设a>0 b>0 a+b≈1.求证a分之一加b分之一加ab分之一大于等于8.用综合法证明

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/09 05:05:05

设a>0 b>0 a+b≈1.求证a分之一加b分之一加ab分之一大于等于8.用综合法证明
设a>0 b>0 a+b≈1.求证a分之一加b分之一加ab分之一大于等于8.用综合法证明

设a>0 b>0 a+b≈1.求证a分之一加b分之一加ab分之一大于等于8.用综合法证明
1/a+1/b+1/ab
=b/ab+a/ab+1/ab
=(a+b+1)/ab
因为
a+b≈1
所以
(a+b+1)/ab
≈(1+1)/ab
≈2/ab .①
由a>0 ,b>0 得基本不等式:
(a+b)²≥4ab,即
1≥4ab
ab≤1/4
所以
1/ab≥4

2/ab≥8
由①可以证明:
1/a+1/b+1/ab≥8

a+b≈1
(a-b)^2≈1-4ab>=0
则ab<=1/4
∴1/a+1/b+1/ab=2/ab>=8

a>0 b>0 a+b=1
1/a+1/b+1/(ab)
=1/a+1/b+(a+b)/(ab)
=2(1/a+1/b)
=2(a+b)(1/a+1/b)
=2(1+1+a/b+b/a)
≥2[2+2√(a/b*b/a)]=8
∴1/a+1/b+1/(ab)≥8