已知a>0,b>0,且a≠b,比较a^2/b+b^2/a与a+b的大小

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/14 12:43:27

已知a>0,b>0,且a≠b,比较a^2/b+b^2/a与a+b的大小
已知a>0,b>0,且a≠b,比较a^2/b+b^2/a与a+b的大小

已知a>0,b>0,且a≠b,比较a^2/b+b^2/a与a+b的大小
a^2/b+b^2/a
=(a^3+b^3)/ab
=(a+b)(a^2+ab+b^2)/ab ①
用a+b除以①得:ab/(a^2+b^2+ab)a+b

a^2/b+b^2/a-(a+b)=(a+b)(a-b)^2/ab
因为>0,b>0,且a≠b,所以)(a+b)(a-b)^2/ab>0
所以,a^2/b+b^2/a-(a+b)>0,
所以,a^2/b+b^2/a>a+b

(a^2/b+b^2/a)-(a+b)
=(a³+b³-a²b-ab²)/ab
=[a²(a-b)+b²(b-a)]/ab
=(a-b)(a²-b²)/ab
=(a-b)(a-b)(a+b)/ab
=(a-b)²(a+b)/ab
上式中3项都大于0,所以(a^2/b+b^2/a)>(a+b)