考验空间想象的数学题

篇一：高中数学能力基础之空间想象能力练习题

三、练习题

(一)选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知异面直线a和b所成角为α，O为空间一定点，过点O作与a、b都成60°角的直线的条数为

A.2或3 B.3或4 C.2或4 D.2、3或4

2．如图,把边长为a的正方形剪去图中的阴影部分沿图中所画的虚线折成一个正三棱锥,则这个正棱锥的高为

A. B. C. D.

3．右图是函数y=sinx,y=cosx,y=tgx,y=ctgx在

序是

上的图象,则它们所对应的图象的编号顺

A.①②③④ B.①③②④ C.③①④② D.③①②④

4．一棱锥被平行于底面的平面截成一个小棱锥和一个棱台,若小棱锥和棱台的体

积分别为y和x,则y关于x的函数图象的大致形状是 A. B.

C. D.

5．已知二面角α-l-β小于90° A∈l,AB?α,AB⊥l,AC?α,C?AB,AB,AC在平面β内的射影分别为AB′,AC′,则∠B′AB与∠C′AC的大小关系是

A.∠B′AB=∠C′AC B.∠B′AB<∠C′AC

C.∠B′AB>∠C′AC D.不确定

6．在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,该球恰与这四个面都相切。经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确截面图形是 A. B. C. D.

7．有固定项的数列{an}的前n项和Sn=2n2+n,现从中抽出一项(不包括首项和末项)后,余下项的平均值是79,则这个数列的项数是

A.40 B.39 C.38 D.20

8．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形,其圆心角的比为3:4,再将它们卷成两个圆锥形侧面,则两圆锥体积的比为

A.3:4 B.9:16

C.27:64 D.以上都不对

9．下列图形中,不是正方体的表面展开图的是

A. B. C. D.

10．A、B两点在地球的北纬45o圈上,且其经度差为60o, A、C两点在同一经度圈上,且其纬度差为60o,设m,n分别为A与B,A与C的球面距离.则的值为 A. B. C. D.

11．函数y=cos 在区间

面角,则AB与x轴所成的角为 上的图象的最高点为A,最低点为B,将此图沿x轴折成120°的二

A.30° B.45° C.60° D.30°或60°

12．由12根钢筋作成一个正四棱台框架,该框架上下底面积之比为1:4,一个底面直径等于此四棱台上、下两底边长之和的圆锥被这个框架所套牢(即上下正方形均与圆锥侧面相切)，则(圆锥体积)：被套进的圆的台体积)：(正四棱台体积)为(计算时,不计钢筋的体积)

A.27π:7π:28 B.27π:7π:28

C.24π:7π:21 D.24π:7π:24

(二) 填空题

13.AB、CD是半径为1的圆的直径,O是圆心,且∠AOC=45°,现沿AB将两个半圆折成直二面角,此时,CD的长等于_____________.

14.直线x=0,x=2 ,y=-1及曲线y=sin(所围成的图形用阴影表示,若阴影部分绕x轴旋转体的体积为_______________________________.

15.直线a、b与两条异两直线c、d都相交,则由a、b、c、d四条在线一共可以确定的平面个数为__________________________.

16. 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1,例棱AA1=BB1=CC1=3,沿三侧面从A点到A1点的最短路线是AM-MN-NA1 (M )时AM与A1N所成高为_______.

(三)解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17. 已知圆台的上、下底面半径分别为cm和5cm,母线AB长为10cm,M为AB中点,有一绳子从M点出发,沿圆台侧面绕一周到达B点,问绳子最短是多少cm?若绳子的长为最短时,这绳子和上底面圆周上的点的最短距离是多少

?

18.如图一,现要用铁片做成一个直角烟筒弯头(两个圆柱呈垂直状),烟筒的直径为 9cm,沿最短母线EF将侧面展开后,(如图二)铁片在接口处展开图的轮廓线 为正弦线的一部分(如图三)以半圆展开所得的直线为X轴,最长母线CM所在直线为y轴,在xoy系中AMB的方程为y=Asin(wx+ψ)(A>0,W>0，|ψ|≤),求A、W、ψ的值

19.在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶设有一个观察站P,上午11时,测得一轮船在岛北30°东,俯角为30°的B处,到11时10分,又测得该船在岛北60°西,俯角 为60°的C处,(如图所示)

(1) 求船的航行速度是每小时多少千米?

(2) 又经过一段时间后,船到达海岛A的正西方向D处,问此时船距岛A有多远?

20.如图是抛线型拱桥,设当水面宽AB=2a米时,拱顶离水面的距离为h米,一货船在水面上的部分为矩形CDEF

（1）若矩形的长CD=a米,那么矩形的高DE不能超过多少米才能使船通过拱桥?

（2）求CDEF的面积S的"临界值"M：即当SM时,

无论怎样调整,船却不能通过此拱桥.

21.如图,扇形OAB的圆心角为 现在欲以这扇形剪成一圆台的侧面ABCD和下底 面圆O1(上底面比下底面小),若不计算裁剪损耗,该如何裁剪能使所得圆台的容积最大

?

22.一专用中空模具由相同两块构成,外部呈直四棱柱状,把它平放在平台上,该中空

篇二：专题 立体几何及空间想象能力2014新题赏析 课后练习

立体几何及空间想象能力2014新题赏析课后练习

题一：已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为( ).

A．12π

C．72π B．36π D．108π

题二：已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是________．

题三：如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE3，且当规定正视方向垂直平面ABCDDE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为

________． 2.若M，N分别是线段2

题四：如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为

________．

题五：如图，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．

π题六：如图，在三棱锥A?BOC中，AO⊥平面COB，∠OAB＝∠OACAB＝AC＝2，BC2，6

D，E分别为AB，OB的中点．

(1)求证：CO⊥平面AOB；

(2)在线段CB上是否存在一点F，使得平面DEF∥平面AOC，若存在，试确定F的位置；若不存在，请说明理由．

题七：如图所示，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.

(1)证明：AP⊥BC；

(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A－MC－B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

题八：如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，侧面BCC1B1⊥底面ABC.

(1)若M、N分别是AB、A1C的中点，求证：MN∥平面BCC1B1；

(2)若三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成的角为60°，问在线段A1C1上是否存在一点P，使得平面B1CP⊥平面ACC1A1？若存在，求C1P与PA1的比值，若不存在，说明理由．

立体几何及空间想象能力2014新题赏析

课后练习参考答案

题一： B.

详解：依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为2×2＝6， 高为1?3?2－26()＝3， 因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方2

形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π.

题二： 28π. 3

详解：根据三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，底面是边长为2的正三角形，高为2，由空间几何体的所有顶点都在一个球面上，设球半径为R，则R 2＝?

题三： 3.

详解：依题意得，点E到直线AB2(3)2－2728π23?2 ＋1，解得R 2＝ S＝4πR 2＝ . 33?3?()＝2122，BC2＝ ，22

AD3＝ DEA＝∠CEBAE3所以BC＝1，DE＝EC＝DC＝2.所以△DEC是正三角形，∠DEC＝60°，tan ∠DEA＝

＝30°.把图形展开，使得△DAE，△DEC与△CEB在同一平面上，此时连接AB，AE＝BE＝3，∠AEB＝∠DEA＋∠DEC＋∠CEB＝120°，AB2＝AE 2＋BE 2－2AE·BEcos 120°＝9，即AB＝3，即AM＋MN＋NB的最小值为3.

题四： 23.

详解：由正视图和俯视图可知几何体是正方体ABCD-A1B1C1D1切割后的一部分(四棱锥C1-ABCD)，还原在正方体中．多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线.由正方体棱长AB＝2知最长棱AC1的长为23.

题五： 存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点.

详解：存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下.

因为AB∥CD，AB＝2CD，

所以AF，即四边形AFCD是平行四边形．

所以AD∥CF.

又AD?平面ADD1A1，CF?平面ADD1A1，

所以CF∥平面ADD1A1.

又CC1∥DD1，CC1?平面ADD1A1，DD1?平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1.

又CC1、CF?平面C1CF，CC1∩CF＝C，

所以平面C1CF∥平面ADD1A1.

题六： (1)略. (2) F为线段CB的中点.

详解：(1)证明：因为AO⊥平面COB，

所以AO⊥CO，AO⊥BO.

即△AOC与△AOB为直角三角形．

π又因为∠OAB＝∠OAC＝ AB＝AC＝2， 6

所以OB＝OC＝1.

由OB2＋OC 2＝1＋1＝2＝BC 2，

可知△BOC为直角三角形．

所以CO⊥BO，又因为AO∩BO＝O，

所以CO⊥平面AOB.

(2)在线段CB上存在一点F，使得平面DEF∥平面AOC，此时F为线段CB的中点．证明如下. 连接DF，EF，因为D，E分别为AB，OB的中点，所以DE∥OA.

又DE?平面AOC，所以DE∥平面AOC.

因为E，F分别为OB、BC的中点，

所以EF∥OC.

又EF?平面AOC，所以EF∥平面AOC，

又EF∩DE＝E，EF?平面DEF，DE?平面DEF，

所以平面DEF∥平面AOC.

题七： (1) 略. (2) 存在点M，且AM＝3，使得二面角A－MC－B为直角二面角.

详解：(1)如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，OD为y轴正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz. 则O(0,0,0)，A(0,－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)，

→→

AP＝(0,3,4)，BC＝(－8,0,0)．

→→

由此可得AP·BC＝0，

→→

所以AP⊥BC，即AP⊥BC.

→→→

(2)设PM＝λPA，λ≠1，则PM＝λ(0，－3，－4)．

→→→→→

BM＝BP＋PM＝BP＋λPA＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，

→→

AC＝(－4,5,0)，BC＝(－8,0,0)．

设平面BMC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面APC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．

→??BM·n1＝0，由?→??BC·n1＝0， ?－4x1－?2＋3λ?y1＋?4－4λ?z1＝0，得? ?－8x1＝0，

x＝0，??1

即?2＋3λz1，??4－4λ1

→??AP·n2＝0，由?→??AC·n2＝0， 2＋3λ可取n1＝(0,1，． 4－4λ5?x＝2?4y2，即?3z2＝－y2，??4 ?3y2＋4z2＝0，得??－4x2＋5y2＝0，

可取n2＝(5,4，－3)．

2＋3λ由n1·n2＝0，得4－0，

4－4λ

篇三：第十四讲 关于空间想象力的综合训练题(13)

来源：网络

2009-07-29 17:54:25

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六年级奥数下册：第十四讲 关于空间想象力的综合训练题

来源：网络 2009-07-29 17:55:25

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六年级奥数下册：第十四讲 关于空间想象力的综合训练题 解答

篇四：专题 立体几何及空间想象能力经典精讲 课后练习一及详解

立体几何及空间想象能力经典精讲

1?1，0，直线l：xB是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF题一：已知点F ??4?4

的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( )

A．双曲线

C．圆

题二：方程(2x＋3y－x－3－1)＝0表示的曲线是( )

A．两条直线

C．两条线段 B．两条射线 D．一条直线和一条射线 B．椭圆 D．抛物线

题三：在四棱锥P?ABCD中，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是( )

A. 圆

B. 不完整的圆 D. 抛物线的一部分 C. 抛物线

题四：在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有AP?BD1，则动点P的轨迹为__________.

题五：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是( ).

A. 圆或圆的一部分

B. 抛物线或其一部分

C. 双曲线或其一部分

D. 椭圆或其一部分

题六：如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________．

题七：如图所示，已知球O的面上有四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC2，则球O的体积等于________．

立体几何及空间想象能力经典精讲

课后练习参考答案

题一： D.

详解：由已知：|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，故选D. 题二： D.

?2x+3y－1＝0，详解：原方程可化为?或x－3－1＝0，即2x+3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条直?x－3≥0线和一条射线．

题三： B.

详解：因为AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，所以AD//BC，且?DAP

又∠APD=∠CPB ，AD=4，BC=8， 可得tan?APD ??CBP?90?. ?ADCB??tan?CPB， PAPB

即得PBCB??2 PAAD

在平面PAB内，以AB所在直线为x轴，AB中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(－3，0)、B(3，0). 设点P(x，y)，则有

|PB|??2， |PA|整理得x2?y2?10x?9?0

由于点P不在直线AB上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B.

题四： 线段B1C.

详解： 在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面.易证BD1?面ACB1，所以满足BD1?AP的所有点P都在一个平面ACB1上.而已知条件中的点P是在侧面BCC1B1及其边界上运动，因此，符合条件的点P在平面ACB1与平面BCC1B1交线上，故所求的轨迹为线段B1C.

题五： A.

详解： 由条件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP与平面BB1D1D所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分.

1题六： 6

详解：

1111VA－DED＝VE－ADD＝×S△ADD×CD＝×1＝ 3261131

题七： 6π

详解：如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，

则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|

＝

所以R＝6 22R，

4πR3故球O的体积V＝6π. 3

篇五：专题 立体几何及空间想象能力新题赏析 课后练习二及详解

立体几何及空间想象能力新题赏析

题一：如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(

)

A．45°

C．90° B．60° D．120°

题二：四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a. 当四面体的体积最大时，求其表面积．

题三：两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为( )

A．(6－33)π

C．(6＋33)π

题四：如图，在三棱锥P－ABC中，△PAC，△ABC分别是以A，B为直角顶点的等腰直角三角形，AB＝1.

(1)现给出三个条件：①PB＝3；②PB⊥BC；③平面PAB⊥平面ABC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：PA⊥平面ABC；

(2)在(1)的条件下，求三棱锥P－ABC的体积．

B．(8－43)π D．(8＋43)π

专题 立体几何及空间想象能力新题赏析

课后练习参考答案

题一： B.

详解：连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C，B1C与BC1交于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在三角形GHB中，易知GH＝HB＝GB＝

＝60°. 2，故所求的两直线所成的角即为∠HGB

2

题二： 23＋152a. 4

详解：如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC

＝BD＝a，AD＝x，

△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为

3216＋a× 422a2－(?6?)2 46a， 2∴S表＝＝2610a＋ 224

3215a2

＝＋ 24

＝23152. 4

题三： A.

详解：设球O1、球O2的半径分别为r1、r2， 则r1＋r1＋3r2＋r2＝3，

r1＋r2＝

从而33 22(?r＋r)?24π(r21＋r2)≥4π·2＝(6－33)π.

题四： (1)见详解. (2) 2

6.

详解：(1)选取条件①

在等腰直角三角形ABC中，

∵AB＝1，

∴BC＝1，AC＝2.

又∵PA＝AC，∴PA2.

∴在△PAB中，AB＝1，PA2.

又∵PB＝3，

∴AB2＋PA2＝PB2.

∴∠PAB＝90°，即PA⊥AB.

又∵PA⊥AC，AB∩AC＝A，

∴PA⊥平面ABC.

(2)依题意得，由(1)可知PA⊥平面ABC，

V11

三棱锥P－ABC＝PA·S△ABC＝×2×1×122

3326

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