作业帮求函数y=x^99/(1-x)的99次导数.快.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 14:02:16
求函数y=x^99/(1-x)的99次导数.快.
求函数y=x^99/(1-x)的99次导数.快.
求函数y=x^99/(1-x)的99次导数.快.
y=x^99/(1-x)=（x^99-1）/(1-x)+1/(1-x)
y的99次导数=1/(1-x)的99次导数
z=(1-x)^(-1)
z'=(1-x)^(-2)
z''=2(1-x)^(-3)
y的99次导数=99!(1-x)^(-100)
设y=f(x)=g(x)*h(x)，其中g(x)=x^99，h(x)=1/(1-x)。
现证明
fm'(x)=C(0，m)gm'(x)h(x)+C(1,m)g(m-1)'(x)*h'(x)+C(2,m)g(m-2)'(x)*h2'(x)+……+C(m，m)g(x)hm'(x)，
其中
C（a,b）=a!/【b!*(a-b)!】，这个我不知道怎么打出来，
ga...
全部展开
设y=f(x)=g(x)*h(x)，其中g(x)=x^99，h(x)=1/(1-x)。
现证明
fm'(x)=C(0，m)gm'(x)h(x)+C(1,m)g(m-1)'(x)*h'(x)+C(2,m)g(m-2)'(x)*h2'(x)+……+C(m，m)g(x)hm'(x)，
其中
C（a,b）=a!/【b!*(a-b)!】，这个我不知道怎么打出来，
ga'(x)表示g（x）的a阶导数。
①当m=1时，
f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)，等式成立。
②假设当m=k时等式成立，
当m=k+1时，
f(k+1)'(x)=【C(0，k)gk'(x)h(x)+C(1,k)g(k-1)'(x)*h'(x)+C(2,k)g(k-2)'(x)*h2'(x)+……+C(k，k)hk'(x)】'
=C(0,k)g(k+1)'(x)h(x)+C(0,k)g(k)'(x)h'(x)+C(1,k)gk'(x)*h'(x)+C(1,k)g(k-1)'(x)*h2'(x)+C(2,k)g(k-1)'(x)+……+C(k,k)g'(x)hk'(x)+C(k,k)g(x)h(k+1)'(x)
=C(0，k+1)g(k+1)'(x)h(x)+C(1,k+1)gk'(x)*h'(x)+C(2,k+1)g(k-1)'(x)*h2'(x)+……+C(k+1，k+1)g(x)h(k+1)'(x)
【注：(0,k)=(0,k+1)；(a,k)+(a+1,k)=(a+1,k+1)；（k，k）=(k+1,k+1)】。
由①②得
fm'(x)=C(0，m)gm'(x)h(x)+C(1,m)g(m-1)'(x)*h'(x)+C(2,m)g(m-2)'(x)*h2'(x)+……+C(m，m)g(x)hm'(x)
所以
fn'(x)=C(0，n)gn'(x)h(x)+C(1,n)g(n-1)'(x)*h'(x)+C(2,n)g(n-2)'(x)*h2'(x)+……+C(n，n)g(x)hn'(x)。
其实这个在书中有证明，忘记叫什么公示了。
收起