试判断当0

（2） 抛物线为，且与x轴有公共点。 ；

对于方程，判别式≥0，有c≤

①当时，由方程，解得

此时抛物线为与x轴只有一个公共点

②当时，x1=-1时，y1=3-2+c=1+c， x2=1时，y2=3+2+c=5+c

由已知时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为， 应有

解得即

综上，

（3）对于二次函数或；

于是2a+b>0．而b=-a-c，∴2a-a-c>0，即a-c>0

∴a>c>0

∵关于x的一元二次方程

∴抛物线的判别式

与x轴有两个公共点，顶点在x轴?a href="http://www.zw2.cn/zhuanti/guanyuluzuowen/" target="_blank" class="keylink">路剑?/p>

又该抛物线的对称轴，

由a+b+c=0，c>0，2a+b>0，

得

又由已知当 可知在

2 ∴时，； 时，，观察图象， 范围内，该抛物线与轴有两个公共点。 已知抛物线y=3ax+2bx+c

（1）若a=b=1，c=-1求该抛物线与x轴的交点坐标； （2）若a=，c=2+b且抛物线在区间上的最小值是-3，求b的值； （3）若a+b+c=1，是否存在实数x，使得相应的y的值为1，请说明理由．

试题分析：（1）直接将a=b=1，c=﹣1代入求出即可；

2（2）利用当x=﹣b＜﹣2时，即b＞2，此时﹣3=（﹣2）+2×（﹣2）b+b+2；当x=﹣b＞2

2时，即b＜﹣2，则有抛物线在x=2时取最小值为﹣3，此时﹣3=2+2×2b+b+2；当﹣2≤﹣b≤2

时，即﹣2≤b≤2，则有抛物线在x=﹣b时，取最小值为﹣3，分别求出符合题意的答案即可；

22（3）由y=1得3ax+2bx+c=1，则△=4b﹣12a（c﹣1），求出其符号得出答案即可．

2试题解析：（1）当a=b=1，c=﹣1时，抛物线为：y=3x+2x﹣1，

∵方程3x+2x﹣1=0的两个根为：x1=﹣1，x2=2．

∴该抛物线与x轴公共点的坐标是：（﹣1，0）和（，0）；

（2）a=，c﹣b=2，则抛物线可化为：y=x+2bx+b+2， 2

其对称轴为：x=﹣b，

当x=﹣b＜﹣2时，即b＞2，则有抛物线在x=﹣2时取最小值为﹣3，

2此时﹣3=（﹣2）+2×（﹣2）b+b+2，

解得：b=3，符合题意，

2当x=﹣b＞2时，即b＜﹣2，则有抛物线在x=2时取最小值为﹣3，此时﹣3=2+2×2b+b+2，

解得：b=﹣，不合题意，舍去． 当﹣2≤﹣b≤2时，即﹣2≤b≤2，则有抛物线在x=﹣b时，取最小值为﹣3， 2此时﹣3=（﹣b）+2×（﹣b）b+b+2， 2化简得：b﹣b﹣5=0，

解得：b1=（不合题意，舍去），b2=．

综上：b=3或b=

2； （3）由y=1得3ax+2bx+c=1， 2△=4b﹣12a（c﹣1）， 2=4b﹣12a（﹣a﹣b），

22=4b+12ab+12a，

22=4（b+3ab+3a），

=4[（b+a）+2a]， 2

∵a≠0，△＞0，

2所以方程3ax+2bx+c=1有两个不相等实数根，

即存在两个不同实数x，使得相应y=1．

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