已知a,b,c是一个三角形的三边,求证a四次方+b四次方+c四次方-2a平方b平方-2b平方c平方-2c平方a平方的值恒负

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/16 11:27:15

已知a,b,c是一个三角形的三边,求证a四次方+b四次方+c四次方-2a平方b平方-2b平方c平方-2c平方a平方的值恒负
已知a,b,c是一个三角形的三边,求证a四次方+b四次方+c四次方-2a平方b平方-2b平方c平方-2c平方a平方的值恒负

已知a,b,c是一个三角形的三边,求证a四次方+b四次方+c四次方-2a平方b平方-2b平方c平方-2c平方a平方的值恒负
a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2
=a^4+b^4-2a^2b^2-2b^2c^2+2c^2a^2+c^4-4c^2a^2
=(a^4+b^4-2a^2b^2)+2c^2(a^2-b^2)+c^4-4c^2a^2
=(a^2-b^2)^2+2c^2(a^2-b^2)+c^4-4c^2a^2
=(a^2-b^2+c^2)^2-4c^2a^2
=(a^2-b^2+c^2)^2-(2ca)^2
=(a^2-b^2+c^2+2ca)(a^2-b^2+c^2-2ca)
=[(a+c)^2-b^2][(a-c)^2-b^2]
=(a+c+b)(a+c-b)(a-c+b)(a-c-b)
显然,a+c+b>0,a+c-b>0,a-c+b>0,a-c-b<0
故原式的值一定小于0

原式=a四次方+2a²b²+b四次方-2b²c²-2c²a²+c四次方-4a²b²
=(a²+b²)²-2c²(a²+b²)+(c²)²-4a²b²
=(a²+b²-c²)&...

全部展开

原式=a四次方+2a²b²+b四次方-2b²c²-2c²a²+c四次方-4a²b²
=(a²+b²)²-2c²(a²+b²)+(c²)²-4a²b²
=(a²+b²-c²)²-(2ab)²
=(a²+b²-c²+2ab)(a²+b²-c²--2ab)
=[(a+b)²-c²][(a-b)²-c²]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
因为a,b,c是一个三角形的三边
所以a+b+c>0,a+b-c>0,a-b+c>0,a-b-c<0(根据三角形两边之和大于第三边)
所以原式=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)<0
即a四次方+b四次方+c四次方-2a平方b平方-2b平方c平方-2c平方a平方的值恒负

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