几何体上的最短距离

篇一：利用展开法求几何体表面上两点间的最短距离

利用展开法求几何体表面上两点间的最短距离 陕西省汉中市405学校 侯有岐 723312

简单几何体的侧面展开图,除用以计算几何体的面积外,还有一个很重要的作用,教材上很少涉及.但对学生来说却很有趣,这就是用以解决几何体上两点间的最短距离问题.这类问题乍看起来无从下手,但作适当的转化,就可找到问题的突破口,使问题变得简单明了.本文通过教学中的例子对这个问题进行探讨.

一、对于多面体上两点间的最短距离,直接求解往往有困难,可采取把立体图形展开成平面图形,通过“化折为直”的途径予以解决.

例1（2005年江西高考题）

分析: 引导学生观察直观图,进行分析、探索.根据对称性,从E到F走“近道”绕过棱B1B、A1B1、AC （1）E—B1B—F； 11有三种走法：

（2）E—A1B1—F； （3）E—A1C1—F.要求最短距离,怎么办?在三棱柱表

面上弯来拐去的不好确定.若能把每一条路线所经过的两个平面“拉平”就好办了，因此，把表面展开，在展开图中进行比较、计算. 解: 对于三种走法(1)、（2）、（3），作三棱柱的表面展开图（如图示），连接EF，得到三条线段，设它们的长分别为l1、l2、 l3，则

l1??

l2?2

?

?

l3?. 因为 l3?l2?l1, 2

所以沿棱柱表面从E到F两点的最短路径的长度为 . 2

点评: 由上例可以看出,在多面体中,要求几何体表面上两点之

间的最短距离,可利用展开图.由平面上“两点之间线段最短” 即可求得,如果路径有多条,可通过比较,选取最短者.

例2(2006年江西高考题)

分析: 在例1的基础上,学生可很快得到本题的解题思路:沿侧棱AA1展开并重复一次得展开图(如图示),图中矩形对角线AA1的长即为所求的最短距离.显然AA

1??10.

二、对于旋转体表面上两点间的最短距离，直接求解学生可能感到束手无策，若能将空间曲面转化为平面，就可通过“化曲为直”的途径予以解决.

篇二：浅谈如何求几何体异面上两点间最短距离

浅谈如何求几何体异面上两点间最短距离

上龛中学 付 彬

我们知道，在同一平面上，两点之间线段最短。但如果两点不在同一平面上，而是在几何体的两个不同面上，问题又会如何呢？众所周知，一个立体图形沿着某些棱剪开并铺平，能够展开成平面图形，如长方体，三棱锥，圆柱等。这里，我们不妨利用平面展开图把几何体异面上两点之间最短距离问题化归为同一平面上两点之间最短距离问题：先将所需几何体表面展开得到平面图形，连结两点，求出两点间线段的长，从而得到几何体异面上两点之间的最短距离。下面我们结合实例来说明侧面展开图的方法.

一、几何体为棱柱

问题1 如图1所示，已知长方体蛋糕上A点有只蜘蛛在寻找实物，B点有只苍蝇正在进食。若这块长方体蛋糕的长、宽、高分别为7 cm，5cm和5 cm，那么这只蜘蛛在A点发现苍蝇后，到B点逮到苍蝇的最短爬行路线有多长？

分析：①如图1-1，把长方体的上表面和正面展开成平面图形，连结AB；②如图1-2，把长方体的正面和右侧面展开成平面图形，连结AB。两者中较小的AB值就是所求。 解：①如图1-1，由题意，得

∠ACB＝90。 ，AC＝7，BC＝5＋5＝10，

∴ AB＝AC2?BC2?72?102?

②如图1-2，由题意，得

∠ACB＝90。，AC＝7＋5＝12，BC＝5，

∴ AB＝AC2?BC2?2?52?13

∵ ?13 图1 图

1-2 ∴ 所求最短爬行路线长cm。 图1-1

二、几何体为棱锥

问题２如图２，课桌上放着一个正三棱锥S-ABC，SA=1,∠ASB=30°, 蚂蚁从点A沿三棱锥的侧面爬行（必须经过三棱锥的三个侧面）再回到A，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短.

解：根据图２，沿SA剪开得展开图２.

在⊿SAE中，,,SE=－1.

利用尺规作图可以找到E和F，从而确定蚂蚁的最佳行迹AEFA.

三、几何体为圆锥

问题３如图３，课桌上放着一个圆锥，点Ａ为圆锥底面圆周上一点，SA=3,OA=1蚂蚁从点A沿圆锥的侧面爬行再回到A，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短. 分析：有趣的是蚂蚁的最佳行迹不是底面的圆周，而是向上爬，到达一个最高点后向下爬行.

解：根据图３，沿SA剪开得展开图３.

在⊿SAB中，∠ASB＝，AB=3.

取SC的中点D，其最佳行迹是曲线段ADB,在侧面展开图上是直线段ADB.

四、几何体为圆柱

问题４如图４，课桌上放着一个圆柱，蚂蚁从点A沿圆柱的侧面爬行到另一点B，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短.

解：根据图４，沿AE剪开得展开图4.

若点B落在展开图的中位线EF上,则蚂蚁应按AB1或MB１两条线段在圆柱上的对

应曲线爬行.

若点B落在展开图的中位线EF的左侧,则蚂蚁应按MB2两条线段在圆柱上的对应

曲线爬行.

若点B落在展开图的中位线EF的右侧,则蚂蚁应按AB2两条线段在圆柱上的对应

曲线爬行.

五、几何体为球

问题５如图５，球O的表面上有两点A、B，∠AOB＝60 。，蚂蚁从点A沿球的表面爬行到B，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短.

解：这时我们知道最佳行迹为AOB所在平面的大圆的劣弧，不能运用初等数学方法来证明这个问题.

我们在此对几何体上的蚂蚁最佳行迹问题进行了讨论，有侧面展开图的通常转化为展开图上的各线段的最短者，来寻求蚂蚁的最佳行迹.没有平面展开图的曲面，寻求最佳行迹就不太方便.这里值得强调的是，立体几何的重要思想方法是将空间问题转化为平面几何问题.

篇三：几何体上最短路径问题

确定几何体上的最短路径问题

例1． 有一圆柱形油罐，如图所示，要行A点环绕油罐建梯子正好到A点的正上方B点，

问梯子最短需要多长？（已知油罐的底面周长是12m，高AB是5m）

例2． 如图所示是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60㎝、30㎝、10㎝，

A和B是这个台阶两个相对的端点。在A点有一只蚂蚁想到B点

去吃可口的食物，请你帮助蚂蚁计算一下，它沿着台阶面从A

点爬到B点的最短路程是多少？

例3． 如图所示，长方体的底面相邻边长分别为1㎝和3㎝，高为6㎝.点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线

最短需要多长？

例4． 如图所示，一个无盖的长方形盒子的长、宽、高分别为8㎝㎝，8㎝，12㎝，一只

蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁

设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短距离是多少？

例5． 有一个长方体纸盒，如图所示，小明所在数学小组研究有长方体的地面点A到长方

体中与点A相对的B点的最短距离，

若长方体的底面长为12，宽为，高

为5，请帮助该小组求出有A点到

B点的最短距离。（21.59≈466,18.44≈340）

22

变式训练

1． 有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到点B处，如图所示，已知杯子高8㎝，

点B距杯口3㎝（杯口在上），杯子底面半径为4㎝，蚂蚁沿表面

从A点爬到B点的最短距离是多少？（?取3）

2． 如图所示，MN表示一条铁路，A，B分别表示两个城市，它们到铁路所在直线MN的

垂直距离分别为AA1=20km，BB1=40km，且A1B1=80km。现要在A1，B1之间设一个中转站P，使两个城市到中转站的距离的和最短。请你设计一个方案确定P点的位置，并求出这个最短距离。

3． 如图1-6，圆柱形玻璃杯，高为12㎝，底面周长为18㎝，在杯内离杯底4㎝的点C处

有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4㎝与

蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？

5. 同学们为学校国庆晚会设计了一个圆柱形灯罩，然后在侧面上缠绕

红色彩纸如图（1）所示。已知圆筒高108㎝，周长36㎝，如果在

表面缠绕彩纸4圈，应需彩纸多长?

6. 如图所示，李俊的家在高楼的第15层，一天他去买竹竿，如果

电梯的长、宽、高分别是1.2m、1.2m、2.1m，则他所买的竹竿

的最大长度是多少？

7. 将一根24㎝的筷子，置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中（如图），设筷

子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围是 。

篇四：浅谈如何求几何体异面上两点间最短距离(1)

浅谈如何求几何体异面上两点间最短距离

湖北省十堰市房县上龛中学 付 彬

我们知道，在同一平面上，两点之间线段最短。但如果两点不在同一平面上，而是在几何体的两个不同面上，问题又会如何呢？众所周知，一个立体图形沿着某些棱剪开并铺平，能够展开成平面图形，如长方体，三棱锥，圆柱等。这里，我们不妨利用平面展开图把几何体异面上两点之间最短距离问题化归为同一平面上两点之间最短距离问题：先将所需几何体表面展开得到平面图形，连结两点，求出两点间线段的长，从而得到几何体异面上两点之间的最短距离。下面我们结合实例来说明侧面展开图的方法.

一、几何体为棱柱

问题1 如图1所示，已知长方体蛋糕上A点有只蜘蛛在寻找实物，B点有只苍蝇正在进食。若这块长方体蛋糕的长、宽、高分别为7 cm，5cm和5 cm，那么这只蜘蛛在A点发现苍蝇后，到B点逮到苍蝇的最短爬行路线有多长？

分析：①如图1-1，把长方体的上表面和正面展开成平面图形，连结AB；②如图1-2，把长方体的正面和右侧面展开成平面图形，连结AB。两者中较小的AB值就是所求。 解：①如图1-1，由题意，得

∠ACB＝90。 ，AC＝7，BC＝5＋5＝10，

∴ AB＝AC2?BC2?72?102?

②如图1-2，由题意，得

∠ACB＝90。，AC＝7＋5＝12，BC＝5，

∴ AB＝AC2?BC2?2?52?13

∵ ?13 图1 图

1-2 ∴ 所求最短爬行路线长cm。 图1-1

二、几何体为棱锥

问题２如图２，课桌上放着一个正三棱锥S-ABC，SA=1,∠ASB=30°, 蚂蚁从点A沿三棱锥的侧面爬行（必须经过三棱锥的三个侧面）再回到A，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短.

解：根据图２，沿SA剪开得展开图２.

在⊿SAE中，,,SE=－1.

利用尺规作图可以找到E和F，从而确定蚂蚁的最佳行迹AEFA.

三、几何体为圆锥

问题３如图３，课桌上放着一个圆锥，点Ａ为圆锥底面圆周上一点，SA=3,OA=1蚂蚁从点A沿圆锥的侧面爬行再回到A，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短. 分析：有趣的是蚂蚁的最佳行迹不是底面的圆周，而是向上爬，到达一个最高点后向下爬行.

解：根据图３，沿SA剪开得展开图３.

在⊿SAB中，∠ASB＝，AB=3.

取SC的中点D，其最佳行迹是曲线段ADB,在侧面展开图上是直线段ADB.

四、几何体为圆柱

问题４如图４，课桌上放着一个圆柱，蚂蚁从点A沿圆柱的侧面爬行到另一点B，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短.

解：根据图４，沿AE剪开得展开图4.

若点B落在展开图的中位线EF上,则蚂蚁应按AB1或MB１两条线段在圆柱上的对

应曲线爬行.

若点B落在展开图的中位线EF的左侧,则蚂蚁应按MB2两条线段在圆柱上的对应

曲线爬行.

若点B落在展开图的中位线EF的右侧,则蚂蚁应按AB2两条线段在圆柱上的对应

曲线爬行.

五、几何体为球

问题５如图５，球O的表面上有两点A、B，∠AOB＝60 。，蚂蚁从点A沿球的表面爬行到B，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短.

解：这时我们知道最佳行迹为AOB所在平面的大圆的劣弧，不能运用初等数学方法来证明这个问题.

我们在此对几何体上的蚂蚁最佳行迹问题进行了讨论，有侧面展开图的通常转化为展开图上的各线段的最短者，来寻求蚂蚁的最佳行迹.没有平面展开图的曲面，寻求最佳行迹就不太方便.这里值得强调的是，立体几何的重要思想方法是将空间问题转化为平面几何问题.

篇五：浅谈如何求几何体异面上两点间最短距离

浅谈如何求几何体异面上两点间最短距离

上龛中学 付 彬

我们知道，在同一平面上，两点之间线段最短。但如果两点不在同一平面上，而是在几何体的两个不同面上，问题又会如何呢？众所周知，一个立体图形沿着某些棱剪开并铺平，能够展开成平面图形，如长方体，三棱锥，圆柱等。这里，我们不妨利用平面展开图把几何体异面上两点之间最短距离问题化归为同一平面上两点之间最短距离问题：先将所需几何体表面展开得到平面图形，连结两点，求出两点间线段的长，从而得到几何体异面上两点之间的最短距离。下面我们结合实例来说明侧面展开图的方法.

一、几何体为棱柱

问题1 如图1所示，已知长方体蛋糕上A点有只蜘蛛在寻找实物，B点有只苍蝇正在进食。若这块长方体蛋糕的长、宽、高分别为7 cm，5cm和5 cm，那么这只蜘蛛在A点发现苍蝇后，到B点逮到苍蝇的最短爬行路线有多长？

分析：①如图1-1，把长方体的上表面和正面展开成平面图形，连结AB；②如图1-2，把长方体的正面和右侧面展开成平面图形，连结AB。两者中较小的AB值就是所求。 解：①如图1-1，由题意，得

∠ACB＝90。 ，AC＝7，BC＝5＋5＝10，

∴ AB＝AC2?BC2?72?102?

②如图1-2，由题意，得

∠ACB＝90。，AC＝7＋5＝12，BC＝5，

∴ AB＝AC2?BC2?2?52?13

∵ ?13 图1 图

1-2 ∴ 所求最短爬行路线长cm。 图1-1

二、几何体为棱锥

问题２如图２，课桌上放着一个正三棱锥S-ABC，SA=1,∠ASB=30°, 蚂蚁从点A沿三棱锥的侧面爬行（必须经过三棱锥的三个侧面）再回到A，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短.

解：根据图２，沿SA剪开得展开图２.

在⊿SAE中，,,SE=－1.

利用尺规作图可以找到E和F，从而确定蚂蚁的最佳行迹AEFA.

三、几何体为圆锥

问题３如图３，课桌上放着一个圆锥，点Ａ为圆锥底面圆周上一点，SA=3,OA=1蚂蚁从点A沿圆锥的侧面爬行再回到A，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短. 分析：有趣的是蚂蚁的最佳行迹不是底面的圆周，而是向上爬，到达一个最高点后向下爬行.

解：根据图３，沿SA剪开得展开图３.

在⊿SAB中，∠ASB＝，AB=3.

取SC的中点D，其最佳行迹是曲线段ADB,在侧面展开图上是直线段ADB.

四、几何体为圆柱

问题４如图４，课桌上放着一个圆柱，蚂蚁从点A沿圆柱的侧面爬行到另一点B，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短.

解：根据图４，沿AE剪开得展开图4.

若点B落在展开图的中位线EF上,则蚂蚁应按AB1或MB１两条线段在圆柱上的对

应曲线爬行.

若点B落在展开图的中位线EF的左侧,则蚂蚁应按MB2两条线段在圆柱上的对应

曲线爬行.

若点B落在展开图的中位线EF的右侧,则蚂蚁应按AB2两条线段在圆柱上的对应

曲线爬行.

五、几何体为球

问题５如图５，球O的表面上有两点A、B，∠AOB＝60 。，蚂蚁从点A沿球的表面爬行到B，它按怎样的路线爬行，才使其行迹最短.

解：这时我们知道最佳行迹为AOB所在平面的大圆的劣弧，不能运用初等数学方法来证明这个问题.

我们在此对几何体上的蚂蚁最佳行迹问题进行了讨论，有侧面展开图的通常转化为展开图上的各线段的最短者，来寻求蚂蚁的最佳行迹.没有平面展开图的曲面，寻求最佳行迹就不太方便.这里值得强调的是，立体几何的重要思想方法是将空间问题转化为平面几何问题.

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