自变量的微分为什么等于自变量的增量.设y=f(x) ,x=g(t); 则有 dy=f '(x)Δx (1) ;Δx =g '(t)Δt+o(Δt) (2) ;(2)代入(1) 有 dy=f '(x)g'(t)Δt+f '(x)o(Δt) (3);但是按照微分的定义有dy=f '(x)g'(t)Δt (4) ; 得到了dy
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/03 09:41:09
自变量的微分为什么等于自变量的增量.设y=f(x) ,x=g(t); 则有 dy=f '(x)Δx (1) ;Δx =g '(t)Δt+o(Δt) (2) ;(2)代入(1) 有 dy=f '(x)g'(t)Δt+f '(x)o(Δt) (3);但是按照微分的定义有dy=f '(x)g'(t)Δt (4) ; 得到了dy
自变量的微分为什么等于自变量的增量.
设y=f(x) ,x=g(t);
则有 dy=f '(x)Δx (1) ;
Δx =g '(t)Δt+o(Δt) (2) ;
(2)代入(1) 有 dy=f '(x)g'(t)Δt+f '(x)o(Δt) (3);
但是按照微分的定义有dy=f '(x)g'(t)Δt (4) ; 得到了dy 的两种不同形式,这个是不应该存在的.
使用Δx=dx 时不存在上述问题,能得到统一的形式 dy=f '(x)dx=f '(x)g '(t)dt ;
但这里同时出现 Δx=dx 做自变量 ;Δx=dx +o(Δt) 做为函数; 在同一个问题里怎么能同时定义两种方式 ,不能白书上为什么有微分这种定义方式?
自变量的微分为什么等于自变量的增量.设y=f(x) ,x=g(t); 则有 dy=f '(x)Δx (1) ;Δx =g '(t)Δt+o(Δt) (2) ;(2)代入(1) 有 dy=f '(x)g'(t)Δt+f '(x)o(Δt) (3);但是按照微分的定义有dy=f '(x)g'(t)Δt (4) ; 得到了dy
问题出在省略的高阶无穷小.
看看微分得定义:
当y是x的函数时,Δy =f'(x)Δx+o(Δx),记:dy=f'(x)Δx
当y是x的函数,x是t的函数时,Δy =f '(x)g'(t)Δt+f '(x)o(Δt)+o(Δx)=f '(x)g'(t)Δt+o(Δt)
dy=f '(x)g'(t)Δt (这里:f '(x)o(Δt)+o(Δx)=o(Δt)被约掉了)
o(Δt)是关于dx和Δx的高阶无穷小,因此可以省略
设 :y=f(x)
x=g(t)
增量、微分≥0
Δx=dx dx 自变量的微分 (1) 人为定义,符合公理、实际
Δx=dx +o(Δt) dx 应变量的微分 (2)
∵(1)
∴自变量的微分dx≥ 应变量的微分dx (3)...
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设 :y=f(x)
x=g(t)
增量、微分≥0
Δx=dx dx 自变量的微分 (1) 人为定义,符合公理、实际
Δx=dx +o(Δt) dx 应变量的微分 (2)
∵(1)
∴自变量的微分dx≥ 应变量的微分dx (3)
∵ dy=f'(x)dx <===>dy=f'(x)g'(t)dt= f'(x) dx
自变量的微分dx 应变量的微分dx
∴ 自变量的微分dx = 应变量的微分dx (4)
∴综述(3)与(4)
自变量的微分dx = 应变量的微分dx
微分的形式不变、符号相同——符合公理、实际、与导数证明等价
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