高中数列题一道(需详细过程) 我总是算不对啊,+_+

高中数列题一道(需详细过程) 我总是算不对啊,+_+

高中数列题一道(需详细过程)                                  

我总是算不对啊,+_+

高中数列题一道(需详细过程) 我总是算不对啊,+_+
1.
Sn/n=2(an-1)/n+n-3=[2an+n(n-3)-2]/n
Sn=2an+n²-3n-2
S(n-1)=2a(n-1)+(n-1)²-3(n-1)-2
an=2an-2a(n-1)+2n-1-3
an-2a(n-1)+2n-4=0
an=2a(n-1)-2n+4
an-2n=2[a(n-1)-2(n-1)]
所以an-2n是以2为公比的等比数列.
且S1=a1,带入有
a1=2a1-4
a1=4
所以
an-2n=2^(n-1)*(4-2)=2^n
an=2^n+2n
2.
bn=(2^n+2n)sin(nπ+π/2)=(-1)^n*(2^n+2n)=(-2)^n+(-1)^n*2n
Tn=(-2)*[1-(-2)^n]/3+(-2+4-6+8-10+12..)
n为偶数时
Tn=(-2)*[1-2^n]/3+n
n为奇数时
Tn=(-2)*[1+2^n]/3-n-1
3.
Cn=1/(2^n+n)
Pn=1/3+1/6+[1/11+...+1/(2^n+n)]

(1)
根据题意：
Sn/n=2(an-1)/n+n-3
∴Sn=2(an-1)+n²-3n
S(n+1)=2[a(n+1)-1]+(n+1)²-3(n+1)
∴a(n+1)=S(n+1)-Sn
=2[a(n+1)-1]+(n+1)²-3(n+1)-2(an-1)-n²+3n
=2a(n+1)-2an...

全部展开

(1)
根据题意：
Sn/n=2(an-1)/n+n-3
∴Sn=2(an-1)+n²-3n
S(n+1)=2[a(n+1)-1]+(n+1)²-3(n+1)
∴a(n+1)=S(n+1)-Sn
=2[a(n+1)-1]+(n+1)²-3(n+1)-2(an-1)-n²+3n
=2a(n+1)-2an+2n-2
∴a(n+1)=2an-2n+2
∴a(n+1)-2(n+1)=2(an-2n)
∴[a(n+1)-2(n+1)]/(an-2n)=2
∴{an-2n}为等比数列，公比为2
又a1=S1=2(a1-1)+1-3
解得a1=4,a1-2=2
∴an-2n=2*2^(n-1)=2^n
∴an=2n+2^n
(2)
bn=[2n+2^n]sin(nπ+π/2)
=[2n+2^n]cosnπ
当n为偶数时，
Tn=b1+b2+b3+b4+......+b(n-1)+bn
=-[2+2]+[4+2²]-[6+2³]+[8+2⁴]+........-[2(n-1)+2^(n-1)]+[2n+2^n]
=[-2+4-6+8+.......-2(n-1)+2n]+(-2+4-8+......-2^(n-1)+2^n]
=n-2[(-2)^n-1)]/(-2-1)
=n+2/3*2^n-2/3
当n为奇数时，n+1为偶数
T(n+1)=(n+1)+2/3*2^(n+1)-2/3
Tn=T(n+1)-b(n+1)=(n+1)+2/3*2^(n+1)-2/3-[2(n+1)+2^(n+1)]
=-n-5/3-2/3*2^n

∴Tn={ n-2/3+2/3*2^n (n为偶数
{-n-5/3-2/3*2^n ,(n为奇数）
（3）

cn=1/(an-n)=1/(n+2^n)
Pn=c1+c2+c3+......+cn
=1/3+1/(2+2²)+1/(3+2^3)+1/(4+2^4)+....+1/(n+2^n)
<1/3+1/6+1/2^3+1/2^4+...........+1/2^n 【从第3项起分母去掉n，放大，成等比数列】
=1/2+1/8[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)
=1/2+1/4-1/2^n=3/4-1/2^n
∵1/2^n>0 ∴ 3/4-1/2^n<3/4
∴Pn<3/4

收起

像是高三的题，分太少，步骤太多