已知a是正整数,a^2+2012a是一个正整数的平方,求a的值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 15:17:55

已知a是正整数,a^2+2012a是一个正整数的平方,求a的值
已知a是正整数,a^2+2012a是一个正整数的平方,求a的值

已知a是正整数,a^2+2012a是一个正整数的平方,求a的值
设：a^2+2012a=x^2
a^2+2012a+1006^2=x^2+1006^2
a^2+2012a+1006^2-x^2=1006^2
(a+1006)^2-x^2=1006^2
(a+1006-x)(a+1006+x)=1006^2=2^2*503^2
(a+1006-x)与(a+1006+x)同为奇数或偶数,所以
a+1006-x=2,a+1006+x=2*503^2 （1）
a+1006-x=2*503,a+1006+x=2*503 （2）
a+1006-x=2*503^2,a+1006+x=2 （3）
（1）解得 a=503*501+1
(2) 解得 a=0
(3) 解得 a=503*501+1
所以a的值为501*503+1=252004

取a^2+2012a=n^2 （n>0)
a^2+2012a-n^2=0
把它看做关于a的一元二次方程，则该方程有解且解为正整数,设两根为a1、a2
根据韦达定理
a1+a2=2012 (1)
a1a2=n^2 (2)
由于2012=1+2011=2+2010=……

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的答案

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