证明不等式,当x>0时,arctanx>x-x^3/3

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 01:37:51

证明不等式,当x>0时,arctanx>x-x^3/3
证明不等式,当x>0时,arctanx>x-x^3/3

证明不等式,当x>0时,arctanx>x-x^3/3
令f(x)=arctanx-x+x^3/3,
求导,得f’(x)=1/(1+x^2)-1+x^2=x^4/(1+x^2)>0
故而f(x)在(0,+∞)上单调递增
又f(x)>f(0)=0
所以,当x>0时,arctanx>x-x^3/3

令f(x)=arctanx-x+x^3/3,则f'(x)=1/(1+x^2)+(x^2+1)-2>2-2=0(均值不等式)
故f(x)递增,f(x)>f(0)=0,证毕!

用泰勒级数展开式,立刻得证。