证明X+1/X在（1,正无穷）中是增函数是f(x)=x+1/x

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 22:25:32

证明X+1/X在（1,正无穷）中是增函数是f(x)=x+1/x
证明X+1/X在（1,正无穷）中是增函数
是f(x)=x+1/x

证明X+1/X在（1,正无穷）中是增函数是f(x)=x+1/x
设x1＜x2,且x1,x2∈(1,+∞),
f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2=(x1-x2)+(x2-x1)/x1x2=(x1-x2)(1-1/x1x2)=(x1-x2)(x1x2-1)/x1x2,
∵x1＜x2,且x1,x2∈(1,+∞),
∴x1-x2＜0,x1x2-1＞0,x1x2＞1＞0,
则f(x1)-f(x2)＜0,
即f(x1)＜f(x2)
∴f(x)=x+1/x在∈(1,+∞)上是增函数

设x2>x1，x2,x1在（1，正无穷），所以x2*x1>1，
x2-x1>(x2-x1)/(x2*x1)=1/x1-1/x2
x2+1/x2>x1+1/x1
f(x2)>f(x1)
所以……

设X1>x2>0,f(x2)-f(x1)=x2+1/x2-x1-1/x1=(x2-x1)+(x1-x2/x1x2)=(x2-x1)(x1x2-1/x2x1),又因为x2 -x1>0,f(x2)-f(x1)>0,所以X+1/X在（1，正无穷）中是增函数，即X+1/X单调性为递增

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