时针的分针从4点整

篇一：奥数时钟问题

1小时的时间，分针旋转360度角，时针旋转30度角；1分钟的时间，分针旋转6度角，时针旋转0.5度角。（反之，时针旋转1度角，时间就过2分钟）

分析：(如图1)要解决这个问题首先须观察钟表的表盘，知道：（1）表盘被1---12个刻度均匀分成12等份，每相邻刻度之间又被小格均匀分成5 等份；（2）表针（时针、分针、秒针）每转过1个刻度，就绕中心旋转30度角，每转过1个小格，就绕中心旋转6度角。

所以：1小时的时间，分针旋转360度角，时针旋转30度角；1分钟的时间，分针旋转6度角，时针旋转0.5度角。（反之，时针旋转1度角，时间就过2分钟）

问题1：8时30分时，分针与时针成多少度角？8时32分时呢？

分析：（如图2-3）要求某时刻分针与时针成的角度，可先观察这个角接近（或等于）哪两个刻度所成的角，然后再加上（或减去）时针、分针转过的相应角度。如9：00时两针夹“9-12”间的3大格，成90度；而9：01、8：58时两针夹角接近“9-12”间的3大格。 因此：

8：30时 分针与时针间的夹角为 30×2+15=75（度）

8：32时 该夹角为30×2+15+0.5×2-6×2=64（度）

问题2：从12：00开始,在12小时内，分针与时针有多少次互相垂直的机会？最后一次垂直时是几时几分？

分析：通过做实验的办法我们能得到第1个问题的答案。如何用数学思想、方法准确解决这一问题呢？在前面的分析中我们知道：在相同的时间内，时针与分针转过的角度之比为1：12。从12：：00开始，两针第一次成直角，就是分针与时针转过的角度之差为90度，两针第一次在一条直线上，就是分针与时针转过的角度之差为90×2度，两针第二次成直角，就是分针与时针

转过的角度之差为90×3度---由此可列得一元一次方程，再借助一元一次不等式的整数解使问题得到解决。

解：（1）从12：00开始，当分针与时针互相垂直时，设时针转过x度，则分针转过12x度。因为分针与时针互相垂直，所以

它们第一次垂直时：12x-x=90

它们第二次垂直时：12x- x=90×3

它们第三次垂直时：12x- x=90×5

它们第K次垂直时：12x- x=90×（2K-1）

即： 11x=90×（2K-1）

∵0＜x＜360 ∴0＜11x＜360×11

即0＜90×（2K-1）＜360×11 解得 0＜k＜22.5

又k是整数，故k取1，2，3，-------，22。

所以在12小时内，分针与时针有22 次互相垂直的机会。

(2)两针最后一次垂直时，k=22

问题3：从12：00时起，你能迅速得出12小时内分针与时针有多少次重合的机会？有多少次方向相反且在一条直线上的机会吗？你是否会求某一次重合或成一条直线时的时刻吗？

分析：问题3完全可以用问题2的方法来解决，也可直接利用我们熟悉的追及问题来解决：

（1）分针与时针第m次重合，就是在相同的时间内分针比时针多转m圈---360m度！（2）分

针与时针第n次在一条直线上，就是在相同时间内分针比时针多转180n度！而某次重合或成一条直线时的时刻，就是时针转过x度所用的时间2x分钟。

创新应用：你能否用以上方法求某时间段内，分针与时针成任意角度时的时刻？如从2时12分到4时36分这段时间内，分针与时针成30度角的时刻分别是几时几分？相信你结合下面的图形不难迅速得到答案。

1. 现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？

解析：分针：1格/分 时针：(1/12) 格/分

3点整，时针在分针前面15格，所以第一次重合时，分针应该比时针多走15格， 用追及问题的处理方法解：15格/(1-1/12)格/分=16+4/11分钟

所以下午3点16又4/11分时，时针和分针第一次重合

PS:这类题目也可以用度数方法解

2. 分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？ 解析：分针：6度/分 时针0.5度/分

当两针第一次重合到第二次重合，分针比时针多转360度。

所以两针再次重合需要的时间为：360/(6-0.5)=720/11分，一昼夜有：24*60=1440分 所以两针在一昼夜重合的次数：1440分/(720/11)分/次=22次

3. 钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？

解析：分针：6度/分 时针0.5度/分

5点零8分，时针成角：5*30+8*0.5=154度

分针成角：8*6=48度

所以夹角是154-48=106度

4. 在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？

解析：整4点时，分针指向12，时针指向4。此时，时针领先分针20格。时，分两针成直角， 必须使 时针领先分针15格，或分针领先时针15格。因此，在相同时间内，分针将比 时针多走 (20-15)格或(20+15)格。

(20-15)/(1-1/12)=60/11,即4点5又5/11分

(20+15)/(1-1/12)=38又2/11分,即4点38又2/11分

5. 9点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？

解析：设经过X分，0.5*X=270-6*X ,解得X=540/13分

所以答案是9点过41又7/13分。

↑ ↓

研究钟面上时针和分针关系的问题。钟面的一周分为60格。当分针走60格时，时针正好走5格，所以时针的速度是分针的5÷60=1／12，分针每走60÷（1－5／60）=65+5／11（分），于时针重合一次，时钟问题变化多端，也存在着不少学问。这里列出一个基本的公式：在初始时刻需追赶的格数÷（1－1／12）=追及时间（分钟），其中，1－1／12为每分钟分针比时针多走的格数。一分钟分针可以走6度，时针可以走0.5度。 常见的时钟问题：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。

解题思路

在初始状态时针总是再分针前面，再钟面上，时针12小时走一圈即360°。每分钟走6°就是说，分针每分钟比时针多走6-0.5=5.5（两针速度差）当已知原来两针的间隔度数及要形成夹角的度数时，有公式 两针达到要形成夹角度数的分针数=（原来两针的间隔度数±要形成夹角的度数）÷（6°-0.5°）。

在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角?

解：当时针分针重合，即分针追上时针时，需要时间30/(11/12)=60/11，

此后，当路程差为

当

因此，共需要

60/11+180/11=240/11分钟，或60/11+540/11=600/11分钟。 路程差为27090度度时，构成直角，90/(11/12)=180/11； 时，构成直角，270/(11/21)=540/11.

2.现在是10点整，请问再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线上？

解：分针一分钟走6度，时针一分钟走1/2度，则分针时针的速度差为11/2，10点时分针时针路程差为60度，当分针时针第一次在一条直线上时分针时针的路程差为180度。

即在运动过程中，时针分针的路程差又增加120度，因此，用时120/(11/2)=240/11

3.在钟面上，如果知道X时Y分，输入一个公式就能得出此时时针与分针夹角的度数。请问这个公式怎么得来？

钟面上分12大格60小格。每1大格均为360除以12等于30度。每过一分钟分针走6度，时针走0.5度，能追5.5度。公式可这样得来：X时时，夹角为30X度。Y分，也就是分针追了时针5.5Y度。可用：整点时的度数30X减去追了的度数5.5Y。如果减得的差是负数，则取绝对值，也就是直接把负号去掉，因为度数为非负数。因为时针与分针一般有两个夹角，一个小于180度，一个大于180度，(180度时只有一个夹角)因此公式可表示为：|30X-5.5Y|或360-|30X-5.5Y|度。||为绝对值符号。如1：40分，可代入得：30×1-5.5×40=-190则为190度，另一个小于180度的夹角为：170度。如：2：10，可代入得：60-55=5度。大于180度的角为：355度。如：11：20，330-110=220度，小于180的角：360-220=140度。

4.时钟现在表示的时间是18点整，那么分针旋转1990圈后是（ ）点钟？

解；分针走一圈，时针走一小时=分针走24圈，时针走24小时，即此时时间还是18点=1990/24=82余22=时间为18点再过22小时，即16点。

若选b的话，则可把16点理解为下午4点。

5.一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。如将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点整。则此时的标准时间是几点？

快钟和慢种之间除了一个是快1分钟/小时,一个是慢3分钟/小时.可以得到这样关系:快钟和慢种差比为1:3其他的条件就是他们都一起走没有别的不同步了,所以到了快种10点,慢钟9点时候,他们已经差了一个小时,其中按1:3来算快种快了15分,慢种慢了45分钟,由上面分析可以得到现在标准时间为:9:45。

奥数时钟问题—钟面追及

基本思路：封闭曲线上的追及问题。

关键问题：①确定分针与时针的初始位置；

②确定分针与时针的路程差；

基本方法：

①分格方法：

时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格。分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1／12分格。

②度数方法：

从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转360/60度，即6°，时针每分钟转

篇二：关于时针和分针数学问题

关于时针和分针数学问题

与时针和分针相关的数学问题，主要有时针和分针何时重合，何时成一条直线，何时垂直以及计算某一时刻两针夹角度数等，这些问题最终可归结为时针和分针的夹角问题。

一、基本事实

1、每小时：分针转360°，时针转360??30? 12

2、每分钟：分针转360?30??1??6?，时针转? ??? 6060?2?

3、 从0：0开始，时针与分针每经过360°/(6°-??°) = 65

周，两针共计重合11次； ?1??2?5 (分钟)重合一次；时钟旋转一11

81°) = 32 (分钟)，时针与分针处在一条直112

8线上。实际上，从任何一个时针与分针重合的时刻算起，32分钟后就是两针成一直线的时刻。 114、 从0：0开始，时针与分针每经过180°/(6°-

5、 从0：0开始，时针与分针每经过90°/(6°-411°) = 16 (分钟)，或270°/(6°-°) = 1122491(分钟)，时针与分针呈垂直。时钟旋转一周，两针相互垂直22次。 11

二、基本公式

1、假设经过M分钟：

分针转过的角度 = 6? ? M (1)

(2) 时针转过的角度 =??1????? ?2?

2、假设任意时间H：M时（H点M分），分针与时针夹角计算公式为：

???1?6??M - ?30??H + ?????? ?2???

??11????M???? - ?30??H ? ??2?? (3)

当 ??

??11????M?? - ?30??H ??0?时，分针在时针前； 2????

当 ????11????M?? - ?30??H ??0?时，分针在时针后；

??2??

3、假设分针落后时针的夹角为D°，则分针与时针再次重叠所需时间为：

?11?D?????2D????（分钟） ?2?

三、例题

例1：当4点36分时，时针与分针的夹角是多少度？

解：由公式(3)

?11???36? - ?30??4 ??78? ?2?

答：当4点36分时，时针与分针的夹角为???

例2：现在是6点整，问多少分钟后时针与分针第一次重合？

解：设分钟X后，时针与分针第一次重合，即时针与分针的夹角是0。

则：由公式（3）得：

?

解得: ?11??X? - ?30??6 ??0? ?2?

X = 32

答： 32

练习题 8 (分钟) 118分钟后，时针与分针第一次重合 11

1：现在是5点整，多少分钟以后，时针与分针在同一条直线上？

2：现在是7点整，多少分钟后，时针与分针成35的角？

3：在9点与10点之间的什么时刻，时针与分针在一条直线上？

三、解答题

1、钟表的时针、分针每分钟各转多少度角？每5分钟各转多少度角？

2、当时钟3时25分时，时针与分针的夹角的度数是多少？

3、当时钟表示1点45分时，时针和分针所成的钝角是多少度？

4、8点28分，时钟的分针与时针的夹角（小于180）是多少度？

5、从1点到1点25分，分针转了多少度角？时针转了多少度角？1点25分时针与分

针的夹角是多少度？

6、从8点到8点40分，分针转几度？时针转几度？8点40分时针与分针的夹角是多

少度？

7、一天小明于下午六点多钟外出时，看到钟上的时针与分针成90度夹角，等他下午7

点多钟回家时再看钟，发现时针与分针的夹角也是90度，问小明离家多久？

3．小明的妈妈在打扫房间时，不小心把一块如图所示的钟表（钟表盘上均匀分布着60条刻度线）

摔坏了．小明找到带有指针的一块残片，其上的时针和分针恰好分别指向两条相邻的刻度线．

（1）若这块残片所表示的时间是2点t分，求t的值；

（2）除了（1）中的答案，你知道这块残片所表示的时间还可以是0点~12点中的几点几分吗？

写出你的求解过程．

解：

篇三：时针分针重合问题的最简单解法

时针分针重合垂直问题 棠外 王继超

时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。 关于时钟的问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。

一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。1分钟时间，分针走1个小格，时针指走了1/60*5=1/12个小格，所以每分钟分针比时针多走11/12个小格，以此作为后续计算的基础，对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、快捷。 经典例题

例1

从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线？

5时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为25个小格（表面上每个数字之间为5个小格），如果要成直线，则分针要超过时针30个小格，所以在此时间段内，分针一共比时针多走了55个小格。由每分钟分针比时针都走11/12个小格可知，此段时间为55/（11/12）=60分钟，也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。 例2

从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？

6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/（11/12）=360/11分钟。

例3

在8时多少分，时针与分针垂直？

8时整时，分针指向正上方，时针指向左下方，两者之间间隔为40个小格。如果要两者垂直，有两种情况，一个是第一次垂直，此时两者间隔为15个小格（分针落后时针），也就是分针比时针多走了25个小格，此段时间为25/（11/12）=300/11分钟；另一次是第二次垂直，此时两者间隔仍为15个小格（但分针超过时针），也就是分针比时针多走了55个小格，此段时间为55/（11/12）=60分钟，时间变为9时，超过了题意的8时多少分要求，所以在8时300/11分时，分针与时针垂直。

由上面三个例题可以看出，求解此类问题（经过多少时间，分针与时间成多少夹角）时，采用上述方法是非常方便、简单、快捷的，解题过程形象易懂，结果正确率高，是一种非常好的方法。解决此类问题的一个关键点就是抓住分针比时针多走了多少个小格，而不论两者分别走了多少个小格。下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点。

例4 从9点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线？

9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要第一次成直线，也就是两者之间间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走15个小格，此段时间为15/（11/12）=180/11分钟。

例5一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟？

9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要分针追上时针，也就是两者之间间隔变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段时间为45/（11/12）=540/11分钟。

例6时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线？

时针和分针重合，也就是两者间隔为0个小格，如果要成一条直线，也就是两者间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/（11/12）=360/11分钟。

篇四：时钟在下午4点到5点之间

时钟在下午4点到5点之间，什么时候分针和时针（1）第一次重合（2）成一条直线（3）成45度角（4）何时垂直。 分析：此题目中已知条件很少，只有４点到５点之间这一条线索，仅根据现成条件分析是不够的，还必须寻找隐含条件，而这些条件又往往与某些专门问题相关，因此，需要综合运用各方面知识。

1、时针每小时走１÷12圈，每分钟走１÷12÷60圈，每圈360

。 度，所以时针每分钟走360×（１÷12÷60 ）=（1/2）

2、分针每分钟走1/60圈 是360×1/60=60

3、4点整时，时针走了4/12×3600=1200

设分针走了X分钟即4点X分时满足以下条件，另外都以12点为起点来考虑问题，再来解决原题问题：

（1）重合时，分针与起点的夹角和时针与起点的夹角相等，据此，可列方程为：6X=4×30+（1/2）x，解之得：X=240/11分（即21又9/11分），即在4点240/11分时分针和时针重合

（2）成一条直线时，即分针与时针的夹角为180度，即分针与起点的夹角减去180度为时针与起点的夹角，据此，可列方程为：6X-180=4×30+（1/2）x，解之得：X=600/11分（即54又6/11分），即在4点600/11分时分针和时针成一条直线

（3）成45度角，这里有两种情况：

①分针与起点的夹角加上45度为时针与起点的夹角，据此可列方程为：6X+45=4×30+（1/2）x，解之得：X=150/11分（即13又7/11分），即在4点150/11分时分针与时针成45度角

②分针与起点的夹角减去45度为时针与起点的夹角，据此，可列方程为：

6X-45=4×30+（1/2）x，解之得：X=30分，即在4点30分时分针与时针也成45度角.

（4）何时垂直

①6X+90=4×30+（1/2）x，解之得：X=60/11分，即在4点60/11分时分针与时针垂直.

②6X-90=4×30+（1/2）x，解之得：X=420/11分，即在4点420/11分时分针与时针垂直.

篇五：4求时针、分针形成的各种不同位置(重合、成直线、成直角等)所需的时间

求时针、分针形成的各种不同位置（重合、成直线、成直角等）所需的时间，主要依据行程问题中的“追及问题”的计算原理。因此，时钟问题又称钟面上的行程问题。

7点到8点之间.（1）何时时针与分针成直角？

在7点的时候，两针相距5×7=35（格）。分针在时针前面15格，或者在时针后面15格，两针都互相垂直。因此，本题有两个答案。

（1） 当分针走到时针前面15格时，两针互相垂直。所需的时间是

16

（5×7+15）÷（1-12）=5411（分）

（2） 当分针走到时针后面15格时，两针互相垂直。所需的时间是

19

（5×7-15）÷（1- 12 ）=2111（分）

69

答：在7点5411分和7点2111分时，两针互相垂直。

（2）何时时针与分针重合？

两针正好重合，那么从7点整到这一时刻分针要比时针多走35个格，因此这段时间为：

2 (分) 11 35÷(1－ )=38

因此时间为： 7点382分. 11

（3）何时时针与分针在一直线上？

分针与时针正好成一条直线，也就是分针与时针的夹角为180°，此时分针落后时针60× =30（个）格，而7点整时分针落后时针5×7＝35（个）格，因此在这段时间内分针要比时针多走5个格，由公式得：5÷（1－

）=5(分)

钟面上的夹角

“当时钟指示7时20分时，求时针和分针所成的角度。”这是我们在学习了角一节后经常遇到的一类题。如何解决此类问题呢？

我们可以把钟表的表面看作一个周角，则钟表上的每一大格对应300，故时针一分钟转300÷60=0.50；同理分针每5分钟转一大格，即分针一分钟转300÷5=60。所以时针a分钟转a× 0.50，分针a分钟转a×60。

我们考虑，若时钟指示为m点n分时，时针与分针的夹角问题。分为两类：

(1)时针在分针前，则夹角A=（60m+n）× 0.50－n×60；

例：7点20分时：夹角A=（60×7+20）× 0.50－20×60= 1000

(2)分针在时针前，则夹角A= n×60－（60m+n）× 0.50；

例：5点33分时：夹角A= 33×60－（60×5+33）× 0.50= 31.50

因为我们学习的角在00—1800之间，若结果大于1800，则夹

角为3600－A。（如1点50分时，时针与分针的夹角问题。）

反之，我们考虑已知夹角求时间的问题。

例：5点钟至6点钟，时针和分针在什么时候成一直角？

分析：设为5点a分，分为两种情况：

（1）时针在分针前，则夹角

900=（60×5+a）× 0.50－a×60；

则 a=1010分 11

（2）分针在时针前，则夹角900= a×60－（60×5+a）× 0.50；

则a= 437107分。因此，5点钟至6点钟，两针在5点10分或5点43分时成直角。 111111

同学们，你能完成以下练习吗：

(1)若时钟指示为2点25分、2点55分和5点5分时，时针与分针的夹角分别是多少？

(2)3点钟至4点钟，时针和分针在什么时候重叠？

(2)8点至9点分为两种情况：间，时针和分针在什么时候成一直线？

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