设实矩阵A,B都是正定矩阵,证明A+B也是正定矩阵.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 11:54:06

设实矩阵A,B都是正定矩阵,证明A+B也是正定矩阵.
设实矩阵A,B都是正定矩阵,证明A+B也是正定矩阵.

设实矩阵A,B都是正定矩阵,证明A+B也是正定矩阵.
搞清楚正定的意义就很容易证明了.
矩阵A是正定的 等价于 对于任意非零向量a,都有a'Aa>0;
如果A、B都是正定的,那么对于任意非零向量a,都有a'Aa>0;a'Ba>0;
显然对于任意非零向量a,就有a'(A+B)a>0;
所以A+B也是正定的!

只要你搞清一个等价关系就行了，最好用反正法证一下。
在实数范围内：
A为n阶的正定矩阵，则A的n个特征值均为正数 等价于 对于任一n维列向量x，都有x[T]Ax>0,x[T]表示A的转置。
因此有，x[T]Ax>0，x[T]Bx>0，相加得：x[T](A+B)x>0
即得A+B也为正定矩阵。
在复数范围内：
A为n阶的正定矩阵，则A的n个特征值均为正...

全部展开

只要你搞清一个等价关系就行了，最好用反正法证一下。
在实数范围内：
A为n阶的正定矩阵，则A的n个特征值均为正数 等价于 对于任一n维列向量x，都有x[T]Ax>0,x[T]表示A的转置。
因此有，x[T]Ax>0，x[T]Bx>0，相加得：x[T](A+B)x>0
即得A+B也为正定矩阵。
在复数范围内：
A为n阶的正定矩阵，则A的n个特征值均为正数 等价于 对于任一n维列向量x，都有x[H]Ax>0,x[H]表示A的共轭转置（称为A的Hemite矩阵）。
因此有，x[H]Ax>0，x[H]Bx>0，相加得：x[H](A+B)x>0
即得A+B也为正定矩阵。

收起

设实矩阵A,B都是正定矩阵,证明A+B也是正定矩阵. 设A,B都是正定矩阵.证明:A+B也是正定矩阵. 设A,B都是n阶实矩阵,其中A正定,B半正定.证明：det(A+B)>det(A) A ,B 都是实正定矩阵 证明AB也是正定矩阵 几个证明题 关于正定矩阵的若A使正定矩阵,证明A*也是正定矩阵若A,B都是n阶正定矩阵.证明A+B也是正定矩阵若A,B都是n阶正定矩阵,证明AB正定的充要条件是AB=BA设A可逆,证明ATA正定 设A,B为正定矩阵,证明A+B为正定矩阵. 设A,B均是n阶正定矩阵,证明A+B是正定矩阵 设A,B为正定矩阵,证明A+B为正定矩阵. 若A,B都是正定矩阵,怎么证明A+B也是正定矩阵 证明：A,B均为N阶正定矩阵,则A+B也为正定矩阵 设A,B均是n阶实对称矩阵,且A是正定矩阵,B是半正定矩阵,证明|A+B|＞|B| A,B是正定矩阵 AB=BA 证明AB也为正定矩阵 设A为m阶正定矩阵,B是m*n实矩阵,且R（B）=n,证明B'AB也是正定矩阵 设矩阵A正定,矩阵B负对称,证明A+B非奇异 线性代数中关于正定矩阵的一道题设A是n阶实对称矩阵,AB+B的转置乘A是正定矩阵,证明A可逆. 设A正定矩阵,证明A^m为正定矩阵. 设A,A-E都是n阶正定矩阵,证明E-A^-1为正定矩阵 设A,B是nxn实对称矩阵,A正定.请证明：若B也正定,则AB的特征值全是正的.