作业帮设a.b都是有界集,证明a∪b也是有界集
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 21:09:56
设a.b都是有界集,证明a∪b也是有界集
设a.b都是有界集,证明a∪b也是有界集
设a.b都是有界集,证明a∪b也是有界集
集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体,这些对象称为该集合的元素.
在一个度量空间（X,ρ）中的集合A,如果A的直径D(A)是有限的：
D(A)=max{ρ(x,y)}≤M ,其中任意x,y∈A；
就称A为有界集,即A是有界的.换句话说：一个集合是有界的,当且仅当它被包含在一个半径有 限的开球内.
反证法
假设a∪b（设为C）为无界集
又因为a.b都是有界集
存在M,N>0
使得M>Max{|ai|},N>Max{|bi|},ai,bi为a,b中的元素
令P=Max{M,N}
对任取x属于C,有P>{|xi|}
与C无界矛盾
所以假设不成立
所以a∪b也是有界集
什么程度的有界，是数学分析里面的还是泛函拓扑里面的，后者定义更宽泛；
如果是前者，反证法，假设a∪b无界，那么对任意n有a或b中元素x，x>n，由于n有无穷个，所以a、b中这样的x有无穷个，所以a或b至少有一个集合包含{x}中无穷个元素，所以a或b必有一个无界，矛盾；
如果是后者，要看定义a,b有界的条件是到全序集上的映射（代数意义上的）还是指定好某一类集合作为“有界控制集”，称包...
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什么程度的有界，是数学分析里面的还是泛函拓扑里面的，后者定义更宽泛；
如果是前者，反证法，假设a∪b无界，那么对任意n有a或b中元素x，x>n，由于n有无穷个，所以a、b中这样的x有无穷个，所以a或b至少有一个集合包含{x}中无穷个元素，所以a或b必有一个无界，矛盾；
如果是后者，要看定义a,b有界的条件是到全序集上的映射（代数意义上的）还是指定好某一类集合作为“有界控制集”，称包含于其中的集合均为有界集（拓扑意义上的）。
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