一道数学竞赛的平面几何问题 如图所示,PA、PB是圆O的切线,切点为A、B.连接AB.在圆上取AB右侧的点C,连接PC交圆O于D.取AP中点M,连接CM交AB与点E,连接DE.求证：DE∥AP

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 00:42:08

一道数学竞赛的平面几何问题 如图所示,PA、PB是圆O的切线,切点为A、B.连接AB.在圆上取AB右侧的点C,连接PC交圆O于D.取AP中点M,连接CM交AB与点E,连接DE.求证：DE∥AP
一道数学竞赛的平面几何问题

   如图所示,PA、PB是圆O的切线,切点为A、B.连接AB.在圆上取AB右侧的点C,连接PC交圆O于D.取AP中点M,连接CM交AB与点E,连接DE.求证：DE∥AP

一道数学竞赛的平面几何问题 如图所示,PA、PB是圆O的切线,切点为A、B.连接AB.在圆上取AB右侧的点C,连接PC交圆O于D.取AP中点M,连接CM交AB与点E,连接DE.求证：DE∥AP
证明：设AB,CD的交点为F,连接BC,AD,AC
则由切割线知△PBD∽△PCB,△PAD∽△PCA
即有PB/PC=PD/PB=BD/BC
PA/PC=PD/PA=AD/AC,又PA=PB
∴PB²/PC²=(BD/BC)·(AD/AC)=(BD/AC)·(AD/BC)
=(DF/AF)·(DF/BF)=DF²/(AF·BF)=DF²/(DF·CF)=DF/CF
而PB²=PD·PC,∴PD/PC=DF/CF
=>DF/PD=CF/PC
又C,E,M为△APF的割线,M为AP中点
∴由梅涅劳斯定理(AM/MP)·(PC/CF)·(FE/EA)=1
可得FE/EA=CF/PC=DF/PD
即DE//AP

连接PQ延长交圆于R点，根据圆锥曲线的性质容易得到D E R三点共线


因为MA^2 =MQ *MC，且角PMC是公共角

所以三角形MPQ相似三角形MCP


==>角C =角MPQ


又因为角C= 角QRD 


==>角MPQ= 角QRD 


==>DR//PA


==>DE∥AP

收起

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