如何证明以3为底7的对数是无理数?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 02:48:17

如何证明以3为底7的对数是无理数?
如何证明以3为底7的对数是无理数?

如何证明以3为底7的对数是无理数?
设x = log3 7
则 3^x =7
假设x 是有理数,x= p/q,p,q为互质的整数
3^(p/q) =7
3^p = 7^q
令z = 3^p,则z只含质因数3
若3^p = 7^q,那么z又含有质因数7,所以矛盾.
因此x = log3 7 是无理数.

解:设log(3)7=x,则3^x=7(3^x表示3的x次方),因为3^1=3,3^2=9,则1

假如它是有理数，则可以写成m/n的形式，其中m和n均为整数且互素，
那么以3为底7的对数=ln7/ln3=m/n,
从而7^n=3^m
而这是不可能的，因为7^n一定是7的倍数，3^m一定3的倍数，3，7互素
他们不可能相等，从而结论得证。为什么互素的话就不可能相等了呢？...

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假如它是有理数，则可以写成m/n的形式，其中m和n均为整数且互素，
那么以3为底7的对数=ln7/ln3=m/n,
从而7^n=3^m
而这是不可能的，因为7^n一定是7的倍数，3^m一定3的倍数，3，7互素
他们不可能相等，从而结论得证。

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用反证法，假设log3 7是有理数，则一定可以写成不可约的分数形式b/a，即log3 7=b/a，其中，a和b是整数。根据对数运算得到3^a=7^b，因为3和7都是素数，满足这个等式的只有a=b=0 这样b/a就没意义了，矛盾。所以假设不成立，log3 7是无理数

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