作业帮设y,inx,n,σ2,求e,x
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/14 06:35:15 体裁作文
篇一：概率论与数理统计习题及答案(4)
概率论与数理统计习题及答案
习题四
1.设随机变量X的分布律为
求E（X），E（X），E（2X+3）. 【解】(1) E(X)?(?1)?
11111
?0??1??2??; 82842
1212121522
(2) E(X)?(?1)??0??1??2??;
82844
1
(3) E(2X?3)?2E(X)?3?2??3?4
2
2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.
83?0故 E(X)?0.5?
?0.501, D(X)?
0.?3?401?0.?070?2?0.?00?7?3
?[x?E(
X)]P
2
i
i
i?0
5
?(0?0.501)2?0.583?(1?0.501)2?0.340??0.432.
?(5?0.501)2?0
3.设随机变量
且已知E（X）=0.1,E(X)=0.9,求P1，P2，P3. 【解】因P1?P2?P3?1……①,
又E(X)?(?1)P1?0P2?1P3?P3?P1?0.1……②,
22
E(X2)?(?1)2P1?0P2?1P3?P1?P3?0.9……
由①②③联立解得P,P1?0.4,P2?0.13?0.5.
4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？
【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则
P(A)全概率公式?P{A|X?k}P{X?k}
k?0
N
k1??P{X?k}?
NN
k?0
1n?E(X)?.NN
5.设随机变量X的概率密度为
N
?kP{X?k}
k?0
N
?x,0?x?1,
?
f（x）=?2?x,1?x?2,
?0,其他.?
求E（X），D（X）. 【解】E(X)?
?
??
??
xf(x)dx??xdx??x(2?x)dx
1
1
2
1
2
2
3
?13??2x?
??x???x???1.
3?1?3?0?
E(X)??
2
2
??
??
xf(x)dx??xdx??x2(2?x)dx?
1
2
2
1
3
2
7
6
故 D(X)?E(X)?[E(X)]?
1. 6
6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.
（1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ??4X.
【解】(1) E[U]?E(2X?3Y?1)?2E(X)?3E(Y)?1 ?2?5?3?11?1?44.
(2) E[V]?E[YZ?4X]?E[YZ]?4E(X) 因Y,Z独立E(Y)E(Z)?4E(X)
?11?8?4?5?68. 7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X??2Y），
D（2X??3Y）. 【解】(1) E(3X?2Y)?3E(X)?2E(Y)?3?3?2?3?3.
(2) D(2X?3Y)?22D(X)?(?3)2DY?4?12?9?16?192. 8.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=?
?k,0?x?1,0?y?x,
?0,
其他.
试确定常数k，并求E（XY）. 【解】因
?????
1
x
1
??
?
??
f(x,y)dxdy??0
dx?0
kdy?
2
k?1,故k=2 E(XY)??
??
1
x
??
?
??
??
xyf(x,y)dxdy??0
xdx?0
2ydy?0.25.
9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为
f??2x,0?x?1,
?e?(y?5),y?5,X（x）=?
0,其他; fY（y）=?
?0,其他.
求E（XY）.
【解】方法一：先求X与Y的均值 E(X)??
1
x2xd?x
2
3
, E(Y)?
?
??
y?e(y?5)令z?y?5
5
y?5
???z
ez?d?
???z
z
ez?d??5 16.
由X与Y的独立性，得
E(XY)?E(X)E(Y)?2
3
?6?4.
方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为
f(x,y)?f?2xe?(y?5),0?x?1,y?5,
X(x)fY(y)??
?0,
其他,于是
E(XY)??
??
1
?(y?5)5
?
xy2xedxdy??1
2x2dx
?
??
5
ye?(y?5)dy?2
3
?6?4.10.设随机变量X，Y的概率密度分别为
?2e?2xf,
x?0,
y?0,
X（x）=?
?4?0,
x?0; fe?4y,Y（y）=?y?0.
?0,
求（1） E（X+Y）;（2） E（2X??3Y2）. 【解】(X)??
??
??
??xfX(x)dx?
??
x2e?2xdx?[?xe?2x]??-2x
0?0
edx
??
??
2x0
e?dx?1
2.
E(Y)?
?
??
y??
Yf(y)d?y?44y
e?d1??
0y
4
. E(Y2
)?
?
??
??2??
y2fY(y)dy??
y24e?y4dy?
42?18
.
从而(1)E(X?Y)?E(X)?E(Y)?
113??. 244
11522
(2)E(2X?3Y)?2E(X)?3E(Y)?2??3??
288
11.设随机变量X的概率密度为
??cxe?k
f（x）=?
??0,
22
x
,
x?0,
x?0.
求（1） 系数c;（2） E（X）;（3） D（X）. 【解】(1) 由
?
??
??
f(x)dx??cxe?kxdx?
??
22
c2
?1c?2k得. 2
2k
22
(2) E(X)?
?
??
??
xf(x)d(x)??
2
??
x2k2xe?kxdx
2kx22k2xe?k
22
?2k
(3) E(X)?
2
?
??
x2e?kxdx?
22
?
??
??
x2f(x)d(x)??
??
x
1.
2k
故
14?π
D(X)?E(X2)?[E(X)]2?2??. 2k??4k
2
12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取
出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）. 【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0，1，2，
3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知
939?0.75??0.204, 0 , P{X?1}?1212113293219????0.04????0.005.
P{X?2} 1 , P{X?3}?1211101211109? P{X?0}
由此可得E(X)?0?0.750?1?0.204?2?0.041?3?0.005?0.301.
E(X2)?02?750?12?0.204?22?0.041?32?0.005?0.413D(X)?E(X)?[E(X)]?0.413?(0.301)?0.322.
2
2
2
13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为
x
?1?4?
f（x）=?4e,x?0,
?x?0.?0,
为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，
工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.
【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和??200元
}P{X? P{Y?100?
?1}?
??
1
1
4
?x/4
e?xd?
1/4
e
?1/4
P{Y??200} ?P{X?1}??1e
.
故E(Y)?100?e?1/4?(?200)?(1?e?1/4)?300e?1/4?200?33.64 (元).
14.设X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…，
n，记
1nX?n?X22
1ni,S，S=(Xi?X)2. i?1n?1?i?1
1） 验证E(X)=μ，D(X) =?2
（n
；
（2） 验证S2
=1n
n?1(?X2
2i?nX)；
i?1
（3） 验证E（S2）=σ2.
【证】(1) E(X)?E??1nn
1n1?n?X?1
ii?1???nE(?Xi)?i?1
n?E(Xi)?nu?u.
i?1nD(X)?D??1nn
1?n?X?1
i??2D(?Xi)Xi之间相互独立i
i?1?n
i?1n2
?n
DX
i?1
?12
?2n2n??
n
. (2) 因
?n
(X
2
n
2
2
n
22
n
i
?X)?i
i
i?1
?(X?X?2XXi)?i?1
?X?nX?2Xi?1
?Xi
i?1
n
?
?X
22
n
22
i
?nX?2XnX?i
i?1
?X?nXi?1
2
n
故S?1
2n?1(?X2i?nX).
i?1
(3) 因E(X2i)?u,D(X2i)??,故E(Xi)?D(X222
i)?(EXi)???u. 2
同理因E(X)?u,D(X)??2
n
,故E(X2
)?
?n
?u2.
从而
篇二：概 率 论
概 率 论
第三章 多维随机变量及其分布
关键词：
二维随机变量
分布函数 分布律 概率密度
边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度
条件分布函数 条件分布律 条件概率密度
随机变量的独立性
Z=X+Y的概率密度
M=max(X,Y)的概率密度
N=min(X,Y)的概率密度
1 二维随机变量
问题的提出
?例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需 要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身 高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一 样本空间的两个随机变量。
?例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的 弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而 它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。
? 分布函数 的性质
二维离散型随机变量
? 分布律的性质
?
? 二维连续型随机变量
? 例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：
? 例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度
(1) 求常数k；(2) 求概率
解：
2 边缘分布
?
? 例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机 变量(X,Y)具有概率密度
则称(X,Y)在G上服从均匀分布。
现设(X,Y)在有界区域 上均匀分布，其概 率密度为 求边缘概率密度
解：
?
3 条件分布
? 例1：盒子里装有3只黑球，4只红球，3只白球，在其中
任取2球，以X表示取到黑球的数目，Y表示取到红球
的只数。求
（1）X，Y的联合分布率；
（2）X=1时Y的条件分布率；
(3) Y=0时X的条件分布率。
故在X=1的条件下，Y的分布律为：
? 例2：一射手进行射击，击中目标的概率为 射击直至击 中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的射击次 数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律和 条件分布律。
解：
定义：条件分布函数
定义：条件概率密度
4 相互独立的随机变量
?
?
?
? 一般n维随机变量的一些概念和结果
? 边缘分布
如：
? 定理1：
? 定理2：
5 两个随机变量的函数的分布 ?
? 一般的，可以证明：
若X,Y相互独立，且分别服从参数为 X,Y的概率密度分别为
? 证明：这是例3的推广，由卷积公式
? 推广到n个相互独立的随机变量的情况 设X1,X2,?-,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为：
则：
篇三：概率论第四章 第五章习题
第四章 数字特征
一．主要内容
随机变量的数学期望 方差 协方差和相关系数
二．课堂练习
1．一台设备由三大部件构成, 在设备运转中各部件需要调整的概率分别 为0.10.2和0.3,假设各部件的状态相互独立, 以X表示同时需要调整的部件数, 试求X的数学期望和方差.
解法一:先求出X的分布律:
P(X?0)?0.504,P(X?1)?0.398 P(X?2)?0.092,P(X?3)?0.006
则E(X)?0?0.504?1?0.398?2?0.092?3?0.006?0.6E(X2)?0.820,D?X??E(X2)??E(X)??0.46?1,第i个部件需要调整,
解法二:设Xi??i?1,2,3,
?0,第i个部件不需要调整,
X?X1?X2?X3,且X1,X2,X3相互独立,
E(X)??E(X1)?E(X2)?E(X3)?0.1?0.2?0.3?0.6,D(X)??D(X1)?D(X2)?D(X3)?0.46
2
2.设X~U(0,1),(1)求Y?e2X的概率密度;(2)求Cov(X,Y)
?12
1111?,1?y?e,
fY(y)?fX(lny)(lny)??fX(lny)??2y
2222y?
?0,其它.
111
(2)E(X)?,E(Y)?E(e2X)??e2xdx?(e2?1)
022
11
E(XY)?E(Xe2X)??xe2xdx?(e2?1),
0 4
则Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)?E(Y)
111
?(e2?1)?(e2?1)?.
442
3.设随机变量(X,的概率密度为Y)
?|x,?0?x1, ?1,|y
f(x,y?)?求:E(X),E(Y),Cov(X,Y)
?0,其它,
E(X)??
??
????
?
??
????
2
xf(x,y)dxdy??xdx?dy?0?x3
1
x
E(Y)????
???
E(Y)???
??
????
yf(x,y)dxdy??dx?ydy?0,
0?xyf(x,y)dxdy??dx?ydy?0,
?x
1
x
1x
??
?Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)?E(Y)?0
求E(X),E(Y)时，也可以先求X,Y的边缘密度，再用一个随机变量的数学期望公式求。
4.设?1,?2,?3,?相互独立同分布且方差有限,4
令X???3?,Y1??2
?2??3?试求?,4?
,
:与X的相关系数Y
设E(?i)??,D(?i)??2,i?1,2,3,4
则E(X)?3?,E(Y)?3?,D(X)?3?2,D(Y)?3?2,
E(XY)?E(?1??2??3)(?2??3??4)?7?2?2(?2??2)?9?2?2?2 ?Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)?E(Y)?2?2.?XY?
?
2?.
32
222
??E(?i)????,i?j
注E(?i?j)?? 2
E(?)E(?)??,i?j?ij?
5.设X~N(?,?2),求:(1)
E|X??|;(2)E(eX).
(1)E|X??|??
|x??|
??
令
x??
?t?
??
?
(x??)22?2
dx
t22
?
?
??
??
?|t??
X
?
t22
?dt?
(x??)22?2
?te
??
dt?
. ???
(2)E(e)? ?
??
?e
x
2
?
dx(令
2???2
x???t)???
?1(t??)2
?e
?t??t
2
dt
2
???2
??
??
?e
dt ?e
（）1E|X-Y|;(2)D|X-Y|. 6.设随机变量X，Y相互独立，都服从N（0）分布，求：
1
2
1
因X与Y相互独立，都服从N(0)分布，则X?Y服从N(0，分布1).
2
E|X?Y|?,D|X?Y|?E[(X?Y)2]?[E|X?Y|]2
22
?D(X-Y)?[E(X?Y)]2??1?
??
注：将X?Y作为一个正态随机变量求期望方便。
例题1.在长为a的线段上任取两点,求两点间距离的数学期望和方差.
设两点的坐标分别为X和Y,则X和Y相互独立且都服从[0,a]上的均匀分布.?1
?,0?x?a,0?y?a
f(x,y)?fx(x)?fy(y)??a2
??0, 其它
aa
E|X?Y|???|X?Y|f(x,y)dxdy???|X?Y|f(x,y)dxdy?
D
00
a
3
a2
E(|X?Y|)???(X?Y)f(x,y)dxdy?
6D
2
2
a2
则D|X?Y|?E|X?Y|?（E|X?Y|）?
18
2
2
注：（1）求|X?Y|的数字特征可不必求出|X?Y|的分布。
（2）这题中将|X-Y|看作X和Y两个随机变量的函数。
例题2.卡车装运水泥，设每袋水泥的重量X（公斤）服从N（50，2.52）, 问：最多装多少水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05？
X1,X2,?,Xn独立同分布,都服从N(50,2.52)分布，求n使得P{?Xi?2000}?0.05,而?Xi~N(50n,2.52n),
i?1
i?1
n
n
P{?Xi?2000}?0.95，n?39.48,取n?39.
i?1
n
注：?Xi?nXi,nXi~N(50n,n2.5),而?Xi~N(50n,n2.52).
2
2
i?1
i?1
nn
例题3.设A，B是随机试验E的两个随机事件，且P(A)?0,P(B)?0,?1,若A发生?1,若B发生
并定义随机变量X,Y如下:X??Y??
?0,若A不发生?0,若B不发生
证明:若?XY?0,则X与Y必定独立.
即要证P(X?i,Y?j)?P(X?i)P(Y?j)i,j?0,1由?XY?0，可得Cov（X，Y）?0，则E(XY)?E(X)E(Y)
P(X?1,Y?1)?P(X?1)P(Y?1)，P(AB)?P(A)P(B),A,B相互独立,则A与B,A与B,A与B也相互独立,故
P(X?1,Y?0)?P(X?1)P(Y?0)，P(X?1,Y?0)?P(X?1)P(Y?0) P(X?1,Y?0)?P(X?1)P(Y?0)P(X?1,Y?0)?P(X?1)P(Y?0)
P(X?1,Y?0)?P(X?1)P(Y?0)，P(X?0,Y?1)?P(X?0)P(Y?1)，P(X?0,Y?0)?P(X?0)P(Y?0)，所以X与Y相互独立.
第五章
极限定理
一．主要内容： 大数定律 中心极限定理 二．课堂练习
1.设某单位有200台电话机，每台电话机有5%的时间需要使用外线通话。若每台电话机是否使用外线是相互独立的。问该单位总机至少需要安装多少条外 线才能以90%以上的概率保证每台电话机需要使用外线时不被占用？
?1,第i台电话机使用外线;
设Xi??i?1,2,?,200
0,第i台电话机不使用外线?则?n??Xi(n?200)表示同时使用外线的电话机总数.
i?1n
求k值,使P{0??n?k}?0.9.令Yn?则
P{0??n?k}?
p?0.05,n?200?Yn?
??
??(????0.9
?1.30,则k?14
?0)
2 装配工人装配某种零件，每只需要2分钟，但若装配不合格就需要重装，
再要用2分钟，且一定能装好。设每个零件的装配是相互独立的，每个零件需 要重装的概率为0.3。若每个工人每天的实际工作时间是8小时，任务是装配 180个零件，求工人每天完不成任务的概率的近近似值。
设第i个零件的装配时间为Xi，Xi相互独立同服从两点分布，
i?1，2，?，180，P(Xi?2)?0.7,P(Xi?4)?0.3，则
E(Xi)?2.6D(Xi)?0.84
P{?Xi?480}?1?P{?Xi?480}
i?1
i?1
180
180
?1?
?Xi?180?2.6
180
?
?1??(0.9759)?0.166
又考虑需重装的零件数，
?1第i个零件需要重装
设Xi??i?1,2,?,180
?0第i个零件不需要重装P{?Xi?60}?1?P{0??Xi?60}
i?1
i?1
180
180
?1??1??(0.9757)?0.166
?
?X
180
i
?180?0.3
?
篇四：概率统计第四章答案(2)
概率论与数理统计作业
班级 姓名 学号 任课教师
第四章 随机变量的数字特征
教学要求：
一、理解随机变量数学期望和方差的概念，掌握数学期望和方差的性质与计算方法；
二、了解0-1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期望及方差；
三、了解矩、协方差、相关系数的概念及性质，并会计算.
重点：数学期望与方差的概念和性质. 难点：相关系数．
练习一 一维随机变量的数字特征
1. 填空题
（1）将三个球随机地放到5个盒子中去，则有球的盒子数的数学期望为 61/25 ． （2）若随机变量X的分布律P?X?k??A
B
k
k!
(k?0,1,2?)且E(X)?a，则A?e
?a
，
B?a．
（3）设随机变量X~B(n,p)，且E(X)?0.5,D(X)?0.45，则n?5,p?0.1 ．
1
?x?2x?1
2
（4）已知连续型随机变量X的概率密度为f(x)?
?
e,(???x???)，
则E(X)? 1 ，D(X)? 1/ 2 ．
（5）设随机变量X表示10次重复独立射击命中目标的次数，且每次射击命中目标的概率
2
为0.4，则E(X)?D?X???E?X
??2
?6.4．
（6）设随机变量X服从参数为?(??0)的泊松分布，且已知E[(X?1)(X?2)]?1，则
??
2．在射击比赛中，每人射击4次，每?a href="http://www.zw2.cn/zhuanti/guanyuwozuowen/" target="_blank" class="keylink">我环⒆拥娑?弹全都不中得0分，只中一弹得15分，中2弹得30分，中3弹得55分，中4弹得100分．某人每次射击的命中率为0.6．求他期望得多少分？
15；30；55；100.且 解：设X表示射击4次得的分数，则X的所有可能取值为0；
P?X?0??C4?0.6???1?0.6??0.0256, P?X?15??C4?0.6??1?0.6??0.1536,
4
1
1
3
P?X?30??C4?0.6??1?0.6??0.3456, P?X?55??C4?0.6??1?0.6??0.3456,
2
2
2
3
3
1
P?X?100??C4?0.6??1?0.6??0.1296,
4
4
所以
E?X??0?0.0256?15?0.1536?30?0.3456?55?0.3456?100?0.1296?44.64
??
3．设随机变量X的概率密度为f?x????
??
??
1
1?x0,
2
,x?1,x?1.
求E(X),D(X)．
解： E?X??由于
EX
?xf?x?dx
??
?
?x
?1
?
?1
???2
1?x???x?
??0 ????1
2
1
?
2
???xf?x?dx
2??
??1
?
?
?1
x
2
2
?
??x
??x
?
2
?x
2
?
10
?
2
1
?
?
?xdx
2
?0?则
2
?
?
?
4
?
12
D?X??EX
?
2
???E?X??
2
?
12
4．已知随机变量X的概率分布律为：
求E(X),E(X),D(X)及E?3X
2
2
?5?.
解： E?X??
??
?x
i?1??
i
pi???2??0.4?0?0.3?2?0.3??0.2;
EX
?
2
???x
i?1
2ipi???2??0.4?0?0.3?2?0.3?2.8;
2
2
2
D?X??EX
?
2
???E?X??
2
2
?2.76;
E?3X
2
?5??3E?X??5?3?2.8?5?13.4.
x?0,x?0;
?e?x,
5．设随机变量X的概率密度为f?x???
?0,Y?e
?2x
求（1）Y?2X的期望；（2）
的期望．
????
解：（1） E?Y??
?
??
g?x?f?x?dx?
?2xe
?x
dx??2e
?
x
?x?1??0
??
??
?2
????
（2） E?Y??
?
??
g?x?f?x?dx?
?e
?2x
e
?x
?1?3x?
dx???e?
?3?0
?
13
6．对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在区间(a,b)内，求球的体积的均值． 解：设球的直径为X,球的体积为V,则V?
?1
?,
f?x???b?a
??0,
16
?X,且
3
a?x?b其它；
于是
b
E?V
dx????x3?6b?a
a
11124
??a?b?(a?b)
22
练习二 二维随机变量的数字特征
1.填空题
（1）设随机变量X,Y相互独立，方差分别为6和3，则D(2X?Y)? 27 ．
2
E(X)?E(Y)?0，D(X)?D(Y)?1，（2）设随机变量X,Y相互独立，则E[(X?Y)]?
（3）设随机变量X,Y相互独立，且X~N(1,2),Y~N(0,1), 则随机变量Z?2X?Y?3
12??3
?
?x?5?2
2?3
2
的概率密度fZ(z)=
．
（4）设随机变量X与Y相互独立，且X~U[0,2]，Y服从参数为3的指数分布，则
13
E(XY)?．
（5）设二维随机变量X,Y的相关系数为?XY?0.5，X与Y的方差分别为D(X)?4，
D(Y)?9，则D(2X?3Y)?．
?12y2,
2．设随机变量(X,Y)的概率密度为f?x,y???
?0,
0?y?x?1,
其它；
求E(X),E(Y),
D(X),D(Y),E(XY)和E(X
1
x
2
?Y)．
1
2
2
解： E?X??
?dx?x?12ydy?
01
0x
2
?4xdx?
01
4
4535
；
E?Y??
?dx?y?12ydy?
?3xdx?
4
D?X??EX
?
2
???E?X??
1
2
x
?
?dx?
0x
?4?22
x?12ydy????
?5?
2
1
?4xdx?
5
1625
?
275
D?Y??EY
????E?Y??
2
1
1
2
?
?dx?
?3?22
y?12ydy???
?5?
1
2
2
1
?
?
(转载于:www.smhaida.com 海 达 范 文网:设y,inx,n,σ2,求e,x)125
xdx?
5
925
?
125
；
x
E?XY
???dx?xy?12y
dy?
?3xdx?
5
12
；
415
EX
?
2
?Y
2
??E?X??E?Y??
2
2
23
?
25
?。
3．设随机变量X,Y相互独立,概率密度分别为
?2x,
fX?x???
?0,
0?x?1,
?e5?y,
fY(y)??
其它；?0,
y?5,y?5;
求E(XY)．
解：由于随机变量X,Y相互独立, 则
??
??
1
??
2
E?XY
??E?X?E?Y???xfX?x?dx??
??
??
yfY?y?dy?
?2x
dx?
?ye
5
5?y
dy
?
23
???y?1?e?
5?y
??
5
?
23
?6?4.
4. 随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，并服从同一分布，数学期望为?，方差为?， 求这些随机变量的算术平均值X?
1n
n
2
?
i?1
Xi的数学期望及方差．
解：由于随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，且
E?Xi???， D?X???,i?1,2,3,…，
2
于是由性质得
?1
EX?E?
?n
??
n
?
i?1
?1Xi???n
n
?
i?1n
E?Xi??
1n1n
2
?n???，
?1
DX?D?
?n
??
n
?
i?1
1?
Xi??2
?n
?D?X??
i
i?1
?n?
2
?
?
2
n
.
5．设连续型随机变量X,Y相互独立，且均服从N(0,),求E(X?Y)．
21
解：设Z?X?Y,由于X,Y相互独立，且均服从N(0,),则Z也服从正态分布，且
2
1
E?Z??E?X?Y??E?X??E?Y??0, D?Z??D?X??D?Y??
12
?
12
?1,
即Z～N?0,1?,于是
E?X?Y
??E?Z???
??
z
12?
e
?
z
2
2
dz?
22?
??
?
ze
?
z
2
2
dz?
??
z?2?
??e2
2???
2
?
???0
??
?
2
?
.
综合练习题
1．甲乙两台机床生产同一种零件，在一天生产中的次品数分别记为X,Y，已知X,Y的
解：由于
E?X??0?0.4?1?0.3?2?0.2?3?0.1?1, E?Y??0?0.3?1?0.5?2?0.2?3?0?0.9
则甲机床生产中的次品数的均值大于乙机床生产中的次品数，所以乙机床较好。
2．已知随机变量X的概率密度为f(x)?
D(X)．
??
??
12
e
?x
,(???x???)，求E(X)及
解： E?X??
12
?
??
xf?x?dx?
?x?2??
?12
1
?x
dx?
12
?
??
xedx?
x
12
??
?
xe
?x
dx
?
?e
x
?x?1????
0??e
?x
?x?1??0
??
??
12
?
12
?0，
篇五：10年10?a href="http://www.zw2.cn/zhuanti/guanyuluzuowen/" target="_blank" class="keylink">路葑钥几怕事塾胧硗臣剖跃砑按鸢?/font>
2010年10月高等教育自学考试全国统一命题考试
概率论与数理统计（经管类）试题
课程代码：04183
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）>0,P(B)>0，则( ) A.P(B|A)=0 B.P(A|B)>0 C.P(A|B)=P（A）
D.P(AB)=P(A)P(B)
2.设随机变量X～N(1，4)，F(x)为X的分布函数，?(x)为标准正态分布函数，则F(3)=( A.?(0.5) B.?(0.75) C.?(1)
D.?(3)
3.设随机变量X的概率密度为f (x)=??2x, 0?x?1,则P{0?X?1?0, 其他,
2=( )
A.1
4 B.13 C.
132
D.
4
?
4.设随机变量X的概率密度为f (x)=??cx?1,?1?x?0,
则常数c=( ?2
) ? 0, 其他,A.-3
B.-1 C.-12
D.1
5.设下列函数的定义域均为（-?，+?），则其中可作为概率密度的是( ) A. f (x)=-e-x
B. f (x)=e-x C. f (x)=1
2
e-|x|
D. f (x)=e-|x|
6.设二维随机变量（X，Y）～N（μ1,μ2，?2
1,?22,?），则Y～( ) A.N（??21,1） B.N（?1,?22） C.N（?22,?1）
D.N（?22,?2）
?7.已知随机变量X的概率密度为f (x)=?1
?2,2?x?4,
则E(X)=( )
??
0, 其他,)
A.6 C.1
B.3 1D. 2
8.设随机变量X与Y相互独立，且X～B(16，0.5)，Y服从参数为9的泊松分布，则D(X-2Y+3)=( ) A.-14 C.40
B.-11 D.43
???Zn?np?
9.设随机变量Zn～B（n，p），n=1，2，…，其中0 n???np(1?p)???A. ?? x 1?12? ? e t2 2 dt B. ? x 12?12? ? ?? e t22 dt C. ? ?? e t22 dt D. ? ?? ? ?? e t22 dt 10.设x1，x2，x3，x4为来自总体X的样本，D(X)=?2，则样本均值x的方差D(x)=( ) A.?2 1B.?2 21D.?2 4 1C.?2 3 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1 11.设随机事件A与B相互独立，且P(A)=P(B)=，则P(A?B)=_________. 3 12.设袋内有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1个红球、1个白球和1个黑球的概率为_________. 13.设A为随机事件，P(A)=0.3，则P(A)=_________. 14.设随机变量X的分布律为 .记Y=X2，则P{Y=4}=_________. 15.设X是连续型随机变量，则P{X=5}=_________. 16.设随机变量X的分布函数为F(x)，已知F(2)=0.5，F（-3）=0.1， 则P{-3 ?1?e?x,x?0, 17.设随机变量X的分布函数为F(x)=?则当x>0时，X的概率密度f (x)=_________. 0, x?0,? 1 18.若随机变量X～B（4，），则P{X≥1}=_________. 3 ?1 ?,0?x?2,0?y?1, 19.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f (x，y)=?2 ?0, 其他,?则P{X+Y≤1}=_________. 20.设随机变量X的分布律为 ，则E(X)=_________. 21.设随机变量X～N(0，4)，则E(X2)=_________. 22.设随机变量X～N(0，1)，Y～N(0，1)，Cov(X,Y)=0.5，则D(X+Y)=_________. 23.设X1，X2，…，Xn，…是独立同分布的随机变量序列，E（Xn）=μ，D（Xn）=σ2， ?n??Xi?n???i?1? n=1,2，…,则limP??0?=_________. n??n??? ???? ? 24.设x1，x2，…，xn为来自总体X的样本，且X～N(0,1)，则统计量 n ?x i?1 n 2 i ~_________. 25.设x1，x2，…，xn为样本观测值，经计算知 n ? i?1 xi2?100,nx=64， 2 则 ?(x?x) ii?1 2 =_________. 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 26.设随机变量X服从区间［0，1］上的均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，且X与Y相互独立，求E（XY）. 27.设某行业的一项经济指标服从正态分布N（μ,σ2），其中μ,σ2均未知.今获取了该指标的9个数据作为样本，并算得样本均值x=56.93，样本方差s2=(0.93)2.求?的置信度为95%的置信区间.(附：t0.025(8)=2.306) 四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 28.设随机事件A1，A2，A3相互独立，且P(A1)=0.4，P(A2)=0.5，P(A3)=0.7. 求：(1)A1，A2，A3恰有一个发生的概率；(2)A1，A2，A3至少有一个发生的概率. 29.设二维随机变量(X，Y)的分布律为 (1)求(X，Y)分别关于X,Y的边缘分布律；(2)试问X与Y是否相互独立，为什么？ 五、应用题（10分） 30.某厂生产的电视机在正常状况下的使用寿命为X（单位：小时），且X～N(?，4).今调查了10台电视机的使用寿命，并算得其使用寿命的样本方差为s2=8.0.试问能否认为这批电视机的使用寿命的方差仍为4？（显著性水平α=0.05） 22(附：?0.025(9)=19.0,?0.975(9)=2.7)