设动点P与P'的坐标为(X,Y)(X',Y')它们满足X'=3X+2Y+1,Y'=X+4Y-3.若P,P'在同一条直线上运动,问:这样的直线是否存在?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/08 17:17:59
设动点P与P'的坐标为(X,Y)(X',Y')它们满足X'=3X+2Y+1,Y'=X+4Y-3.若P,P'在同一条直线上运动,问:这样的直线是否存在?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.
设动点P与P'的坐标为(X,Y)(X',Y')它们满足X'=3X+2Y+1,Y'=X+4Y-3.
若P,P'在同一条直线上运动,问:这样的直线是否存在?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.
设动点P与P'的坐标为(X,Y)(X',Y')它们满足X'=3X+2Y+1,Y'=X+4Y-3.若P,P'在同一条直线上运动,问:这样的直线是否存在?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.
假设这条直线是存在的,令其方程为n=km+b(为避免与题目中的X和Y混淆,这里用m和n代替),将点P和P'的坐标带入得:Y=kX+b (1)X+4Y-3=k(3X+2Y+1)+b (2) 将(2)式化简得(4-2k)Y=(3k-1)X+k+b+3 (3)由题意可知(1)和(3)表示的是同一条直线,故(3)式的系数与常数应该是(1)式的倍数,令这个倍数为a,则可得4-2k=a (4) 3k-1=ak (5) k+b+3=ab(6) 由 (4) (5)(6) 三个式子可解得k=-1/2,a=5,b=5/8或k=1,a=2,b=4.所以所求方程为两条:n=-1/2m+5/8或n=m+4,然后将m和n直接换成x和y即可,得:y=-1/2x+5/8或y=x+4.故题目中的直线是存在的.
假设存在该直线,设为y=kx+b.∵(X,Y)在直线上,所以X'=3X+2(kX+b)+1,Y'=X+4(kX+b)-3。 又∵(X',Y')在直线上,∴Y'=kX'+b,即X+4(kX+b)-3=k[3X+2(kX+b)+1]+b.使等式两边X前系数与常数相等,k=1 ,b=5 or k=-1/2,b=1/2.即y=x+5 or y=-1/2x+1/2