一位网民在网上光顾

篇一：常州市2015届高三第一学期期末调研测试数学试卷

常州市2015届高三第一学期期末调研测试

数学Ⅰ试题 2015年2月

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1． 设集合A???1,0,1?，B??0,1,2,3?，则A2． 设复数z?

B．

m?3i

（m?0，i为虚数单位），若z?z，则m的值为 ▲ ． 1?mi

2

2

3． 已知双曲线ax?4y?

1a的值为． 4． 函数f(x)?log2x2?6的定义域为

x?xx?

5．

函数f(x)?cos?sin?的最小正周期为 ▲ ．

2?22?

??

6． 右图是一个算法流程图，则输出的a的值是．

（第6题）

7． 现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙

类试题的概率为 ▲ ．

?2x?y≤2,

?

8． 若实数x,y满足约束条件?x?y≥?1,则目标函数z?2x?y的最小值为 ▲ ．

?x?y≥1,??pp?

9． 曲线y?x?cosx在点??处的切线方程为 ▲ ．

?22?

10．已知函数f(x)?2x?2?x???1,2??，则函数y?f(x?1)的值域为

11．已知向量a??1,1?，b???1,1?，设向量c满足?2a?c???3b?c??0，则c的最大值为

3

12．设等比数列?an?的公比为q（0?q?1），前n项和为Sn，若a1?4a3a4，且a6与a4的等差中项为a5，

4

则S6?

13．若不等式x2?2y2≤cx(y?x)对任意满足x?y?0的实数x,y恒成立，则实数c的最大值为 14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O共线，O1，O2两

点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x?y?8?0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明．．．．．．．

过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c

．已知

b?，A?3C?p． c （1）求cosC的值；（2）求sinB的值；（3

）若b?ABC的面积．

16．（本小题满分14分）

如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD⊥平面 ABCD， PB=PD，PA⊥PC，CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM．求证： （1）OM∥平面PAD； （2）OM⊥平面PCD．

17．（本小题满分14分）

某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽

2

S的通道，如图．设矩形温室的室内长为x（m），三块种植植物的矩形区域的总面积为（m）． ．．．

D

（第16题）

（1）求S关于x的函数关系式； （2）求S的最大值．

18．（本小题满分16分）

1x2y2

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率e?，直线

2abC的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点． l:x?my?1?0(m?R过椭圆)

（1）求椭圆C的标准方程；

5

（2）已知点D(,0)，连结BD，过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与直线BD交于点P，试探

2

索当m变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P恒在直线l2上？若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分16分）

?

?d,1≤n≤15,?

已知数列{an}（n?N*，1≤n≤46）满足a1?a， an?1?an??1,16≤n≤30,其中d?0，n?N*．

?1

?,31≤n≤45,?d

（1）当a?1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围； （2）设集合M?{b|b?ai?aj?ak,i,j,k?N?,1≤i?j?k≤16}．

11

①若a?，d?，求证：2?M；

34

153

②是否存在实数a，d，使，1，都属于M？若存在，请求出实数a，d；若不存在，请说明

840

理由．

20．（本小题满分16分） 已知a，b为实数，函数f(x)?

1

?b，函数g(x)?lnx． x?a

（1）当a?b?0时，令F(x)?f(x)?g(x)，求函数F(x)的极值；

（2）当a??1时，令G(x)?f(x)?g(x)，是否存在实数b，使得对于函数y?G(x)

定义域中的任意实数x1，均存在实数x2?[1,??)，有G(x1)?x2?0成立，若存在，求出实数b的取

值集合；若不存在，请说明理由．

数学Ⅱ（附加题） 2015年2月

21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—1：几何证明选讲

已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一 点，PC是?APB的平分线，E是下半圆的中点. 求证：直线PC经过点E.

B．选修4—2：矩阵与变换

?0a? 已知矩阵M???满足：Mαi?liαi，其中li(i?1,2)是互不相等的实常数，αi(i?1,2) b0???1?

是非零的平面列向量，l1?1，α2???，求矩阵M.

?1?

（第21-A题）

C．选修4—4：坐标系与参数方程

已知两个动点P，Q分别在两条直线l1:y?x和l2:y??x上运动，且它们的横坐标分别为角q的正弦，余弦，q?[0,π].记OM?OP?OQ，求动点M的轨迹的普通方程.

D．选修4—5：不等式选讲

已知a?0,b?0，证明：(a2?b2?ab)(ab2?a2b?1)≥9a2b2.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．

说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)

一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A,B,C,D,E五种商品有购买意向.已知该网民购买A,B两种商品的概率均为率为

32

，购买C,D两种商品的概率均为，购买E种商品的概43

1

.假设该网民是否购买这五种商品相互独立. 2

（1）求该网民至少购买4种商品的概率；

（2）用随机变量h表示该网民购买商品的种数，求h的概率分布和数学期望.

23．（本小题满分10分） 设n个正数a1,a2,

,an满足a1≤a2≤

≤an（n?N且n≥3）．

*

（1）当n?3时，证明：（2）当n?4时，不等式

a1a2a2a3a3a1

??≥a1?a2?a3； a3a1a2

a1a2a2a3a3a4a4a1

???≥a1?a2?a3?a4也成立，请你将其推广到n（n?N*且a3a4a1a2

n≥3）个正数a1,a2,,an的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．

篇二：概率专题

绝密★启用前

2013-2014学年度???学校12月月考卷

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

1．（本小题满分12分）袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取

2个

球都是白球的概率为

1

7

，每个球被取到的机会均等．现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为X．

（1）求袋子中白球的个数；

（2）求X的分布列和数学期望．

2．（本小题满分12分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段

?75,80?，?80,85?，?85,90?，?90,95?，?95,100?（单位：小时）进行统计，其频率

分布直方图如图所示．

0.0750.0600.040O服务时间/小时

（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率； （2）从全市高中学生．．．．．．．（．人数很多．．．．）．中任意选取3位学生，记?为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量?的分布列和数学期望E???.

3．（本小题满分12分） 某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为

1

3

，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．

试卷第1页，总6页

（1）求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；

（2）求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望． 4．射击测试有两种方案，方案1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击；方案2：始终在乙靶射击，某射手命中甲靶的概率为

23，命中一次得3分；命中乙靶的概率为，34

命中一次得2分，若没有命中则得0分，用随机变量?表示该射手一次测试累计得分，如果?的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次测试最多打靶3次，每次射击的结果相互独立。

（1）如果该射手选择方案1，求其测试结束后所得分?的分布列和数学期望E?； （2）该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由。

5．(本小题满分10分)一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A,B,C,D,E五种商品有购买意向.已知该网民购买A,B两种商品的概率均为3

4

，购买C,D两种商品的概率均为

23，购买E种商品的概率为12

.假设该网民是否购买这五种商品相互独立.

（1）求该网民至少购买4种商品的概率；

（2）用随机变量h表示该网民购买商品的种数，求h的概率分布和数学期望. 6．（本小题12分）据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表： （1）已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？

（2）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数?的分布列和数学期望.

7．（本小题共13分）某次数学考试共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，还有两道题能准确排除每题中的2个错误选项，其余两道题完全不会只好随机猜答. （Ⅰ）求该考生8道题全答对的概率； （Ⅱ）若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列.

8．某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．

试卷第2页，总6页

（1）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；

（2）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；

（3）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为X，求X的分布列及数学期望． （注：频率可以视为相应的概率） 9．（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如

（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时

间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.

（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望EX． 下面临界值表仅供参考：

K2

?n(ad?bc)2

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)

.

10．（本小题满分13分）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体制健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：

试卷第3页，总6页

根据学生体制健康标准，成绩不低于76的为优良．

（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体制健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；

（2）从抽取的12人中随机选取3人，记?表示成绩“优良”的学生人数，求?的分布列及期望． 11．（本题满分12分）翡翠市场流行一种赌石“游戏规则”：翡翠在开采出来时有一层风化皮包裹着，无法知道其内的好坏，需切割后方能知道翡翠的价值，参加者先缴纳一定金额后可得到一块翡翠石并现场开石验证其具有的收藏价值，其举办商在赌石游戏中设置了甲乙两种赌石规则，规则甲的赌中率为

2

3

，赌中后可获得20万元；规则乙的赌中率为P0(0

?P0?1)，赌中后可获得30万元；未赌中则没有收获，每人有且只有一次

赌石机会，每次赌中与否互不影响，赌石结束后当场得到兑现金额.

（1）收藏者张先生选择规则甲赌石，收藏者李先生选择规则乙赌石，记他们的累计获得金额数为X(单位：万元)，若X?30的概率为

7

9

，求P0的大小； （2）若收藏者张先生李先生都选择赌石规则甲或赌石规则乙进行赌石，问：他们选择何种规则赌石，累积得到的金额的数学期望最大？ 12．（本小题满分12分）某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x(单位：月)与这种鱼类的平均体重y(单位：千克)得到一组观测值，如下表：

(1)在给出的坐标系中，画出关于x、y两个相关变量的散点图．

试卷第4页，总6页

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程

??bx?a?． y

(3)预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重(单位：千克)． （参考公式：b?

n

?xy?nxy

ii

?x

i?1

i?1

n

??y?bx） ，a

2

i

?n(x)2

13．（本小题满分12分）2014年7月16日，中国互联网络信息中心发布《第三十四次中国互联网发展状况报告》

，报告显示：我国网络购物用户已达3.32亿．为了了解网购者一次性购物金额情况，某统计部门随机抽查了6月1日这一天100名网购者的网购情

况，得到如下数据统计表．已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4．

确定x，y，p

，q的值，并补全频率分布直方图；

（2）为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关，对这100名网购者调查显示：购物金额在2000元以上的网购者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的网购者中网龄不足3年的有20人． (1)请将列联表补充完整；

(2)并据此列联表判断，是否有%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关？ 2

（参考公式：?2

?n?ad?bc?a?bc?da?cb?d，其中n?a?b?c?d）

14．（本小题满分12分）

在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的6次培训成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图：

试卷第5页，总6页

篇三：江苏省常州市2015届高三第一学期期末调研测试数学试卷

常州市2015届高三第一学期期末调研测试

数学Ⅰ试题 2015年2月

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1． 设集合A???1,0,1?，B??0,1,2,3?，则A2． 设复数z?

B

m?3i

（m?0，i为虚数单位），若z?z，则m的值为 ▲ ． 1?mi

2

2

3． 已知双曲线ax?4y?

1a的值为 ▲ ． 4． 函数f(x)?log2x2?6的定义域为．

x?xx?

5．

函数f(x)?cos?sin??的最小正周期为 ▲ ．

2?22?

??

6． 右图是一个算法流程图，则输出的a的值是

（第6题）

7． 现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1

道试题是乙类试题的概率为 ▲ ．

?2x?y≤2,

?

8． 若实数x,y满足约束条件?x?y≥?1,则目标函数z?2x?y的最小值为 ▲ ．

?x?y≥1,??pp?

9． 曲线y?x?cosx在点??处的切线方程为 ▲ ．

?22?

10．已知函数f(x)?2x?2?x???1,2??，则函数y?f(x?1)的值域为．

11．已知向量a??1,1?，b???1,1?，设向量c满足?2a?c???3b?c??0，则c的最大值为

▲ ．

312．设等比数列?an?的公比为q（0?q?1），前n项和为Sn，若a1?4a3a4，且a6与a4的等

4

差中项为a5，则S6?

13．若不等式x2?2y2≤cx(y?x)对任意满足x?y?0的实数x,y恒成立，则实数c的最大值为

▲ ．

14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O共线，

设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x?y?8?0，O1，O2两点的横坐标之积为6，

则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．

说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c

．已知

b?，A?3C?p． c （1）求cosC的值；（2）求sinB的值；（3

）若b?ABC的面积．

16．（本小题满分14分）

如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD⊥平面 ABCD， PB=PD，PA⊥PC，CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM．求证： （1）OM∥平面PAD； （2）OM⊥平面PCD．

17．（本小题满分14分）

某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x（m），三块种植植物的矩形区域的总面积为S（m2）． ．．．（1）求S关于x的函数关系式； （2）求S的最大值．

（第16题）

18．（本小题满分16分）

1x2y2

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率e?，直线

2abl:x?my?1?0(m?R)过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．

（1）求椭圆C的标准方程；

5

（2）已知点D(,0)，连结BD，过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与直线BD交于

2

点P，试探索当m变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P恒在直线l2上？若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分16分）

?

?d,1≤n≤15,?

已知数列{an}（n?N*，1≤n≤46）满足a1?a， an?1?an??1,16≤n≤30,其中d?0，

?1

?,31≤n≤45,?dn?N*．

（1）当a?1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围； （2）设集合M?{b|b?ai?aj?ak,i,j,k?N?,1≤i?j?k≤16}．

11

①若a?，d?，求证：2?M；

34

531

②是否存在实数a，d，使，1，都属于M？若存在，请求出实数a，d；若不存

408

在，请说明理由．

20．（本小题满分16分） 已知a，b为实数，函数f(x)?

1

?b，函数g(x)?lnx． x?a

（1）当a?b?0时，(来自:www.sMHaiDa.com 海 达范文网:一位网民在网上光顾)令F(x)?f(x)?g(x)，求函数F(x)的极值；

（2）当a??1时，令G(x)?f(x)?g(x)，是否存在实数b，使得对于函数y?G(x) 定义域中的任意实数x1，均存在实数x2?[1,??)，有G(x1)?x2?0成立，若存在，求

出实数b的取值集合；若不存在，请说明理由．

数学Ⅱ（附加题） 2015年2月

21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答．．．．．．．题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．．．

A．选修4—1：几何证明选讲

已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一 点，PC是?APB的平分线，E是下半圆的中点. 求证：直线PC经过点E.

B．选修4—2：矩阵与变换

?0a? 已知矩阵M???满足：Mαi?liαi，其中li(i?1,2)是互不相等的实常数，αi(i?1,2) b0???1?

是非零的平面列向量，l1?1，α2???，求矩阵M.

?1?

A

B

（第21-A题）

C．选修4—4：坐标系与参数方程

已知两个动点P，Q分别在两条直线l1:y?x和l2:y??x上运动，且它们的横坐标分别为角q的正弦，余弦，q?[0,π].记OM?OP?OQ，求动点M的轨迹的普通方程.

D．选修4—5：不等式选讲

已知a?0,b?0，证明：(a2?b2?ab)(ab2?a2b?1)≥9a2b2.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答．．．．．．．

时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)

一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A,B,C,D,E五种商品有购买意向.已知该网民购买A,B两种商品的概率均为为

3

，购买C,D两种商品的概率均4

21

，购买E种商品的概率为.假设该网民是否购买这五种商品相互独立. 32

（1）求该网民至少购买4种商品的概率；

（2）用随机变量h表示该网民购买商品的种数，求h的概率分布和数学期望.

23．（本小题满分10分） 设n个正数a1,a2,

,an满足a1≤a2≤

≤an（n?N且n≥3）．

*

（1）当n?3时，证明：（2）当n?4时，不等式

a1a2a2a3a3a1

??≥a1?a2?a3； a3a1a2

a1a2a2a3a3a4a4a1

???≥a1?a2?a3?a4也成立，请你将其推广到a3a4a1a2

n（n?N*且n≥3）个正数a1,a2,

证明．

,an的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法

篇四：2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：统计与概率

江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编

统计与概率

一、填空题 1、（常州市2015届高三）现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为 ▲ ． 2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为 ▲

3、（南京市、盐城市2015届高三）在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9,10,9,7,10，则该组数据的方差是 ▲ .

4、（南通市2015届高三）某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为 5、（苏州市2015届高三上期末）某课题组进行城市空气质量监测，按地域将24个城市分成甲、乙、丙三组，对应区域城市数分别为4、12、8.若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应该抽取的城市数为 6、（泰州市2015届高三上期末）袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 ▲

,9的平均数为10，则该组样本7、（无锡市2015届高三上期末）若一组样本数据8,x,10,11

数据的方差为

8、（扬州市2015届高三上期末）知样本6，7，8，9，m的平均数是8，则标准差是＿＿＿＿ 9、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）某用人单位从甲、乙、丙、丁共4名应聘者中招聘2人，若每个应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1人被录用的概率为 ▲ ． 10、（南京市、盐城市2015届高三）甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为 ▲ . 11、（南通市2015届高三）同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)，观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为 12、（苏州市2015届高三上期末）设x?{?1,1},y?{?2,0,2}，则以(x,y)为坐标 的点落在不等式x?2y?1所表示的平面区域内的概率为

13、（无锡市2015届高三上期末）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 14、（扬州市2015届高三上期末）在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为＿＿

二、解答题

1、（常州市2015届高三）一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A,B,C,D,E五种商品有购买意向.已知该网民购买A,B两种商品的概率均为C,D两种商品的概率均为

3

，购买4

21，购买E种商品的概率为.假设该网民是否购买这五种商品相32

互独立.

（1）求该网民至少购买4种商品的概率；

（2）用随机变量h表示该网民购买商品的种数，求h的概率分布和数学期望.

2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）某校现有8门选修课程，其中4门人文社会类课程，4门自然科学类课程，学校要求学生在高中3年内从中任选3门课程选修，假设学生选修每门课程的机会均等．

(1)求某同学至少选修1门自然科学类课程的概率；

(2)已知某同学所选修的3门课程中有1门人文社会类课程，2门自然科学类课程，若

该同学通过人文社会类课程的概率都是

43

，自然科学类课程的概率都是，且各门54

课程通过与否相互独立．用?表示该同学所选的3门课程通过的门数，求随机变量?的概率分布列和数学期望．

3、（苏州市2015届高三上期末）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不陪不赚，这三种情况发生的概率分别为,,；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）.

（1）如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益（收益=回收资金-投资资金），求X的概率分布列及数学期望E（X）. （2）若10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围.

4、（泰州市2015届高三上期末）记Cir为从i个不同的元素中取出r个元素的所有组合的个数．随机变量?表示满足Ci?

r

111

244

12

i的二元数组(r,i)中的r，其中i??2,3,4,5,6,7,8,9,10?，2

每一个Cir（r?0,1,2,?,i）都等可能出现．求E?．

5、（扬州市2015届高三上期末）)射击测试有两种方案，方案1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击；方案2：始终在乙靶射击，某射手命中甲靶的概率为命中乙靶的概率为

2

，命中一次得3分；3

3

，命中一次得2分，若没有命中则得0分，用随机变量?表示该射手4

一次测试累计得分，如果?的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次测试最多打靶3次，每次射击的结果相互独立。

（1）如果该射手选择方案1，求其测试结束后所得部分?的分布列和数学期望E?； （2）该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由。

参考答案

一、填空题 1、

61914

2、 3、 4、93 5、3 6、 7、2 10353

131125

8

9、 10、0.3 11、 12、 13、 14、

632336

二、解答题

332211

1、解：（1）记“该网民购买i种商品”为事件Ai,i?4,5，则：P(A5)??????,

443328

332213221233111312P(A4)?????(1?)?C2?(1?)????C2?(1?)????,???4433244332334423??2分

1111

所以该网民至少购买4种商品的概率为 P(A5)?P(A4)???.

8324

11

. ?????????3分 24

（2）随机变量h的可能取值为0,1,2,3,4,5， 答：该网民至少购买4种商品的概率为

332211

P(h?0)?(1?)?(1?)?(1?)?(1?)?(1?)?,

44332288

322123311312P(h?1)?C2?(1?)?(1?)?(1?)?(1?)?C2?(1?)?(1?)?(1?)?(1?)?

44332334421332211

, ?(1?)?(1?)?(1?)?(1?)?

24433288

3322122331P(h?2)???(1?)?(1?)?(1?)???(1?)?(1?)?(1?)?

4433233442

223313221113C2(1?)??(1?)?(1?)??C2?(1?)?(1?)?(1?)? 3344244332321471312, ?C2?(1?)?C2?(1?)?(1?)?44332288P(h?3)?1?P(h?0,1,2,4,5)?1?1P(h?4)?P(A4)?,

3

1

P(h?5)?P(A5)?. ?????????8分

8

所以：随机变量h的概率分布为：

111471197

, ?????

28828828838288

故Eh?0?

11147971110?1??2??3??4??5??.?????????10分 288288288288383

2、(1) 记“某同学至少选修1门自然科学课程”为事件A，

3C4113

则P(A)=1?3?1??，?????????????????????2分

C81414

所以该同学至少选修1门自然科学课程的概率为

13

.???????????3分 14

(2)随机变量?的所有可能取值有0,1,2,3．?????????????????4分

1?1?14?1?11311

因为P(?=0)=???=，P(?=1)=???+?C2???，

5?4?805?4?5448

4131?3?334?3?91

，????8分 P(?=2)=?C2??+???=，P(

?=3)=????

5445?4?805?4?20

所以?的分布列为

2

2

22

?1??2??3??2.3.????????????10分 所以E(?)=0?80808080

3、

4、解：∵ Ci?当i?2时，

r

12

i， 2

1212i(i?1)12521i?12i?23

C?C?1?i，Ci?Ci?i?i，Ci?Ci??i，C5?，

22222

i

ii

12

i的解为r?0,1,,i． ??????3分 2

i?1r?1r

当6?i?10,i?N*， Ci?Ci?r?，

2

i(i?1)(i?2)123

?i?i?3,4,5可知： 由Ci?

62

12r

当r?0,1,2,i?2,i?1,i时，Ci?i成立，

21

212r3r

当r?3,,i?3时，Ci?Ci?i（等号不同时成立），即Ci?i．?????6分

∴当2?i?5,i?N*时，Ci?

r

????????????????8分

∴E??(0?1?2)?

311177?(3?4?5?6?7?8)??9??10??． 1616244824

篇五：2015届常州市高三一模数学试卷及答案

常州市2015届高三第一学期期末调研测试

数学Ⅰ试题 2015年2月

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1． 设集合A???1,0,1?，B??0,1,2,3?，则A2． 设复数z?

B．

m?3i

（m?0，i为虚数单位），若z?z，则m的值为 ▲ ． 1?mi

2

2

3． 已知双曲线ax?4y?

1a的值为． 4． 函数f(x)?log2x2?6的定义域为

x?xx?

5．

函数f(x)?cos?sin?的最小正周期为 ▲ ．

2?22?

??

6． 右图是一个算法流程图，则输出的a的值是．

（第6题）

7． 现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙

类试题的概率为 ▲ ．

?2x?y≤2,

?

8． 若实数x,y满足约束条件?x?y≥?1,则目标函数z?2x?y的最小值为 ▲ ．

?x?y≥1,??pp?

9． 曲线y?x?cosx在点??处的切线方程为 ▲ ．

?22?

10．已知函数f(x)?2x?2?x???1,2??，则函数y?f(x?1)的值域为

11．已知向量a??1,1?，b???1,1?，设向量c满足?2a?c???3b?c??0，则c的最大值为

3

12．设等比数列?an?的公比为q（0?q?1），前n项和为Sn，若a1?4a3a4，且a6与a4的等差中项为a5，

4

则S6?

13．若不等式x2?2y2≤cx(y?x)对任意满足x?y?0的实数x,y恒成立，则实数c的最大值为 14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O共线，O1，O2两

点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x?y?8?0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明．．．．．．．

过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c

．已知

b?，A?3C?p． c （1）求cosC的值；（2）求sinB的值；（3

）若b?ABC的面积．

16．（本小题满分14分）

如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD⊥平面 ABCD， PB=PD，PA⊥PC，CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM．求证： （1）OM∥平面PAD； （2）OM⊥平面PCD．

17．（本小题满分14分）

某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽

2

S的通道，如图．设矩形温室的室内长为x（m），三块种植植物的矩形区域的总面积为（m）． ．．．

D

（第16题）

（1）求S关于x的函数关系式； （2）求S的最大值．

18．（本小题满分16分）

1x2y2

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率e?，直线

2abC的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点． l:x?my?1?0(m?R过椭圆)

（1）求椭圆C的标准方程；

5

（2）已知点D(,0)，连结BD，过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与直线BD交于点P，试探

2

索当m变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P恒在直线l2上？若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分16分）

?

?d,1≤n≤15,?

已知数列{an}（n?N*，1≤n≤46）满足a1?a， an?1?an??1,16≤n≤30,其中d?0，n?N*．

?1

?,31≤n≤45,?d

（1）当a?1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围； （2）设集合M?{b|b?ai?aj?ak,i,j,k?N?,1≤i?j?k≤16}．

11

①若a?，d?，求证：2?M；

34

153

②是否存在实数a，d，使，1，都属于M？若存在，请求出实数a，d；若不存在，请说明

840

理由．

20．（本小题满分16分） 已知a，b为实数，函数f(x)?

1

?b，函数g(x)?lnx． x?a

（1）当a?b?0时，令F(x)?f(x)?g(x)，求函数F(x)的极值；

（2）当a??1时，令G(x)?f(x)?g(x)，是否存在实数b，使得对于函数y?G(x)

定义域中的?a href="http://www.zw2.cn/zhuanti/guanyuwozuowen/" target="_blank" class="keylink">我馐凳齲1，均存在实数x2?[1,??)，有G(x1)?x2?0成立，若存在，求出实数b的取

值集合；若不存在，请说明理由．

数学Ⅱ（附加题） 2015年2月

21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—1：几何证明选讲

已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一 点，PC是?APB的平分线，E是下半圆的中点. 求证：直线PC经过点E.

B．选修4—2：矩阵与变换

?0a? 已知矩阵M???满足：Mαi?liαi，其中li(i?1,2)是互不相等的实常数，αi(i?1,2) b0???1?

是非零的平面列向量，l1?1，α2???，求矩阵M.

?1?

（第21-A题）

C．选修4—4：坐标系与参数方程

已知两个动点P，Q分别在两条直线l1:y?x和l2:y??x上运动，且它们的横坐标分别为角q的正弦，余弦，q?[0,π].记OM?OP?OQ，求动点M的轨迹的普通方程.

D．选修4—5：不等式选讲

已知a?0,b?0，证明：(a2?b2?ab)(ab2?a2b?1)≥9a2b2.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．

说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)

一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A,B,C,D,E五种商品有购买意向.已知该网民购买A,B两种商品的概率均为率为

32

，购买C,D两种商品的概率均为，购买E种商品的概43

1

.假设该网民是否购买这五种商品相互独立. 2

（1）求该网民至少购买4种商品的概率；

（2）用随机变量h表示该网民购买商品的种数，求h的概率分布和数学期望.

23．（本小题满分10分） 设n个正数a1,a2,

,an满足a1≤a2≤

≤an（n?N且n≥3）．

*

（1）当n?3时，证明：（2）当n?4时，不等式

a1a2a2a3a3a1

??≥a1?a2?a3； a3a1a2

a1a2a2a3a3a4a4a1

???≥a1?a2?a3?a4也成立，请你将其推广到n（n?N*且a3a4a1a2

n≥3）个正数a1,a2,,an的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．

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