作业帮高数曲线问题求通过点(1,2)的曲线方程,使曲线上任意一点的切线与原点的距离等于该点横坐标的绝对值你的答案很明显是错的啊～
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 05:34:26
高数曲线问题求通过点(1,2)的曲线方程,使曲线上任意一点的切线与原点的距离等于该点横坐标的绝对值你的答案很明显是错的啊～
高数曲线问题
求通过点(1,2)的曲线方程,使曲线上任意一点的切线与原点的距离等于该点横坐标的绝对值
你的答案很明显是错的啊～
高数曲线问题求通过点(1,2)的曲线方程,使曲线上任意一点的切线与原点的距离等于该点横坐标的绝对值你的答案很明显是错的啊～
如果要高中的做法,这个“任意一点的切线与原点的距离等于该点横坐标的绝对值 ”显然是曲率为1的双曲线（也就是直线）.焦点为原点,准线为y轴.还要过点(1,2).
所以x^2+3 x-y^2=0
如果要用高数的方法求解,稍微麻烦了一些.
假设曲线方程为y=f(x)
曲线通过点(1,2),所以f(1)=2
曲线上任意一点(x0,f(x0))的切线方程为(注,这里x0里面0是下标):
y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
化简为
y=f'(x0)x+f(x0)-f'(x0) x0
如果设切线斜率f'(x0)=tan A (A是直线和x轴的夹角)
切线与原点的距离为
|f(x0)-f'(x0) x0| |cos A|=|f(x0)-f'(x0) x0| /根号下(1+f'(x0)^2)
因为切线与原点的距离等于该点横坐标的绝对值,所以有方程
|f(x0)-f'(x0) x0| /根号下(1+f'(x0)^2)=|x0|
两边平方
[f(x0)-f'(x0) x0]^2=x0^2 (1+f'(x0)^2)
所以
2 x0 f(x0) f'(x0)=f^2(x0)+x0^2
定义g(x)=[f(x)]^2,同时省略下表0,得到
x g'(x)=g(x)+x^2
定义x=e^t,得到
g'(t)=g(t)+e^(2t)
所以,
g(t)=C e^t + e^(2t),C是任意常数.
所以
y=f(x)=+/-根号下（C x + x^2）
因为f(1)=2,所以得到 C=3
y=f(x)=+/-根号下（ x^2+3x）
两边平方得到
x^2+3 x-y^2=0
该曲线是以（1，2）为圆心的圆！半径为1！所以方程为(x-1)^2+(y-2)^2=1