a为何值时 lim sinπx/(1-x)的a次方 的极限为0x趋近于1

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/16 12:28:32

a为何值时 lim sinπx/(1-x)的a次方 的极限为0x趋近于1
a为何值时 lim sinπx/(1-x)的a次方 的极限为0
x趋近于1

a为何值时 lim sinπx/(1-x)的a次方 的极限为0x趋近于1
∵(1)当a1)[sin(πx)/(1-x)^a]=lim(x->1)[(1-x)^(-a)*sin(πx)]
=0*0
=0;
(2)当a=0时,
lim(x->1)[sin(πx)/(1-x)^a]=lim(x->1)[sin(πx)]
=sinπ
=0;
(3)当01)[π*cos(πx)/(-a*(1-x)^(a-1))] (0/0型极限,应用罗比达法则)
=lim(x->1)[(-π/a)*(1-x)^(1-a)*cos(πx)/(-a*(1-x)^(a-1))]
=(-π/a)*0*(-1)
=0;
(4)当a=1时,
lim(x->1)[sin(πx)/(1-x)^a]=lim(x->1)[sin(πx)/(1-x)]
=lim(x->1)[π*cos(πx)/(-1)] (0/0型极限,应用罗比达法则)
=π*(-1)/(-1)
=π;
(5)当a>1时,
lim(x->1)[sin(πx)/(1-x)^a]=lim(x->1)[π*cos(πx)/(-a*(1-x)^(a-1))] (0/0型极限,应用罗比达法则)
=π*(-1)/((-a)*0)
=∞
∴综合(1)(2)(3)(4)(5)知,当a1)[sin(πx)/(1-x)^a]=0.