孰知其然

篇一：知其然更要知其所以然

知其然更要知其所以然

【摘要】在教学中，教师常常会有这样的感觉，明明已经讲得很清楚，学生的课堂反应也不错，可是一旦练习，学生就是不会，又或者是经常犯同样的错误。因此，教师在教学过程中，不应只关注学生的成绩，更应该关注学生的发展；教育应重方法，重过程。让学生知其然，更要让学生知其所以然。

【关键词】知其然 知其所以然 教学

在教育界，流行这样一句话：教学质量是学校的生命线，是教师的成绩单。面对升学的指挥棒，大多数教师都把”教学质量”的含义界定为“学生成绩”。当然，我也不例外，学生的考试成绩锁住了我的全部目光。只要学生“知其然”，就不去管他是不是“知其所以然”。直到那一天……

那一天，我去班级进行作文辅导。我让同学们展示一下前一天布置的以“选择”为话题的作文。同学们都举起了小手，如同一片茂密的树林。我非常满意同学们的表现，心情愉快地点将。“王轶然”，随着我的声音，一个憨态可鞠的女孩站了起来，开始朗读她的作品。她的作文题目是《选择亲情》，内容是写自己在父母离异时所做的艰难抉择，表达了自己拥有半壁亲情的痛苦和渴望亲情团圆的心声。文章用语生动，情感真挚。加上她声情并茂的朗读，赢得了全班同学的喝彩，尤其是当她读到：“我无法选择，望着父母那都充满渴望的眼睛，我

只有不停地哭泣。我不想放弃爸爸，选择妈妈。也不愿放弃妈妈，选择爸爸。我大声地哭喊‘不要让我选择，我要爸爸也要妈妈。”’教室里掌声如潮，同学们都被她的挚情打动。无疑她的作品是成功的。虽然大家都知道，她的父母并未离异。看到这种情形，我颇为得意。自喜给学生指了一条作文速成的捷径。语文源于生活，应用于生活，生活加感受等于作文。这些道理说得都没错，但学生自己搜集素材哪比得上“拿来主义”来得快捷呢？我又开始点将，“商晓微”，应声而起的是一位娇小文静的女孩，她作文的题目是《法庭给我的权利》，内容竟惊人地与王轶然的作文相似。不知是出于什么原因，这个一向以朗读闻名的女孩读起来略显底气不足。同学们也没了先前的热情，我也有些心慌，没有组织学生评点继续点将……又有几名同学朗读了自己的作品。天啊！在朗读的几篇文章中，竟然又有两篇作文的内容是写父母离异，自己做出抉择的。我震惊了，如同被人当头一棒，哪里还有半点先前的窃喜？看着我越来越严肃的面容，学生们一改先前的活跃，替而代之的是小心翼翼，战战兢兢。望着一双双惊恐的眼睛，我平静了一下自己的情绪，走上讲台真诚地对学生说：“同学们，今天你们给老师上了一课，一直以来，老师始终告诉你们，它山之石可以攻玉，倡导拿来主义为我所用。可是老师忽略了一点，如果我们借重的不是他人的智慧，而只是不切实际盲目照搬照抄他人的作品，即使偶尔会取得成功，但迟早会出现今天这种千人一面、千篇一律的现象。冰心曾说过，有个性的作品才会真正具有生命力。新课程要求语文学习不仅要注重知识的积累，更强调知识的运用和各种能力的培

养。写作是人们认识世界，认识自我，进行创造性表述的过程。其真正的价值就在于对人生的体验过程之中。让我们从今天开始关注社会，关注人生，表达自己的真情实感吧。请大家记住：生活加感受等于作文。”

此时此刻，我终于转变了观念，更新了理念。我相信，这节课永远也不会淡出我的记忆。因为它教育我不应只关注学生的成绩，更应该关注学生的发展；教育我重方法，重过程。让学生知其然，更要让学生知其所以然。

篇二：知其然,更要知其所以然

知其然，更要知其所以然

作者：朱海泉

来源：《小学教学研究·理论版》2012年第11期

笔者在教学四年级上册《平行与相交》公开课中，教学平行线的画法时，经历了如下两次教学，起到了不同的效果。

第一次教学：

师：我们已经认识了平行，那你能不能想办法画一组平行线？

学生独立尝试。

全班反馈并交流不同的画法。

师：画平行线除了刚才你们想到的方法外，书上也介绍了一种方法，我们一起来看。 学生自学书上的画法。

师：请你试着用书上的画法任意画一组平行线。

学生尝试作图。

进行相关作图练习。

……

把以上教学平行线画法归纳一下，就是让学生自学，再模仿书上尝试画图。这种教学方法的实质就是机械式的模仿。从实效来看，学生自学后尝试练习时，模仿能力强的学生，能够正确作图，但这部分学生只是少数，而全班大多数学生都遇到了困难，看起来似乎会了，但到了自己实际操作时，尺子总是摆不对。由于当时出现了这样的情况，教师不得不重新演示一遍，边演示边讲解要领，之后再让学生模仿画图，这才达到了“理想”的效果。

第二次教学：

师：我们已经认识了平行，那你能不能想办法画一组平行线？

学生独立尝试。

全班反馈并交流不同的画法。

教师演示学生“用1把尺子，凭感觉随意画平行线”的做法。

师边演示边说：有的同学用尺子随意画容易出现什么问题？

明确：因为在移动尺子时，尺子容易歪，这样画出来的两条直线就容易造成不平行。 师追问：要想移动时尺子不歪，有什么好的解决方法吗？

学生思考。

在学生回答的基础上，师：书上为我们提供了一种比较好的解决方法，一起来看。 屏幕出示作图方法的第二步。

师：书上用什么方法解决移动时尺子会歪的问题？

学生回答。

之后，屏幕出示作图方法的其余两步。

师：你能看图试着说说这种平行线的作图方法吗？

学生用语言描述。

师：请你用书上的画法任意画一组平行线。

学生尝试作图。

进行相关作图练习。

……

此次教学，笔者由学生自己画图中所出现的实际问题切入，即学生自己画平行线时，往往只用一个尺子，“大概”画出两条直线，这往往所画的两条直线不平行，原因是尺子从上面拿到下面，很难做到“不歪”。这也是为什么用两把尺子画平行线的原因所在，也是理解平行线画法的关键所在。于是，教师及时设问“要想移动时尺子不歪，有什么好的解决方法吗”，学生不难想到了类似于第二步的方法，在此基础上屏幕出示第二步画法，之后再出示其余两步画法，学生对平行线作图方法的理解也就水到渠成了。学生理解之后，教师再让学生说说这里的三个步骤，以达到把画平行线的方法内化为自己“东西”的目的。至此，教师才提出让学生用这个方法实际操作的要求。

通过两次不同方式教学“平行线的画法”，得到的效果截然不同。经过重新审视、再思考，笔者认为，数学作图方法的教学要想达到理想的效果，必须让学生理解作图方法，即知其然，更要知其所以然！那怎样做到“让学生知其然，更要知其所以然”呢？笔者认为，教学中可以按以下几个环节进行设计。

1.首次尝试以感受需要

在教学作图方法之前，可以让学生试着自己想办法画一画，这为学生从不同角度思考问题提供了空间，同时通过学生在尝试画图中遇到的困难，激发学生去寻求更科学的画图方法，从而为后面教学作图方法提供了学习的需要，也为作图方法的存在提供了依据。当然，这里教师要发挥好引导的作用，要把学生遇到的困难与作图的方法突显出来，为学生建立两者间的联系做好准备。

2.抓住关键以理解方法

有了学习的需要还不够，教学中我们还要把这种学习的要求与作图方法的实质即关键点，建立起联系来，让学生感受到“因为有了这种要求，所以要这样画图”。在突破时，我们要抓住关键步骤，并从中直接切入，一旦学生理解了关键步骤了，理解其余的步骤就水到渠成了。

3.语言表达以内化方法

理解只是“内心已认可了它”，但要形成画图的技能，则还需内化的过程。即把作图方法转化成自己结构化的知识，成为自己知识的一部分。语言是思维的工具，要把作图方法进行内化，我们可以借助学生的表达，如果学生能够把作图方法说出来，说明他们真的理解了知识。

4.再次尝试以形成方法

在学生经历了感受、理解、内化的过程后，教师再次提出独立画图的要求，这时的画图学生是自信的、轻松的，因为是“把自己的东西拿出来”，而不是“把别人的东西抄下来”。至此，学生的作图方法才真正形成。

篇三：知其然而知其所以然

知其然而知其所以然

——高中物理知识的深入 “理论和实践都证明”或许是高中物理课本最爱说的一句话了. 这句话之后, 课本就可以直接给出一个结论了事.

2尼玛, 为啥平行板间是匀强电场? 为啥正弦交流电有效电压是 2????? 为啥就有这些结论?

此贴的目的呢, 就是要从理论上证明高中物理提到的, 却没有给出严格证明的一些结论. 有需要的童鞋可以查阅参考. 第一部分的预备知识也可以作为微积分、矢量和坐标系的入门级教程.

小T数学水平实在有限, 可能有不少的地方不甚严谨甚至有谬误, 恳请大大们指出, 我将开楼勘误.

贴子要探讨的问题有:

?微积分、矢量、极坐标和自然坐标是怎么回事.

?匀加速直线运动的运动学公式是怎么严格推导的.

?匀速圆周运动的向心加速度公式的更严谨的推导.

?动能定理为什么能适用于非恒力做功的情形.

?如何用万有引力定律导出开普勒行星运动三大定律.

?宇宙速度的计算.

?简谐运动运动学公式和小摆角单摆周期公式的推导.

?为什么均匀带电的两块足够大的正对平行板间的电场是匀强电场.

?不计重力的带电粒子垂直射入匀强磁场, 为什么做匀速圆周运动.

?正弦交流电电压、电流的有效值是怎么得出的.

?LC无阻尼振荡电路的规律.

?感抗、容抗公式的推导.

1. 预备知识: 微积分, 矢量 & 坐标系

这部分简单讲一讲几个数学工具. 这些东西是解决下面的物理问题的利器了. 既然是为物理服务, 这部分内容暂时不考虑数学上的绝对严密, 也不讲繁琐的证明和复杂的性质. 能用这几个数学工具研究我们的问题就够了.

小T水平实在有限, 可能讲得不够简明, 还望读者原谅.

1.1 微积分初步

高中数学选修2-2上讲了一些微积分的内容, 不过我们还要再补充一些东西才能解决我们的物理问题. 微积分可不仅仅是拿来求单调性和图形面积的, 有了微积分, 我们的许多物理问题就可以迎刃而解了.

1.1.1导数

我们知道, 速度描述了位置矢量 (从参考点指向所研究的质点的位置的矢量, 其增量即是位移) 的变化率, 加速度描述了速度的变化率. 在数学和物理上, 变化率问题是一类重要的问题.

对于函数 ??=?? ?? , 如何考察它的变化率?

当自变量由 ?? 增加至 ??+???? 时, 因变量 ?? 也发生增量 ????=?? ??+???? ??? ?? . 我们考察二者的比值:

??????(??+????)???(??)= 这个比值反映了区间 [??,??+????] 上函数 ??=?? ?? 的平均变化率.

当我们把区间长度 ???? 不断缩小, 这个比值将趋近于一个极限, 我们把该极限称作函数 ??=?? ?? 的导函数, 简称导数, 记作:

??(??+????)???(??)????=?????0式中 ???? 和 ????, 分别可以简单而不严格地理解为自变量和因变量的微小增量. 其中 ．．．??′=??′ ?? =??????

????=??′ ?? ???? 称作函数 ??=?? ?? 的微分.

另外, 我们提一提导数的其它几种记法:

1. ?? 对 ?? 的二阶导数可记作:

??2????′=′

??2??

????2 的意思是 ??????????.

(来自:WWw.SmhaiDa.com 海达范文网:孰知其然)

2. 对于以时间变量 ?? 为自变量的函数 ??=??(??), 其一阶导数可记作 ?? , 二阶导数记作 ?? .

导数的几何意义为曲线 ??=?? ?? 上任意一点处的切线的斜率.

对于函数 ?? 和函数 ??, 其导数的四则运算公式如下:

????±???? ′=????′±????′ (??,?? 为常数)

???? ′=??′??+????′

??′??′???????′ =另外, 复合函数求导可采用链式法则:

????????????=? 下面给出常见的几个导数公式:

??′=0 (??为常数)

(????)′=???????1

(????)′=??????????

1 ???????? ′=????????

???????? ′=????????? ?????????? ′=

???????? ′=??????2??=11.1.2不定积分

若一个函数有导函数, 则这个函数称作其导函数的原函数. 已知导函数, 求其原函数, 这就是不定积分了. 比如说, 已知加速度对时间的函数, 求速度对时间的函数, 这就是一个不定积分. 函数 ?? ?? 的不定积分记作 ?? ?? ????.

设 ??′ ?? =??(??), 我们对 ??(??) 做不定积分, 则有:

?? ?? ????=?? ?? +??

式中 ?? 为常数.

不定积分的结果含有常数项, 也就是说结果是一组而非一个原函数. 为什么会有常数 ?? 呢? 我们的条件是 ??′ ?? =??(??), 那么 ?? ?? +?? ′=??′ ?? +??′=??′ ?? =??(??), 也就是说 ?? ?? +?? 的导数同样是 ??(??), 因而 ?? ?? +?? 全都是 ??(??) 的原函数. 所以说, 对 ??(??) 做不定积分得到的不再是一个函数 ?? ?? , 而是一组具有相同导数的函数 ?? ?? +?? 了.

求 ??(??) 的不定积分 ?? ?? ????, 应先找出一个函数 ?? ?? , 使得 ??′ ?? =??(??), 那么函数系列 ?? ?? +?? 即为所求.

不定积分有以下性质:

[???? ?? ±???? ?? ]????=?? ?? ?? ????±?? ?? ?? ???? (??,??≠0)

也就是说: 不为零的常数可以提出积分符号; 函数的和的不定积分等于函数的不定积分的和.

求不定积分时, 我们还常用换元法. 令 ?? 为 ?? 的某函数, 对此函数求导, 得出 ???? 与 ???? 的关系, 把 ?? 换成 ??, ???? 换成 ????, 再做积分.

1.1.3定积分

先从v-t图引入.

图1

如何计算 ??=???? 到 ??=???? 这段时间内的位移呢?

如图1, 我们把区间 [????,????] 分成许多小段, 每一小段内的速度可近似认为是定值. 这样, 这个变速运动就近似成了许多段匀速运动, 每段匀速运动的位移就相当于图中每个小矩形的“面积”. 我们对每段匀速运动的位移求和, 就得到了变速运动的位移. 当这些小段分得非常非常小的时候, 这种求和就能精确描述这段时间内的位移了. 在v-t图上, 这就是 [????,????] 区间上v-t曲线与x轴所围成的“面积”. 这种分割、求和、取极限的方法就好像是把肉剁碎了再捏成丸子一样, 这其实就是定积分的原理.

一般地, 对于函数 ?? ?? , 我们这样定义它在 [??,??] 区间上的定积分:

在 [??,??] 区间上插入一系列分点, 把 [??,??] 区间分成 ?? 个小区间.

每个小区间的长

度为 ??????, 记 λ 为 ?????? 中的最大者. 在每个小区间上取一个 ?? 值 ????. 那么, 函数 ?? ?? 在 [??,??] 区间上的定积分被定义为:

?? ?? ????=?????? ??(????)??????

?????0??=1????

定积分有类似于不定积分的性质:

[???? ?? ±???? ?? ]????=?? ?? ?? ????±?? ?? ?? ???? (??,??≠0)

????????????

也就是说: 不为零的常数可以提出积分符号; 函数的和的定积分等于函数的定积分的和.

另外还有两条常用性质:

?? ?? ????=? ?? ?? ????

????

????????即: 调换上下限, 符号改变.

?? ?? ????= ?? ?? ????+ ?? ?? ????

????????

即: 可分段计算积分.

换元法类似不定积分.

直接计算定积分非常麻烦, 因而在实际计算中, 我们需要更有效的方法. 现在给出一个重要公式, 那就是微积分学的基本定理——牛顿-莱布尼兹公式:

??′ ?? ????=?? ?? ??? ??

????

这个公式说明了, 连续函数在某区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值．．．．

之差. 举个例子, 速度是加速度的原函数, 加速度在某段时间内的定积分就是速度的增量, 这就很好理解了.

引理一

有了上面的知识, 我们来尝试证明一个结论. 这个结论在后面包括简谐运动、振荡电路的几个物理问题上都十分有用.

命题: 若函数 ??=?? ?? 满足 ????=????? (??>0), 则该函数总可以表示成下列形式:

??=?? ?? =????????( +??).

标准做法要牵扯太多关于微分方程的数学知识, 所以我们还是将就我们现有的东西做好了.

证明:

先用链式法则把条件变形:

??

等式两端同乘以 ????, 得:

??????????=????????? <2> 两边同时做不定积分得到:

??2???????????=????? <1>

1????21(=?????2+??1 <3> 由于等式左边永远不小于零, 所以 ?? 的取值范围是 [ ?

??= 2??1??2??1??, 2??1??], 因此我们令 ????????, 求个导得到 ????= 2??1??????????????. 把 ?? 和 ???? 带到<3>里一通运算, 用点三

角公式, 最后得到:

(

????????2)=?? <4> ????2??1??开个根, ????=± , 做不定积分, ??=± +??0, 带入 ??=

2??1??= ?????? ±+??0 <5> 即: ????????, 得到:

2??12??1??= ????+??0 或 ??= ????+?????0 统一上面两种情形:

??=??????+?? <6>

证毕.

1.2 矢量初步

物吧精品贴区有讲矢量的文章可以参考: 《科普向——向量的方程。。。大学以下的盆友进》 by 圣元教育, 地址是: http://tieba.baidu.com/p/2384128513.

注意, 高中物理教材是不区分矢量、矢量的模和矢量的投影这几个概念的, 而为了严谨性, 我们的叙述中会像数学教材一样区分这几个概念. 小T有一篇辨析这几个概念的文章: 《【科普】矢量的描述》, 地址是: http://tieba.baidu.com/p/2457282663.

1.2.1 矢量的基本运算

矢量也叫向量, 是有大小、有方向且遵从平行四边形加法法则的量. 物理学中的速度、加速度、力和动量等属于矢量. 我们可以用有向线段表示矢量. 比如 ???? 这

. 矢量还可以用加粗的字母表示: ??, 手写体记个有向线段就可以表示一个矢量, 记作 ????

作 ?? .

矢量的大小叫做矢量的模. 模为 1 的矢量称作单位矢量, 常在字母上加一个小帽表 . 模为 0 的矢量叫零矢量, 记作 ??, 手写为 示: ??0.

如果我们把矢量的起点放在直角坐标系的原点, 矢量的终点就可以用一组坐标表示出来. 我们可以用这组坐标表示这个矢量: ??=(????,????,????). ????, ???? 和 ???? 分别称作矢量 ?? 在x轴、y轴和z轴上的投影.

加法

矢量加法, 也叫矢量合成, 遵从平行四边形法则或三角形法则. 求合力就是一种矢量

篇四：知其然,知其所以然

知其然，知其所以然

——“角的平分线的性质”（第一课时）教学设计

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中指出：要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材。同时指出，有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，教师应引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。教学中要鼓励与提倡解决问题策略的多样化，问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的策略，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，丰富数学活动的经验，提高思维水平。这实际是倡导“做数学”和“用数学”，强调的是在数学活动中体验和感悟数学，理解和运用数学，关注的是学生知识的形成和发展的过程。

教科书把角的平分线的性质作为全等三角形这一章的最后一节，安排的是非常合理的。无论从角的平分线的尺规作图还是角的平分线的性质与判定来看，全等三角形一直起到了关键的支撑作用，本节不但使学生掌握了关于角的平分线的有关知识，还提高了学生综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力。

为了更好地实现教学目标，以新课程标准为依据，我把本节课分为两个课时，第一课时重点学习角平分线的作法，第二课时重点学习角平分线的性质与应用。在进行第一课时的教学设计时，为了体现由浅入深，由简单到复杂，由具体到抽象的原则，同时为了达到对前面知识的复习巩固与综合运用的目的，我对教学过程进行了大胆的创新。

教学过程设计

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作业反馈

下面是学生在做作业时探索出来的几种典型方法： [方法一]

在OA、OB上截取OC=OD，连结CD，并作 CD的中点E，作射线OE。射线OE即为要 求作的角平分线。

原理：用SSS证明△OCE≌△ODE。 [方法二]

在∠AOB的边OA、OB上分别截取OC=OD，OE=OF，

O

B

连结DE、CF相交于P点，作射线OP，则射线 OP即为要求作的角平分线。

原理：先用SAS证明△EDO≌△FCO，

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再用AAS证明△EPC≌△FPD，最后用SSS证明△CPO≌△DPO。 [方法三]

在∠AOB的边OA、OB上分别截取OC=OD， 作CE∥OB，DF∥OA，CE、DF交于P， 作射线OP，射线OP

原理：学生不能讲明原理，但经过多次验证 确信此方法是正确的。

（我们知道学生这样作实际上是构造了一个菱形，而菱形的每一条对角线平分一组对角。这需要在以后才能学到。）

教后反思

本课从角的平分线的不同作法出发，引导学生分析不同作法的原理，从而提高学生运用三角形全等的知识解决问题的能力。充分体现了学生自己动手，主动探索，合作交流的学习方式。

教材是知识的载体，教师从事数学教学，不是教教材、教教案，而是用教材教数学。教材只是一条线索，为学生的数学学习活动提供一个路径。教材中的具体素材，包括知识的发生背景、表现形式和例、习题的使用等都是可以改变的，这正是教师在教材的“用”上可以大显身手的重要原因，教师要学会全方位地解读教材，多角度地分析教材，把握教材编者的意图，熟悉知识体系。教师要合理地“用”教材，而不必拘泥于教材形式，可以不完全按教材教学，只要以《数学课程标准》为依据，能够达到《数学课程标准》规定的整体性要求和目标即可。教师在使用教材时，可以根据自己的理解对教材内容进行必要的增减与整合，根据自己的教学实际情况去创造性地使用教材。本课例的教学不像通常教学那样，各部分教学内容平分秋色，而是在探索角平分线的作法上浓笔重彩，以角平分线的作法为重点，鼓励与提倡从不同角度去探索。《数学课程标准》的实施，提倡让学生有充分的从事数学活动的时间和空间，在亲身体验和探索中学习数学。

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篇五：知其然,更要知其所以然

知其然，更要知其所以然

——观摩《课题学习：简单平面图形的重心》课例的反思

兴宁中学 汪佳明

新课程标准的出台和新教材的实验与推广，加大了教学改革的力度，为培养

学生的创新意识和实践能力提供了良好的空间。新教材无论从内容设计上还是呈现形式上，都给传统的教学模式以冲击，也给我们教师带来了一个新挑战——如何上好“课题学习”课。“课题学习”是新课程标准的一大特色，也是新教材的亮点之一，由于它是一块新增的内容，一种新型的教学活动，没有现成的教学方法可以遵循，许多教师都是边实践，边教学，从中努力寻求好的教学手段和方法。为此，今年四月份江东区教研室组织了一次初二数学教师的教研活动，由一名教师上一节优质示范课，执教的课例是浙教版八年级下册的课题学习：简单平面图形的重心。

一、课例教学片段回顾与评析

（一）创设情境，激发兴趣

1、欣赏杂技演员顶举多个圆形瓷盘进行表演的照片

2、教师示范杂技，用一个手指头平衡地顶起一本书，并以手指头为支点让书

本旋转起来

3、让学生也模仿教师的动作，尝试着表演顶书杂技，多数学生表演失败

3、发问学生，演员和教师为何有这样的杂技本领

4、引出重心的物理含义：物体的各部分都受到重力作用，从效果上看整个物

体所受的重力就集中作用在一点上，这一点叫做物体的重心

评析：1、通过欣赏杂技演员和教师的精彩表演，引起学生的好奇心，跃跃欲

试之后的失败更是加重了他们的疑惑：为何演员和教师能使圆盘和书本不掉下来而旋转呢？激发了学生学习本课题的兴趣。

2、教师介绍重心的物理含义后可让学生再次尝试顶书杂技，通过重心

使竖直向上和竖直向下的力平衡即可，让他们在感受成功的喜悦的同时对重心的含义产生感性认识，感受重心是客观存在，为后面从物体重心到几何图形重心的抽象作好铺垫。

（二）实践活动，探求方法

1、活动一：寻找一支粗细均匀的木条的重心位置

（1）如图所示，两手分开把均匀木条水平地架在左右手

的食指上，把两食指相对交替靠拢直到并在一起为止．用一

个食指支在此处木条能水平平衡的位置．

（2）用刻度尺量出平衡点的位置．得出均匀木条的重心在木条的中点处．

（3）学生由圆形瓷盘、书本、铅笔的重心探求经历，得到确定物体重心的方

法之一：顶举法（支撑法），关键是使以重心为作用点的竖直向上和竖直向下的

力平衡即可

2、活动二：不用顶举法来寻找不规则外形薄板的重心位置

（1）任选两点A、C作为悬挂点

（2）静止时在薄板上描下两重垂线AB、CD的位置

（3）两重垂线的交点即为重心G

（4）解释此法的合理性，关键是重心必在重垂线上，

得到确定物体重心的方法之二：悬挂法

评析：教师设置的两个课堂活动，充分提供了学生实验、观察、测量的机会，

培养了他们的探究意识，使他们在动手的过程中感受数学活动的乐趣，并且为三

角形重心位置的验证做好方法上的准备。

（三）经历抽象，获得新知

1、把物体抽象成平面几何图形（圆形瓷盘——圆，书本——长方形，木条—

—线段），得到圆的重心是圆心，长方形的重心是对角线的交点，线段的

重心是中点，由此得到平面几何图形的重心就是它的几何中心。

2、根据重力的物理意义，借助数学推理，探究三角形的重心位置。因为三角

形的每一条中线都把三角形分成面积相等的两部分。如果把三角形看成一

块均匀的薄板，那么这两部分所受的重力应当相等。因此，三角形的重心

在这条中线上。由此可得重心应是三角形三条中线的交点。

3、依据三角形重心的数学推理思路，教师引导学生总结出命题：“平分平面

几何图形面积的两条直线的交点是重心。”

（注：此命题为假命题，但该授课教师却将它当作是真命题来使用，导致以

下所有的重心问题的解决都建立在一个假命题之上，这成为了本节课最大

的败笔）

评析：1、把物体的重心概念抽象成几何图形的重心概念，关键是把物体抽象成几何图形。由于教师先前创设了照片展示、杂技表演、实验活动等一系列的课堂环节，使得学生在经历抽象的过程中显得轻松自然，突破了难点。特别是对于长方形的重心与其对角线交点关系的得出体现了“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”发展了几何直觉和合情推理的能力。

2、如何用数学推理求一个三角形的重心，浙教版八年级下册的教学参考书中确实有一段这样的说明：“因为三角形的每一条中线都把三角形分成面积相等的两部分。如果把三角形看成一块均匀的薄板，那么这两部分所受的重力应当相等。因此，三角形的重心在这条中线上。

由此可得重心应是三角形三条中线的交点。”但是，

该教师却未能把教参中的只言片语理解透彻，正所谓

知其然，更要知其所以然。

如图，把?ABC看成一块均匀的薄板，由悬挂

法可验证中线AD把?ABC分成面积相等的两部分

?ABD与?ACD，因此两部分所受的重力F1=F2，它们

分别集中作用于点G1与G2，且F1与F2到重垂线AD的距离（即力臂）分别为L1与L2。事实上，悬挂法的物理依据就是力矩平衡原理，由公式：F1×L1=F2×L2可知，必有L1=L2。所以若仅有F1=F2（F1=F2在平面几何上表现为两部分面积相等）而L1≠L2是不能保证?ABC获得平衡的（平衡表现为用悬挂法时三角形薄板保持静止状态），此时，重心就不在AD上了。由此可见，重心未必在平分几何图形面积的直线上。从而就说明了该教师总结出的寻找重心的数学方法——命题“平分平面几何图形的两直线的交点是重心”是假命题。

另外，也可以举一个简单的反例再次阐明原命题是假命题。如图，

?ABC中，AD、BK是中线，交点G必是?ABC的重心，

AEAF??又，所以EF也平分?ABC的面积，但

ABAC

EF与AD的交点G’却不是?ABC的重心。

故在教学中可先通过数学推理，再悬挂、实验，观察出三角形的三条中线交于一点，在客观上承认了这样一个数学事实：三角形的重心是它的三条中线的交点。

（四）运用新知，巩固提高

1、例1：画出正方形、平行四边形、正五边形、正六边形的重心

2、例2：画出（1）（2）两图的重心

（1） （2）

评析：1、由于教师误把“平分平面几何图形的两直线的交点是重心”当作真命题，所以在启发学生解决例1的重心问题时，仅从寻求平分几何图形面积的两直线的角度上去分析，尽管从答案的结果上看，G的位置是正确的，但却误导了学生对重心问题本质的理解。

2、例2求的是组合图形的重心，教师引导学生将它分割成几个简单的平面图形，再归结为类似例1的做法。

3、可以把假命题：“平分平面几何图形的两直线的交点是重心”修改为命题（?）：“当平面几何图形是中心对称图形时，平分平面几何图形的两直线的交点是重心”，它是一个真命题。根据力矩平衡原理，此时必有L1=L2，所以F1=F2，从而有两部分的面积相等。例1的重心问题从而得到解决。但命题（?）的否命题是假命题，如例2（2）的图形不是中心对称图形，但平分该图形的两条直线的交点却是重心。所以说，求平面几何图形的重心是一个很复杂问题，不是仅仅靠画两条平分面积的直线就可以解决的，严格地说需要用到微积分的知识。

现从理论上简述?a href="http://www.zw2.cn/zhuanti/guanyuwozuowen/" target="_blank" class="keylink">我馑谋咝沃匦牡淖鞣ǎ喝缤迹崴谋?/p>

形的一条对角线，这样四边形就变成两个三角形的组合体，

分别作出两个三角形的重心A、B并连结，同样，连结这个

四边形的另一条对角线，四边形就变成了另外两个三角形的

组合体，再分别作出这两个三角形的重心C、D并连结，线段AB与线段CD交于点G，G就是该四边形的重心。同理，用数学归纳法可以将此法推广到N边形重心的作法，这里不再赘述。

3、例3：如图，G是?ABC的重心

1（1）说明S?GBC=S?ABC的理由； 3

（1） （2）连结AG并延长交BC于D，则S?BGD是S?ABC的几分之几？ （2）

评析：教师对此题的分析思路也有待商榷。由于被命题“平分平面几何图形的两直线的交点是重心”的思路误导，接着又认为：过平面几何图形重心的直线平分该图形的面积。即误认为此命题的逆命题也为真命题。因此，教师分析认为，连结重心G和?ABC各个顶点的线段必然把?ABC的面积三等份。其实，命题“过平面几何图形重心的直线平分该图形的面积”是假命题，还

是利用三角形的重心举一个反例来说明：如图，?ABC中，

G是它的重心，过G作DE//BC交AB、AC于D、E，但S?ADE

S四边形DBCE

求解。 4例3可以根据三角形同底等高的面积关系来?。5C

（五）学有所用，分享快乐

1、以学生畅谈收获感想的形式进行课堂小结

2、在课堂教学的尾声中，利用分发到的工具箱内的多边形材料，学有所用，向同学们和教师展示自己的杂技表演。

二、对该课例的几点反思

1、本节课例的活动流程为：提出课题——实验、猜想、探究——形成结论——巩固提高——课题小结。在实验、猜想、探究环节中遵循从简单到复杂、从特殊到一般、从形象到抽象等原则开展活动，注重培养学生动手实践、自主探索与合作交流的学习方式，进一步培养学生课题学习的意识。所以，从课例教学情境的

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