几道大学微积分题目用拉格朗日中值定理求证:1,ex≤e^x2,x≤tanx(0≤x≤π/2)用罗必塔法则求极限:lim(x→0)[1/e(1+x)^1/x]^1/x
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/29 01:19:33
几道大学微积分题目用拉格朗日中值定理求证:1,ex≤e^x2,x≤tanx(0≤x≤π/2)用罗必塔法则求极限:lim(x→0)[1/e(1+x)^1/x]^1/x
几道大学微积分题目
用拉格朗日中值定理求证:
1,ex≤e^x
2,x≤tanx(0≤x≤π/2)
用罗必塔法则求极限:
lim(x→0)[1/e(1+x)^1/x]^1/x
几道大学微积分题目用拉格朗日中值定理求证:1,ex≤e^x2,x≤tanx(0≤x≤π/2)用罗必塔法则求极限:lim(x→0)[1/e(1+x)^1/x]^1/x
1.当x《0时,显然有ex≤e^x
当x>0时,要证ex≤e^x,只要证e^x/x-e》0,构造f(x)=e^x/x,所以f(1)=e
所有由拉格朗日中值定理,当x>1时,f(x)-f(1)=(e^a)(a-1)/a^2(x-1),a属于【1,x],显然
f(x)>f(1)
当x=1,f(x)=f(1)
当1>x>0时,f(x)-f(1)=(e^a)(a-1)/a^2(x-1),a属于[0,1],所以f(x)>f(1)
综合上述,e^x/x-e》0,即ex≤e^x
2,构造f(x)=tanx,f(0)=0,f(x)-f(0)=1/(cosa)^2(x-0),其中a属于【0,π/2】,显然f(x)-f(0)》x,所以x≤tanx
3.lim(x→0)[1/e(1+x)^1/x]^1/x
=lim(x→0)e^{ln{1/e(1+x)^1/x}/1/x}
= lim e^{(1/x)ln(1+x)-1}/x
=lime^{ln(1+x)-x}/x^2(前面几步,恒等变形)
=lime^{1/(1+x)-1}/2x(罗必塔法)
=lime^-x/2x
=e^-1/2