作业帮已知数列{an}中,an>o,且2Sn=an2+an,求an
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 04:37:52
已知数列{an}中,an>o,且2Sn=an2+an,求an
已知数列{an}中,an>o,且2Sn=an2+an,求an
已知数列{an}中,an>o,且2Sn=an2+an,求an
n=1时,2S1=2a1=a1²+a1
a1(a1-1)=0
a1=0(an>0,舍去)或a1=1
n≥2时,
2Sn=an²+an 2S(n-1)=a(n-1)²+a(n-1)
2Sn-2S(n-1)=2an=an²+an-a(n-1)²-a(n-1)
an²-a(n-1)²-an-a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-1]=0
an>0,an+a(n-1)>0,要等式成立,只有an-a(n-1)=1,为定值.
数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列.
an=1+n-1=n
n=1时,a1=1,同样满足.
数列{an}的通项公式为an=n
利用an=Sn-Sn-1 (n>1)
an=S1 (n=1)可以求解
首先求a1.
2a1=a1^2+a1,解得a1=1,a1=0(不满足题意，舍去)
再根据公式求an
n>1,有an=Sn-Sn-1=(an ^2+an)/2-(an-1 ^2+an-1)/2
2an=(an ...
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利用an=Sn-Sn-1 (n>1)
an=S1 (n=1)可以求解
首先求a1.
2a1=a1^2+a1,解得a1=1,a1=0(不满足题意，舍去)
再根据公式求an
n>1,有an=Sn-Sn-1=(an ^2+an)/2-(an-1 ^2+an-1)/2
2an=(an ^2-an-1 ^2)+an-an-1
0=(an+an-1)（an-an-1)+(an-an-1)
0=(an+an-1）（an-an-1 -1)
故可以得到an-an-1-1=0或an+an-1=0
所以有an-an-1=1 即公差为1的等差数列，首相为1，则an=n
an/an-1=-1 即公比为-1的等比数列，根据题意an>o，所以不满足，舍去
n=1时也满足an=n
所以an=n
收起
由2S(n)=a²(n)+a(n)得
Sn=½a(n)a(n+1);
与自然数和的公式相同，所以知道
a(n)=n