求证一道初二几何综合题如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于点E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连接DH与BE相交于点G.(1)求证BF=AC;(2)求证CE=二分之一BF;(3)CE与BG的大
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/17 06:42:41
求证一道初二几何综合题如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于点E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连接DH与BE相交于点G.(1)求证BF=AC;(2)求证CE=二分之一BF;(3)CE与BG的大
求证一道初二几何综合题
如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于点E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连接DH与BE相交于点G.
(1)求证BF=AC;
(2)求证CE=二分之一BF;
(3)CE与BG的大小关系如何,试证明你的结论.
要求具体步骤
求证一道初二几何综合题如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于点E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连接DH与BE相交于点G.(1)求证BF=AC;(2)求证CE=二分之一BF;(3)CE与BG的大
(1)
∵CD⊥AB,∠ABC=45°
∴△BDC为等腰直角三角形.
即DB=DC
显然,△BDF∽△CEF
∴∠DBF=∠DCA (A)
∠BDF=∠CDA (A)
∵DB=DC (S)
∴△BDF≌△CDA
∴BF=CA
(2)
∵BF平分∠ABC.
∴∠DBF=∠DCA=1/2*45=22.5°
∴∠BCA=∠DCA+45=67.5°
∠A=∠BEC-∠DBF=90-22.5=67.5°
∴∠A=∠BCA=67.5°
∴AB=CB
∴△ABC为等腰三角形.
又因为BE⊥AC.
因为等腰三角形三线合一,
所以E为AC中点.
CE=1/2AC=1/2BF
(3)
由上(2)已有CE=1/2BF
所以只需证1/2BF于BG的大小即可.
所以取BF中点,为I.
连接DI.
∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
∴DI=BI=FI.
∵∠DFB=90-∠DBF=90-22.5=67.5
∴∠IDF=∠DFB=67.5
而∠GDF=1/2∠HDC=45*1/2=22.5
∵∠IDF>∠GDF
证明I在G点左方.
即BG>BI
BG>CE