高二数学题巧解

篇一：高二数学习题(带详解)

1.（2014?江西二模）下列四个图中，哪个可能是函数y

＝（ ） A

．B

．C

．D

的图象

．

考点：函数的图象．

专题：函数的性质及应用． 分析：根据y

＝结合对称性特点判断． 解答：解：∵y

＝

的图象由奇函数y

＝左移一个单位而得，

是奇函数，向左平移一个单位得y

＝，

∴y

＝图象关于（-1，0）中心对称，故排除A、D，

当x＜-2时，y＜0恒成立，排除B． 故选：C

点评：本题考查函数的图象变换及函数性质．作为选择题用排除法，特殊值法比较容易．

2.如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，（λ∈R），则λ=（ ） 考点：向量在几何中的应用．

专题：计算题；平面向量及应用． 分析：先求

出

，可得

结合

（λ∈R），即可得出结论．

，由于

，

，

，利

用

，

设

，

解答：解：由已知得G是三角形的重心，因此因此设

那么可得

∵∴

（λ∈R）， ．

点评：本题考查向量在几何中的应用，考查平面向量基本定理，属于中档题．

3. 椭圆 （a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右

，则椭圆的离心率的取值范围为_________。

焦点，AF⊥BF，∠ABF=a，a∈考点：椭圆的简单性质． 专题：计算题；压轴题．

分析：设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出

即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．

解答：解：∵B和A关于原点对称 ∴B也在椭圆上 设左焦点为F′

根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a 又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …① O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c 又|AF|=2csinα …② |BF|=2ccosα …③ ②③代入①2csinα+2ccosα=2a ∴=

即e=∵a∈

=，

点评：本题主要考查了椭圆的性质．解题时要特别利用好椭圆的定义．

4. 函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D， 有f（x1* x2）=f（x1）+f（x2）． （1）求f（1）的值；

（2）判断f（x）的奇偶性并证明；

（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x﹣6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．

（1）解：令x1=x2=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0． （2）证明：令x1=x2=﹣1，有f[（﹣1）×（﹣1）]=f（﹣1）+f（﹣1）．解得f（﹣1）=0．

令x1=﹣1，x2=x，有f（﹣x）=f（﹣1）+f（x）， ∴f（﹣x）=f（x）． ∴f（x）为偶函数．

（3）解：f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（16×4）=f（16）+f（4）=3． ∴f（3x+1）+f（2x﹣6）≤3即f[（3x+1）（2x﹣6）]≤f（64）．（*） ∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，

∴（*）等价于不等式组或

或或

∴3＜x≤5或﹣≤x＜﹣或﹣＜x＜3．

∴x的取值范围为{x|﹣≤x＜﹣或﹣＜x＜3或3＜x≤5}．

篇二：高中数学活题巧解方法

数学具体解题方法

高中数学活题巧解方法

代入法 直接法 定义法 参数法 交轨法 几何法 弦中点轨迹求法 比较法 基本不等式 法 综合法 分析法 放缩法 反证法 换元法 构造法 数学归纳法 配方法 判别式法 序轴标根法 向量平行法 向量垂直法 同一法 累加法 累乘法 倒序相加法 分组法 公式法 错位相减法 裂项法 迭代法 角的变换法 公式的变形及逆用法 降幂法 升幂法 “1”的代换法 引入辅助角法 三角函数线法 构造对偶式法 构造三角形法 估算法 待定系数法 特殊优先法 先选后排法 捆绑法 插空法 间接法 筛选法（排除法） 数形结合法 特殊值法 回代法（验证法） 特殊图形法 分类法 运算转换法 结构转换法 割补转换法 导数法 象限分析法 补集法 距离法 变更主元法 差异分析法 反例法 阅读理解法 信息迁移法 类比联想法 抽象概括法 逻辑推理法 等价转化法 根的分布法 分离参数法 抽签法 随机数表法

一、代入法

若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)而运动，而Q点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式x0?f(x)，y0?g(x)，于是将这个Q点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得P点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。

【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线C：y?x与直线l：x?y?2?0交于两点A(xA,yA)和B(xB,yB)，且xA?xB，记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D.设点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合.若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；

2

【巧解】联立y?x与y?x?2得xA??1,xB?2，则AB中点Q(,)，

2

1522

15?s?t

设线段PQ 的中点M坐标为(x,y)，则x?， ,y?22

15

即s?2x?,t?2y?，又点P在曲线C上，

22512112

∴2y??(2x?)化简可得y?x?x?，又点P是L上的任一点，

228

115

且不与点A和点B重合，则?1?2x??2，即??x?，

24411152

∴中点M的轨迹方程为y?x?x?（??x?）.

844

【例2】（2008年，江西卷）设P(x0,y0) 在直线x?m(y??m,0?m?1)上，过点P作

1双曲线x2?y2?1的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点M(,0)。 过点A作直线

x?y?0的垂线，垂足为N，试求?AMN的重心G所在的曲线方程。

222【巧解】设A(x1,y1),B(x2,y2)，由已知得到y1y2?0，且x1（1）?y12?1，x2?y2?1，

垂线AN的方程为：y?y1??x?x1， 由?

?y?y1??x?x1x?y1x1?y1

,)，设重心G(x,y) 得垂足N(122x?y?0?

3?

9x?3y??11x1?y1?x1?x?(x??)?1???3m24

所以? 解得?

1??y?1(y?0?x1?y1)9y?3x?1

??y?32?

1??4

112

由x1?y12?1 可得(3x?3y?)(3x?3y?)?2

mm

122

)?y2?为重心G所在曲线方程 即(x?3m9

二、直接法

直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过

准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。从近几年全国各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用的是此法。但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进行分析、验证，或在选项中取值带入题设计算，验证、筛选而迅速确定答案。

x2y2

【例1】（2009年高考全国II卷）已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F，

ab

过F且斜率为的直线交C于A、B两点。若AF?4FB，则C的离心率为（ ）

（A）

6

5

（B）

7 5

（C）

8 5

（D）

9 5

【巧解】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，F(c,0)，由?4，得(c?x1,?y1)?4(x2?c,y2) ∴y1??4y2，设过F点斜率为3的直线方程为x?

y?c，

y?

x??cb22b2c?22

由?消去x得：(?a)y?y?b4?0， 32222223??bx?ay?ab?0

??6b2c6b2cy1?y2???3y2????2222??(b?3a)3(b?3a)化简得 ∴? ， 将 代入得y??4y?12

3b43b42??y1y2?2?4y2?2

2??b?3ab?3a2??

?2b2c?y2?4b4c23b4?(b2?3a2) ，∴

， ???422222

3b3(b?3a)4(b?3a)?y2??

2?4(b2?3a2)?

636222222222

化简得：16c?9(3a?b)?9(3a?c?a)，∴25c?36a，e?，即e?。

525

故本题选（A）

【例2】（2008年，四川卷）设定义在R上的函数f(x)满足f(x)?f(x?2)?13，若

f(1)?2，则f(99)?（ ）

（A）13

（B）2

（C）

13

2

（D）

2 13

【巧解】∵f(x?2)?

131313

??f(x) ，∴f(x?4)?

13f(x?2)f(x)

f(x)

∴函数f(x)为周期函数，且T?4，∴f(99)?f(4?24?3)?f(3)?故选（C）

1313

? f(1)2

三、定义法

所谓定义法，就是直接用数学定义解题。选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查，凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和第二定义解题，是一种重要的解题策略。

【例1】（2009年高考福建卷，理13）过抛物线y?2px(p?0)的焦点F作倾斜角为450

的直线交抛物线于A、B两点，线段AB的长为8，则p? ．

2

p?

p?y?x?

【巧解】依题意直线AB的方程为y?x?，由?2消去y得：

22

??y?2px

p2

x?3px??0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∴x1?x2?3p，根据抛物线的定义。

4

2

|BF|?x2?

pp

，|AF|?x1?，∴|AB|?x1?x2?p?4p?8，∴p?2， 22

5

，焦点在x轴上且长轴长为26. 13

故本题应填2。

【例2】（2008年，山东卷，理10）设椭圆C1的离心率为

若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ ）

x2y2

（A）2?2?1

43x2y2

（C）2?2?1

34

x2y2

（B）2?2?1

135x2y2

（D）2?2?1

1312

【巧解】由题意椭圆的半焦距为c?5，双曲线C2上的点P满足

||PF1|?|PF2||?8?|F1F2|, ∴点P的轨迹是双曲线，其中c?5，a?4，∴b?3，

x2y2

故双曲线方程为2?2?1，∴选（A）

43

四、向量坐标法

向量坐标法是一种重要的数学思想方法，通过坐标化，把长度之间的关系转化成坐标之间的关系，使问题易于解决，并从一定程度上揭示了问题的数学本质。在解题实践中若能做到多用、巧用和活用，则可源源不断地开发出自己的解题智慧，必能收到事半功倍的效果。 【例1】（2008年，广东卷）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的

中点，AE的延长线与CD交于点F. 若AC=a，BD=b，则AF=（ ）

11

a +b 24

【巧解】如图所示，选取边长为2的正方形ABCD

13

则B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，O(1,1)，E(,)，

22

A．

B．

C．

11a +b 4221

a +b

33

D．

12

a +b ?y?3x2

∴直线AE的方程为y?3x，联立?得F(,2)

3?y?2

2

3

∴AF?(,2)，设AF?xAC?yBD，则AF?x(2,2)?y(?2,2)?(2x?2y,2x?2y)

2?212121?2x?2y?

x?y?????，故本题选B ∴?解之得，，∴3

333333??2x?2y?2

【例2】已知点O为?ABC内一点，且OA?2OB?3OC?0，则?AOB、?AOC、?BOC

的面积之比等于 （ ） A．9：4：1 B．1：4：9 C．3：2：1 D．1：2：3 【巧解】不妨设?ABC为等腰三角形，?B?900

AB?BC?3，建立如图所示的直角坐标系，则点B(0,0)

A(0,3)，C(3,0)，设O(x,y)，

∵OA?2OB?3OC?0，即

(?x,3?y)?2(?x,?y)?3(3?x,?y)?(0,∴?

?6x?9解之得?6y?3

x?32，y?12，即O(32,1

2)，又直线AC的方程为x?y?3?0，则点

|

3?1

?3|

O到直线AC的距离h?22?12?2，∵|AC|?32，因此

S12|AB|?|x|?94，S12BC|?|y|?3

13?AOB?

?BOC?|4

，S?AOC?2|AC|?h?2，故选C

五、查字典法

查字典是大家比较熟悉的，我们用类似“查字典”的方法来解决数字排列问题中数字比

较大小的问题，避免了用分类讨论法时容易犯的重复和遗漏的错误，给人以“神来之法”的味道。利用“查字典法”解决数字比较大小的排列问题的思路是“按位逐步讨论法”（从最高位到个位），查首位时只考虑首位应满足题目条件的情况；查前“2”位时只考虑前“２”位中第“2”个数应满足条件的情况；依次逐步讨论，但解题中既要注意数字不能重复，又要有充分的理论准备，如奇、偶问题，3的倍数和5的倍数的特征，0的特性等等。以免考虑不全而出错。 【例1】（2007年，四川卷）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000

大的五位偶数共有（ ） （A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个

【巧解】本题只需查首位，可分3种情况，① 个位为0，即 ????0型，首位是2，3，4，

5中的任一个，此时个数为A1

3

4A4； ②个位为2，即????2， 此种情况考虑到万位上不为0，则万位上只能排3，4，5，所以个数为A1

3

3A4；③个位为4， ????4型，此种特点考虑到万位上不为0，则万位上只能排2，3，5，所以个数为A1

3A3

4；故共有

A131A34A4?2A34?240个。故选（B）

【例2】（2004年全国II卷）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ）

篇三：2014年高中数学解题思维一点通：-利用相关点法巧解对称问题

利用相关点法巧解对称问题

对称问题在高考试题中经常出现，常见的有中心和轴对称两种。尽管试题年年翻新，情境不断变化，甚至不落俗套，但经研究可以发现，其解法的普遍规律还是可以归纳总结的。笔者认为，图象对称的原始基础是图象上点与点之间的对称，因此，抓住对称点之间的数量关系及其内在联系，可将几何对称语言转化为代数坐标、方程语言。代数化地展开研究是解决对称问题的有效方法，亦简称相关点法。下面通过一些实例加以说明。

一. 函数中的对称问题

例1 （2001年高考）设y?f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x?1对称。证明y?f(x)是周期函数。

证明：设（x，y）为y?f(x)图象上任意一点，则其关于x?1的对称点可求得：(2?x,y)，于是根据函数关系有：y?f(x)?f(2?x)，又因为y?f(x)是定义在R上的偶函数，故有：f(x)?f(?x)，因此结合上式有：f(x)?f(?x)?f(2?x)，故由f(?x)?f(?x?2)知：y?f(x)是周期函数，T?2。

例2 （1997年高考文）设y?f(x)是定义在R上的函数，则函数y?f(x?1)与f?f(1?x)的图象关于（ ）

A. 直线y?0对称 B. 直线x?0对称

C. 直线y?1对称 D. 直线x?1对称

解：可设（x1，y）为y?f(x?1)上任意一点，则有y?f(x1?1)；

若（x2，y）为y?f(1?x)上一点，也有y?f(1?x2)，一般地，由

f(x1?1)?f(1?x2)可知：x1?1?1?x2，所以

y）关于直线x?1对称，故选（D）。 x1?x2?1，即（x1，y）与（x2，2

评注：例1是一个函数图象本身内在对称问题，例2是两个函数图象之间的对称问题，尽管问题情境不同，但解法有相通之处，均可抓住对称点（即相关点）加以讨论。

二. 三角函数中的对称问题

例3 （2003年高考江苏卷）已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,0????)是R上的偶函数，其图象关于点M(3???? ,0)对称，且在区间?0,?上是单调函数，求?和?的值。42??

解：由f(x)是偶函数，得f(?x)?f(x)

即sin(??x??)?sin(?x??)

所以?cos?sin?x?cos?sin?x

对任意x都成立，且??0，所以得

cos??0

依题设0????，所以解得???

2，这时f(x)?sin(?x??

2)

由y?f(x)的图象关于点M对称，可设P（x，y）是其图象上任意一点，P点关于M(3?3?,0)的对称点可求得为：(?x,?y) 42

即有y?f(x)??f(3?（*） ?x)，2

3??3??)，所以，sin??sin(??)?1 2222取x＝0，得f(0)??f(

所以sin(3????)??1 22

2(2k?1),k?1,2,3... 3所以??

当k?1时，??22????,f(x)?sin(x?)在?0,?上是减函数； 332?2?

当k?2时，??2,f(x)?sin(2x?????)在?0,?上是减函数； 2?2?

当k?2时，??10????,f(x)?sin(?x?)在?0,?上不是单调函数； 32?2?

所以，综合得??2或??2 3

评注：本题是三角函数中含有中心对称问题，抓住对称点之间的中心对称关系，利用中点坐标公式求出对称点（或称相关点），寻求两相关点（对称点）之间的函数等量关系（见*）是解决问题的关键。

三. 解析几何中的对称问题

例4 （1998年高考理）设曲线C的方程是y?x?x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1

（I）写出曲线C1的方程；

（II）证明曲线C与C1关于A(,

（I）解：曲线C1的方程为： 3ts)点对称； 22

y?(x?t)3?(x?t)?s

（II）证明：在曲线C上任取一点B1（x1，y1）。设B2（x2，y2）是B1关于点A的对称点，则有：

x1?x2ty1?y2s?,? 2222

所以x1?t?x2,y1?s?y2

代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：

s?y2?(t?x2)3?(t?x2)

即y2?(x2?t)?(x2?t)?s

可知点B2(x2,y2)在曲线C1上 3

反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上。因此，曲线C与C1关于点A对称。

(x?3)2(y?2)2

??1关于直线x?y?0例5 （1997年高考文）椭圆C与椭圆C194

对称，椭圆C的方程是（ ）

(x?2)2(y?3)2(x?2)2(y?3)2

A. ??1 B. ??1 4994

(x?2)2(y?3)2(x?2)2(y?3)2

C. ??1 D. ??1 9449

解：设（x，y）是椭圆C上任意一点，则其关于直线x?y?0的对称点可求得为(?y,?x)，该点在椭圆C1上，故其坐标适合椭圆C1的方程，将其代入有：(?y?3)2(?x?2)2

??1，化简后知选A。 94

从以上几个方面的研究可以发现，相关点法是解决数学对称问题的有效方法，因为它抓住了图象对称的基本元素（即图象上点与点之间的一一对应的对称关系）和核心，并且将几何问题代数化的基本数学思想得到很好地体现运用。此外，相关点法在解决几何中才被得以提出并加以运用于解决对称问题，这一点从例4，例5可以感觉到，实际上，函数及三角函数中的对称与解析几何中的对称是相通的，因此，相关点法完全可以加以推广，实行方法共享。

篇四：高二数学选择题解法附答案

数学选择题解题方法

近几年来高考数学试题中选择题稳定在12道题，分值60分，占总分的40%.高考选择题注重多个知识点的小型综合，渗逶各种数学思想和方法，体现以考查“三基”为重点的导向；使作为中低档题的选择题成为具备较佳区分度的基本题型.因此能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本策略是四个字——准确、迅速.

准确．．是解答选择题的先决条件.选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分.所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确. 迅速．．是赢得时间获取高分的必要条件.高考中考生不适应能力型的考试，致使“超时失分”（也叫“隐形失分”）是造成低分的一大因素.对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完. 选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面.

解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答.因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法.如特例法、筛选法、图解法等.

总之，解答选择题既要看到各类常规题的解题思想原则上都可以指导选择题的解答，但更应该充分挖掘题目的“个性”，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择.这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间.

解选择题常见的方法包括数形结合、特值代验、逻辑排除、逐一验证、等价转化、巧用定义、直觉判断、趋势判断、估计判断、退化判断、直接解答、现场操作，等等。考生应该有意识地积累一些经典题型，分门别类，经常玩味，以提高自己在这方面的能力。下面主要就间接法分别举例说明之，并配备足够的对应练习题，每题至少提供有一种解法。 一、数形结合

画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。

1、若P（2，-1）为圆(x?1)2?y2?25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）

A、x?y?3?0 B、2x?y?3?0 C、x?y?1?0 D、2x?y?5?0

2、

曲线y?1x???2,2?)与直线y?k(x?2)?4有两个公共点时，k的取值范围是（ ）

A、(0,

512) B、(14,13) C、(512,??) D、(5312,4

) 3、若圆x2?y2?4x?4y?10?0上至少有三个不同的点到直线l:ax?by?

0的距离为

l的倾斜角?的取值范围是（ ）

A、????12,??4?? B、???5?????????

?12,12?? C、??6,3?? D、??0,2??

二、特值代验

包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置和特殊图形，代入或者比照选项来确定答案。这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率很高的方法。

、双曲线方程为x2y2

4k?2?5?k

?1，则k的取值范围是（ ）

A、k?5 B、2?k?5 C、?2?k?2 D、?2?k?2或k?5 三、筛选判断

包括逐一验证法——将选项逐一代入条件中进行验证，或者逻辑排除法，即通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定。 5、对于抛物线y2?4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足PQ?a，则a的取值范围

是（ ）

A、???,0? B、(??,2] C、[0,2] D、(0,2)

四、巧用定义

定义是知识的生长点，因此回归定义是解决问题的一种重要策略。 6、点M为圆P内不同于圆心的定点，过点M作圆Q与圆P相切，则圆心Q的轨迹是（ ）A、圆 B、椭圆 C、圆或线段 D、线段

、设Fx2y2

71,F2是双曲线a2?b

2?1(a?0,b?0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，?????2若PF2

PF的最小值为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）

1

A、[2，3] B、（1，3] C、?3,??? D、?1,2?

8、已知P为抛物线y2?4x上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给定点A（4，

5），|PA|+d的最小值是（ ）

A、4 B

1 D

(来自:WWw.SmhaiDa.com 海达范文网:高二数学题巧解)

1

9、点P是以F1,F2为焦点的椭圆上的一点，过焦点F2作?F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹是（ ）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

S1,S2,S3分别表示三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ） A、S3?S1?S2 B、S2?S1?S3 C、S1?S2?S3 D、S2?S3?S1

八、直接解答

?????????????

10、设F为抛物线y?4x的焦点，A、B、C为该抛物线上的三点，若FA?FB?FC?0，

2

则???FA?????FB?????FC?

等于（ ）

A、9 B、6 C、4 D、3 五、直觉判断

数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式，逻辑思维严格遵守概念和逻辑规则，而直觉思维不受固定的逻辑规则约束，直接领悟事物本质，大大节约思考时间。逻辑思维在数学思维中始终占据着主导地位，而直觉思维又是思维中最活跃、最积极、最具有创造性的成分。两者具有辨证互补的关系。因此，作为选拔人才的高考命题人，很自然要考虑对直觉思维的考查。

11、过点A（1，-1）、B（-1，1）且圆心在直线x?y?2?0上的圆的方程是（ ）

A、(x?3)2?(y?1)2?4 B、(x?3)2?(y?1)2?4 C、(x?1)2?(y?1)2?4 D、(x?1)2?(y?1)2?4

六、趋势判断

趋势判断法，包括极限判断法，连同估值法，大致可以归于直觉判断法一类。具体来讲，顾名思义，趋势判断法的要义是根据变化趋势来发现结果，要求化静为动，在运动中寻找规律，因此是一种较高层次的思维方法。

12、双曲线x2?y2?1的左焦点为F，点P为左支下半支异于顶点的?a href="http://www.zw2.cn/zhuanti/guanyuwozuowen/" target="_blank" class="keylink">我庖坏悖蛑毕逷F的斜率的变化范围是（ ）

A、 (??,0) B、(??,?1)?(1,??) C、(??,0)?(1,??) D、(1,??)

七、估值判断

有些问题，属于比较大小或者确定位置的问题，我们只要对数值进行估算，或者对位置进行估计，就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。

13、甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中每人射箭20次，三人测试成绩如下表

并不是所有的选择题都要用间接法求解，一般来讲，高考卷的前5、6道选择题本身就属于容易题，用直接法求解往往更容易；另外，有些选择题也许没有间接解答的方法，你别无选择；或者虽然存在间接解法，但你一下子找不到，那么就必须果断地用直接解答的方法，以免欲速不达。当然要记得一个原则，用直接法也要尽可能的优化你的思路，力争小题不大作。

14、已知以F1(?

2,0),F1(2,0)为焦点的椭圆与直线x?4?0有且仅有一个交点，则

椭圆的长轴长为（ ）

A

、

、

、

、x215、设Fy2

1,F2是椭圆a2?b2?1(a?b?0)的两个焦点，以F1为圆心，且过椭圆中心的圆

与椭圆的一个交点为M，若直线F2M与圆F1相切，则该椭圆的离心率是（ ） A

、2 B

1 C

、

D

16、抛物线y??x2上的点到直线4x?3y?8?0的距离的最小值是（ ）

A、43 B、75 C、8

5

D、3

1、（提示：画出圆和过点P的直线，再看四条直线的斜率，即可知选2、（提示：

y?1?x???2,2?)即x2?(y?1)2?4

(?2?x?2,1?y?3)，它表示以（1，0）为圆心，2为半径

的上半圆，如图。直线y?k(x?2)?

43、或k???；当P在无穷远处时，PF的斜率k?1。选C。）

13、

（提示：固然可以用直接法算出答案来，标准答案正是这样做的，但是显然时间会花得多。你可以用估计法：他们的期望值相同，离开期望值比较近的数据越多，则方差——等价于标准差会越小！(x?2)2?(y?2)2?2的距离d应该满足0?d?l:ax?4、（提示：在选项中选一些特殊值例如k?6,05、（提示：用逻辑排除法。画出草图，知a＜0记点Q到准线的距离为d除A，选B。 6、（提示：设⊙P的半径为R，P、M∴由椭圆定义知圆心Q的轨迹是椭圆，选B）

???PF??2

2(2a?PF1)24a27、PF???PF1?1PF1PF1

PF2?4a时取等于号，又PF1?PF2?F1F28、（提示：d比P到准线的距离（即|PF|）少1∴|PA|+d的最小值为1，选D）

9、（提示：如图，易知PQ?PF2，M是F2Q∴OM是FQ1的中位线， ∴MO?

12FQ1?12(F1P?PQ)?1

2

(F1P?F2MO?定值（椭圆的长半轴长a），∴选A）

10、（提示：选B。由?F?A???F?B????FC??0????FA??x????x????A?1,FB?B?1,FC?xC?1，所以11、（提示：显然只有点（1，1）在直线x?y?212、（提示：进行极限分析，当P??时，PF的斜率

所以选B。这当然也可以看作是直觉法）

、设长轴长为2a，则椭圆方程为x2y2

14a2?a2?4

?1，与直线方程联立消去x得

(4a2?12)y2?a2?4)y?(16?a2)(a2?4)?0，由条件知??0，即

192(a2?4)2?16(a2?3)(16?a2)(a2?4)?0，得a?0（舍），a?2（舍），a?∴2a?，选C 。

15、（提示：用直接法。由已知可得MF1?c，

又MF1?MF2?2a，∴MF2?2a?c，又直线F2M 与圆F，∴MF2

1相切1?MF2，∴MF1?M22F?

1

F2c2?(2a?c2)?(2c，解得2

)e?

c

a

??1?，∵0?e?1，∴e1，选B）

16、（提示：设直线4x?3y?m?0与y??x2相切，则联立方程知3x2?4x?m?0，令??0，

有m?

4

3

，∴两平行线之间的距离d??

4

3

，选A）

篇五：高二数学题及详解

高 二 数 学 寒 假 作 业 07

x2y2

1．若双曲线1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2相切，则此双曲线的渐近

ab

线方程为 ( )

22

A．y2x B．y＝±2x C．y＝±x D. y＝±48

1

?(1?3a)n?10a,n?6

2．已知数列{an}满足an??n?7(n?N*)，若{an}是递减数列，则实数a

?a,n?6

的取值范围是( )

1?A.??31? 2D

【解析】因为{an}是递减数列，所以当n?6时，有0?a?1。当n?6时，1?3a?0，

即a?

3．如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a,b）在aOb平面上的区域为（注：下列各选项的区域均不含边界，也不含y轴）（ ）.

A B C D 3C

11?5

， C. ?1? B.??32??8?15 D. ??38

1515

。且a7?a6，即1?6(1?3a)?10a，解得a?。综上?a?，选D. 3838

4. 双曲线mx2?y2?1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 4. 5.已知a??x?1,2?,b??4,y?，若a?b，则9?3的最小值为x

y

5

6设数列?an?是公比为正数的等比数列，a1?2，a3?a2?12． （1）求数列?an?的通项公式；

（2）设数列?bn?是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an?bn}的前n项和Sn． 6.解：（1）设数列?an?的公比为q，由a1?2，a3?a2?12，

得2q?2q?12?0，即q?q?6?0．--------------------------------------------------------- 解得q?3或q??2，--------------------------------------------------------------------------- ∵q?0∴q??2不合舍去，∴an?2?3n?1；---------------------------------------------- （2）∵数列?bn?是首项b1?1,公差d?2的等差数列， ∴bn?2n?1，-------------------------------------------∴

2

2

Sn?(a1?a2?

?an)?(b1?b2?

2(3n?1)n(1?2n?1)n

??3?1?n2．------- ?bn)?

3?12

7如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1?AB?2. (Ⅰ)求直线AB1与平面AA1C1C所成角的正弦值；

(Ⅱ)在线段AA1上是否存在点D？使得二面角B1?DC?C1的大小为60°，若存在，求

出AD的长；若不存在，请说明理由.

7解：如图，以AC中点为原点建立空间直角坐标系，

可得A(1,0,0),BC(?1,0,0),A1(1,0,2),B1C1(?1,0，2).

AB1?n16

?，

AB1n14

（Ⅰ）所以AB1?(?1,3,2)，平面AA1C1C的一个法向量

n1所以cos?AB1,n1??

6

所以直线AB1与平面AA所成角的正弦值为.……… CC11

4

（Ⅱ）假设存在满足条件的点D，设AD=m(0?m?2)， 则D(1,0,m)，设平面B1DC的法向量n2?(x,y,z)，

因为CB1?(1,,2),CD?(2,0,m)，

??n2?CB1?0,

且? ??n2?CD?0,

x 4?m?x?3y?2z?0,

,?2) 所以? 所以平面B1DC的一个法向量n2?(m,

2x?mz?0,?

又因为平面C1DC的一个法向量n1?(0,10).

4?m

所以

n1?n2

?n1n2

(4?m)2

m??4

3

2

?

1, 2

33，因为0?m?2，此时AD?, 22

所以存在点D，使得二面角B1—DC—C1的大小为60°. …………………

解得m?

x2y28已知椭圆M：2?2?1(a?b?0)经过点(?1, ，(0,1).（Ⅰ）求椭圆M方程；

ab（Ⅱ）设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2，过点F2的直线交椭圆M于A, B两点，求

?ABF1面积的最大值.

x22

8解：（Ⅰ）由题意b?1，椭圆M的方程为2?y?1(a?1). ……………将点

a(?1,11)代入椭圆方程，得2??1，解得a2?2.

a2x2

?y2?1. … 所以 椭圆M的方程为2

（Ⅱ）

由题意可设直线AB的方程为：x?my?1.

由?

?x?my?1,

22

?x?2y?2

得(m2?2)y2?2my?1?0.

显然 ??4m2?4(m2?2)?0.

?2m?

y?y?,2??1m2?2

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则? …………因为 ?ABF1的

???y1?y2??1m2?2.

面积S?

1

2|F1F2|(|y1|?|y2|)，其中y1y2?0. 所以 S?1

2

|F1F2||y1?y2|.

2

又(y22

??2m???1?8m2?81?y2)?(y1?y2)?4y1y2???m2

?2???4??m2?2??

?(m2?2)2，

F1(?1,0),F2(1,0). ?S2?(y211?y2)?m2

?2?1(m?2)2]??1m2

?212

22

)?2?. 2当m?0时，上式中等号成立.

即当m?0时，?

ABF1

……

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