证明1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6,

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/06 18:41:55

证明1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6,
证明1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6,

证明1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6,
方法一：利用立方差公式
　　　　n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n
　　　　2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
　　　　3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
　　　　4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
　　　　.
　　　　n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
　　　　各等式全相加
　　　　n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
　　　　n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
　　　　n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
　　　　n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
　　　　3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1)
　　　　1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
　　　　方法二：另外一个很好玩的做法
　　　　想像一个有圆圈构成的正三角形,
　　　　第一行1个圈,圈内的数字为1
　　　　第二行2个圈,圈内的数字都为2,
　　　　以此类推
　　　　第n行n个圈,圈内的数字都为n,
　　　　我们要求的平方和,就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和.设这个数为r
　　　　下面将这个三角形顺时针旋转60度,得到第二个三角形
　　　　再将第二个三角形顺时针旋转60度,得到第三个三角形
　　　　然后,将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加,
　　　　我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
　　　　而总共有几个圈呢,这是一个简单的等差数列求和
　　　　1+2+……+n=n(n+1)/2
　　　　于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
　　　　r=n(n+1)(2n+1)/6

这不需证明，这是平方和的公式！

记得好像是用了立方和的一些运算

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