点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT且PT=1,角PAB=a,问a为何值时四边形ABPT面积最大?我得3pi/16
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/14 22:21:38
点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT且PT=1,角PAB=a,问a为何值时四边形ABPT面积最大?我得3pi/16
点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT且PT=1,角PAB=a,问a为何值时四边形ABPT面积最大?
我得3pi/16
点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT且PT=1,角PAB=a,问a为何值时四边形ABPT面积最大?我得3pi/16
不对
答案是 pi/8
S ABPT = S APT + S APB
=1/2*cosa*1*sin(pi/2-a)+1/2*cosa*sina
=(1+cos2a+sin2a)/4
=(根号2sin(2a+pi/4)+1)/4
2a+pi/4=pi/2时取最大值
a=pi/8
连接TB 设半圆的圆心为O 连接OP
四边形ABPT面积=S△PAB+S△PTB
因为PT是半圆的切线 那么OP⊥PT
PT=1 OP为半圆的半径是定值
那么△PTB为定值=1/2*1*r
要使四边形ABPT面积最大 即△PAB的面积为最大
△PAB的面积=1/2*AB*h
AB是定值 那么有h最大时△PAB的面积为最大
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连接TB 设半圆的圆心为O 连接OP
四边形ABPT面积=S△PAB+S△PTB
因为PT是半圆的切线 那么OP⊥PT
PT=1 OP为半圆的半径是定值
那么△PTB为定值=1/2*1*r
要使四边形ABPT面积最大 即△PAB的面积为最大
△PAB的面积=1/2*AB*h
AB是定值 那么有h最大时△PAB的面积为最大
即点P到AB的距离最大
所以当OP⊥AB时 OP有最大值 即半圆的半径
那么就有PAB=a=45°
四边形ABPT面积=S△PAB+S△PTB =1/2*1*r+1/2*AB*OP =1/4+1/4=1/2
收起