函数F(X)与数列结合的题目求解已知f(x)在(-1,1)上有定义,f(1/2)=-1,且满足x,y属于(-1,1)有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy))(1)证明f(x)在(-1,1)上为奇函数(2)对数列x1=1/2,x(n+1)=2x(n)/(1+x(n)^2),求f(xn)(3)求证1/f
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/27 00:02:03
函数F(X)与数列结合的题目求解已知f(x)在(-1,1)上有定义,f(1/2)=-1,且满足x,y属于(-1,1)有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy))(1)证明f(x)在(-1,1)上为奇函数(2)对数列x1=1/2,x(n+1)=2x(n)/(1+x(n)^2),求f(xn)(3)求证1/f
函数F(X)与数列结合的题目求解
已知f(x)在(-1,1)上有定义,f(1/2)=-1,且满足x,y属于(-1,1)有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy))
(1)证明f(x)在(-1,1)上为奇函数
(2)对数列x1=1/2,x(n+1)=2x(n)/(1+x(n)^2),求f(xn)
(3)求证1/f(x1)+1/f(x2)+……+1/f(xn)大于-(2n+5)/(n+2)
函数F(X)与数列结合的题目求解已知f(x)在(-1,1)上有定义,f(1/2)=-1,且满足x,y属于(-1,1)有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy))(1)证明f(x)在(-1,1)上为奇函数(2)对数列x1=1/2,x(n+1)=2x(n)/(1+x(n)^2),求f(xn)(3)求证1/f
已知f(x)在(-1,1)上有定义,f(1/2)=-1,且满足x,y属于(-1,1)有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy))
(1)证明f(x)在(-1,1)上为奇函数
证明:令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)
令x=1/2,y=0,得f(1/2)+f(0)=f(1/2),得f(0)=0
所以f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(x)=-f(-x)
所以,f(x)在(-1,1)上为奇函数.
(2)对数列x1=1/2,x(n+1)=2x(n)/(1+x(n)^2),求f(xn)
∵ f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy))
令y=x,则f(x)+f(x)=f(2x/(1+x^2))=2f(x)
∵ x(n+1)=2x(n)/(1+x(n)^2)
则f(x(n+1))=f(2x(n)/(1+x(n)^2))
而f(2x(n)/(1+x(n)^2))=2f(xn)
∴ f(x(n+1))=2f(xn)
∴ f(x(n+1))/f(xn)=2
又f(x1)=f(1/2)=-1,
所以f(xn)=-2^(n-1)(即首项为-1,公比为2的等比数列)
(3)求证1/f(x1)+1/f(x2)+……+1/f(xn)>-(2n+5)/(n+2)
证:
S=1/f(x1)+1/f(x2)+……+1/f(xn)
=-[1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^(n-1)].1
令S1=1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^(n-1).2
则1/2S1=1/2+1/4+1/8+...+1/2^n.3
2式-3式,得1/2S1=1-1/2^n
所以S1=2-2/2^n
所以S=-2+2/2^n
而S2=-(2n+5)/(n+2) =-2-1/(n+2)
对于n属于自然数来说2/2^n>0>-1/(n+2)
所以S>S2
即1/f(x1)+1/f(x2)+……+1/f(xn)>-(2n+5)/(n+2)
(1)令x=y=0得 2f(0)=f(0) f(0)=0
令y=-x得 f(x)+f(-x)=f(0)=0
故f(-x)=-f(x)
所以f(x)是奇函数
(2)令x=y=xn ∴2f(xn)=f(2xn/1+xn²)=f(xn+1)
∴f(xn+1)/f(xn)=2 又因为f(x1)=f(1/2)=-1
∴数列{f(xn)}是以-1为首项...
全部展开
(1)令x=y=0得 2f(0)=f(0) f(0)=0
令y=-x得 f(x)+f(-x)=f(0)=0
故f(-x)=-f(x)
所以f(x)是奇函数
(2)令x=y=xn ∴2f(xn)=f(2xn/1+xn²)=f(xn+1)
∴f(xn+1)/f(xn)=2 又因为f(x1)=f(1/2)=-1
∴数列{f(xn)}是以-1为首项,2为公比的等比数列
∴f(xn)=-2^n-1
(3)因为数列{1/f(xn)}是等比数列,不难求得1/f(x1)+1/f(x2)+……+1/f(xn)=-2+2^1-n
不等式-2+2^1-n>-(2n+5)/(n+2)
这等价于2-2^1-n<(2n+5)/(n+2)①
欲证①,只需证明2^1-n(n+2)>-1
因为n∈N+ 故此为显然,即①成立
故原不等式成立
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