作业帮求下列函数的n阶导数,y=xe^x ；y=xlnx ；y=m次根号下1+x ；y=sin^2x
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 07:58:45
求下列函数的n阶导数,y=xe^x ；y=xlnx ；y=m次根号下1+x ；y=sin^2x
求下列函数的n阶导数,y=xe^x ；y=xlnx ；y=m次根号下1+x ；y=sin^2x
求下列函数的n阶导数,y=xe^x ；y=xlnx ；y=m次根号下1+x ；y=sin^2x
(xe^x)' = e^x+xe^x
(xe^x)'' = 2e^x+xe^x...
归纳法,如果(xe^x)k阶导数是 ke^x+xe^x
则 k+1阶导数就是 ke^x+e^x+xe^x = (k+1)e^x+xe^x
综上,(xe^x)n阶导数就是 ne^x+xe^x
y= xlnx
(xlnx)' =1+lnx
(xlnx)'' = 1/x
(xlnx)''' = -(1/x^2)
.
假设 (xlnx)的 k+1 阶导数是 (-1)^(k+1) * (k-1)!/ x^k
那么 xlnx的k+2 阶导数就是 (-1)^(k+1) * (k-1)!* (-k)/x^(k+1) = (-1)^(k+2) * k!/ x^(k+1)
据此
xlnx的n阶导数是 1+lnx (n=1时) ； (-1)^(n) * (n-2)!/ x^(n-1) (n>1时)
m次根号下1+x = (1+x)^(1/m)
易知 其n阶导数为 (1/m)(1/m - 1)...(1/m - n + 1)*(1+x)^(1/m - n)
y=sin^2 x,额,其实就是 (1-cos2x)/2
(1-cos2x)/2 ' = sin2x
所以 它的n阶导数（n>=1） 就是sin2x的 n-1阶导数
2^(n-1)cos2x (n-1被4除余1时)
-2^(n-1)sin2x (n-1被4除余2时)
-2^(n-1)cos2x(n-1被4除余3时)
2^(n-1)sin2x (n-1能被4整除时)