直线y,x,1与y,2x,a

篇一：如图,已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C,以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC.

初二数学题

(1)求点A、C的坐标

(2)将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；

(3)在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）y=-2x+4，代入y=0得x=2，∴A（2,0） 代入x=0得y=4，∴C（0,4）

（2）设D（2，y），根据折叠的性质可得CD=AD=y，BD=4-y，22+（4-y）2=y2，解得y=2.5 设直线CD的解析式为y=kx+4，代入x=2，y=2.5 得k=-0.75 ∴直线CD的解析式为y=-0.75x+4

（3）①点O符合要求，P1（0,0）

②点O关于AC的对称点也是符合要求的P点，有∠ACP=∠BAC=∠ACO，∴P可在直线CD上，设P（x，-0.75x+4），（x-2）2+（-0.75x+4）2=22 解得x=3.2 ∴P2（3.2,1.6） ③点B关于AC的对称点也是符合要求的P点，作PQ⊥y轴于点Q 根据对称性得CP=CB=2，PQ=BD=1.5，CQ=2.5，OQ=1.5 ∴Q（0,1.5），可求得直线AP的解析式为y=-0.75x+1.5，设P（2-4/3y，y），（4-y）2+（2-4/3y）2=22，y=2.4，P3（-1.2,2.4）

篇二：2015年四川省乐山市中考数学试题及解析

2015年四川省乐山市中考数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．

3．（3分）（2015?乐山）某班开展1分钟仰卧起坐比赛活动，5名同学的成绩如下（单位：

5．（3分）（2015?乐山）如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（ ）

7．（3分）（2015?乐山）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ） 2

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8．（3分）（2015?乐山）电影《刘三姐》中，秀才和刘三姐对歌的场面十分精彩．罗秀才唱到：“三百条狗交给你，一少三多四下分，

不要双数要单数，看你怎样分得均？”刘三姐示意舟妹来答，舟妹唱道：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条财主请来当奴才．”若用数学方法解决罗秀才提出的问题，设“一少”的狗有x条，“三多”的狗有y条，则解此问题所列关系式正确的是

9．（3分）（2015?乐山）已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，记m=|a﹣b+c|+|2a+b+c|，n=|a+b+c|+|2a

﹣b﹣c|．则下列选项正确的是（ ） 2

第2页（共30页）

10．（3分）（2015?乐山）如图，已知直线

y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（ ）

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．

11．（3分）（2015?湘潭）的倒数是

12．（3分）（2015?乐山）函数的自变量x的取值范围是

13．（3分）（2015?乐山）九年级1班9名学生参加学校的植树活动，活动结束后，统计每人植树的情况，植了2棵树的有5人，植了4棵树的有3人，植了5棵树的有1人，那么平均每人植树 棵．

14．（3分）（2015?乐山）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分

AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC= °．

15．（3分）（2015?乐山）如图，已知A（2，2）、B（2，1），将△AOB绕着点O逆时针旋转，使点A旋转到点A（﹣′2，2）的位置，则图中阴影部分的面积为 ．

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16．（3分）（2015?乐山）在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′

=，则称点Q为点P的“可控变点”．

例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．

（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为 ．

2（2）若点P在函数y=﹣x+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范

围是﹣16≤y′≤16，则实数a的取值范围是 ．

三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.

17．（9分）（2015?乐山）计算：|﹣|+

18．（9分）（2015?乐山）求不等式组

来．

19．（9分）（2015?乐山）化简求值：÷（﹣a），其中a=﹣2． 的解集，并把它们的解集在数轴上表示出﹣4cos45°+（﹣1）2015．

四、本大题共3小题，每小题10分，共30分．

20．（10分）（2015?乐山）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．

（1）求证：△DCE≌△BFE；

（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的长．

21．（10分）（2015?乐山）某班开展安全知识竞赛活动，班长将所有同学的成绩分成四类，

第4页（共30页）

（1）该班共有学生 人；表中a= ；

（2）将丁类的五名学生分别记为A、B、C、D、E，现从中随机挑选两名学生参加学校的决赛，请借助树状图、列表或其他方式求B一定能参加决赛的概率．

22．（10分）（2015?乐山）“六一”期间，小张购进

100只两种型号的文具进行销售，其进价（2）要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮小张设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．

五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.

23．

（10分）（2015?乐山）如图1，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=．

（1）求CD边的长；

（2）如图2，将直线CD边沿箭头方向平移，交DA于点P，交CB于点Q（点Q运动到点B停止）．设DP=x，四边形PQCD的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．

24．（10分）（2015?乐山）如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC．若△ABC的面积为2．

第5页（共30页）

篇三：高中数学人教版A选修2-1教学设计：章末质量评估(二)

章末质量评估(二)

(时间：100分钟 满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是 ( )．

A．(0，1) B．(1，0)

11C．(0， D．0) 1616

11解析 将抛物线方程变为x2＝2×y，知p＝，又焦点在y轴上，且开口向上，所以它 88

1的焦点坐标为(0，． 16

答案 C

x2y22．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为2516

( )．

A．2 B．3 C．5 D．7

解析 点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10，10－3＝7.选D.

答案 D

3．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 ( )．

A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0

C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0

解析 因为已知抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以所求圆的圆心为(1，0)，又圆过原点， 所以圆的半径r＝1，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，故选D. 答案 D

x2y24．以椭圆1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是 ( )． 169

x2y2＝1 1648

x2y2B.－1 927

x2y2y2x2C.1或1 1648927

D．以上都不对

解析 当顶点为(±4，0)时，a＝4，

x2y2c＝8，b＝43，－＝1； 1648

当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，

y2x2b＝3，－1. 927

答案 C

x2y215．已知椭圆与双曲线＝1有共同的焦点，且离心率为则椭圆的标准方程为 ( )． 32x2y2x2y2

＝1 B.＋1 20252520

x2y2x2y2

C.1 D.＋1 255525

x2y2

解析 双曲线－＝1中a12＝3，b12＝2，则c1a1＋b15，故焦点坐标为(5， 32

x2y2c10)，(5，0)，故所求椭圆＝1(a>b>0)的c＝5，又椭圆的离心率e＝＝，则a aba5

x2y2

＝5，a＝25，b＝a－c＝20，故椭圆的标准方程为＋1. 25202222

答案 B

x2y2

6．＝1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为 ( )． 4125

A．10 B．20 C．41 D．441

解析 |AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|B F2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a ＝41.

答案 D

x2y2

7．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 ( )． ab

3A．2 B. D. 2

x2y2b解析 双曲线－＝1的两条渐近线方程为y＝，依题意 ababbb2

·(－) ＝－1，故1， aaa

c2－a2

＝1即e2＝2，所以双曲线的离心率e＝2.故选C. a

答案 C

8．已知椭圆x2sin α－y2cos α＝1(0≤α<2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是 ( )．

π33A．，π) B．(，π) 444

ππ3C．π) D．(，π) 224

x2y2

解析 椭圆方程化为＋＝1. 11－sin αcos α

∵椭圆焦点在y轴上，∴－

又∵0≤α<2π，

π3π∴<α<. 24

答案 D

19．抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1·x2＝－，则m2

等于 ( )． 35 B．2 D．3 22

解析 依题意kAB＝y2－y1＝－1， x2－x111 cos αsin α

而y2－y1＝2(x22－x12)，得

x2＋x1y2＋y11x2＋x1＝－，且(，) 222

y2＋y1x2＋x1在直线y＝x＋m＋m， 22

y2＋y1＝x2＋x1＋2m，

∴2(x22＋x12)＝x2＋x1＋2m，

2[(x2＋x1)2－2x2x1]＝x2＋x1＋2m，

32m＝3，m＝. 2

答案 A

x2y2

10．已知双曲线－1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双ab曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为 ( )． x2y2x2y2－＝1 B.－1 5445

x2y2x2y2C.－＝1 D.－1 3663

解析 圆心的坐标是(3，0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，c＝3，根

3b3bx2222据已知得＝2，即＝2，解得b＝2，得a＝c－b＝5， 35a＋b

y2

－1. 4

答案 A

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．)

11．已知点(－2，3)与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离是5，则p＝________.

p解析 ∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标是(，0)，由两点间距离公式，得 2

（＋2）2＋（－3）2＝5.解得p＝4. 2

答案 4

12．若椭圆x2＋my2＝1的离心率为

解析 当0

m3________． 2

11m＝a2＝4，a＝2； 4m

x2y2

当m>1＝1，a＝1.应填1或2. 11

m

答案 1或2

x2y2x2y2

13．已知双曲线＝1(a>0，b>0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是ab169

椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．

解析 由题意知，椭圆的焦点坐标是7，0)，离心率是727故在双曲线中c7，e 44cx2y2222＝，故a＝2，b＝c－a＝3，因此所求双曲线的方程是1. a43

x2y2

答案 ＝1 43

14．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．

解析 由题意知PF2⊥F1F2，且△F1PF2为等腰直角三角形，

所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，

|PF1|2·2c，

从而2a＝|PF1|＋|PF2|＝2c(2＋1)，

2c1所以e＝＝2－1. 2a2＋1

答案 2－1

三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)

x2y215．(10分)双曲线C与椭圆＋1有相同的焦点，直线y＝3x为C的一条渐近线．求84

双曲线C的方程． x2y2

解 设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)． ab

x2y2

＝1，求得两焦点为(－2，0)，(2，0)， 84

∴对于双曲线C：c＝2.

又y3x为双曲线C的一条渐近线，

b∴3，解得a2＝1，b2＝3， a

y2

∴双曲线C的方程为x－＝1. 32

16．(10分)双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)、F2(0，5)，点P(3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．

y2x2

解 由共同的焦点F1(0，－5)、F2(0，5)＋＝1； aa－25

y2x2169双曲线方程为－＝1，a2＝40， 1，点P(3，4)在椭圆上，＋b25－baa－25

双曲线的过点P(3，4)的渐近线为

y＝bb2，即4＝3，b＝16. 25－b25－b

y2x2

所以椭圆方程为＝1； 4015y2x2

双曲线方程为＝1. 169

17．(10分)已知抛物线y2＝2x，直线l过点(0，2)与抛物线交于M，N两点，以线段MN的长为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程．

解 由题意知直线l的斜率存在，

设为k，则直线l的方程为y＝kx＋2(k≠0)，

篇四：(同步复习精讲辅导)北京市2014-2015学年高中数学 直线的综合问题课后练习二(含解析)新人教A版必修2

（同步复习精讲辅导）北京市2014-2015学年高中数学 直线的综合问

题课后练习二（含解析）新人教A版必修2

题1

一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)， 则其倾斜角为( )

A．α

B．180°－α

C．180°－α或90°－α

D．90°＋α或90°－α

题2

若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°. 其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)

题3

过点A(0,1)作一直线l，使它夹在直线l1：x－3y＋10＝0和l2：2x＋y－8＝0间的线段 被A点平分，试求直线l的方程．

题4

(1)求经过点(1,1)且与直线 y＝2x＋7平行的直线方程；

(2)求经过点(0,2)且与直线 y＝－3x－5平行的直线方程；

(3)求经过点(－1,1)且与直线 y＝－2x＋7垂直的直线方程；

(4)求经过点(0，?2)且与直线 y＝3x－5垂直的直线方程．

题5

直线7x＋3y－21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为( )

A．3 B．2

C．1 D．0

题6

x＋y－1≥0，??在平面直角坐标系中，若不等式组?x－1≤0，

??ax－y＋1≥0

面积等于2，则a的值为( )

A．－5 B．1

C．2 D．3

题7

(a为常数)所表示的平面区域的

已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(23＋1)．

(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角．

(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．

题8

若P(a，b)在直线x＋y＋1＝0上，求a＋b－2a－2b＋2的最小值．

题9

已知实数a，b满足a?b?1，求证：(a+2)2+(b+2)2≥25

2．

题10

已知直线 l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，

如图所示，求△ABO面积的最小值及此时直线 l 的方程.

题11

设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．

(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；

(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

题12

?x≥1

实数x、y满足不等式组??y≥0，则ω＝y－1x的取值范围是( )

??x－y≥0

A．[－1,0) B．(－∞，0)

C．[－1，＋∞) D．[－1,1)

课后练习详解

题1

答案：D

详解:如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.

题2

答案：①⑤

详解:两平行线间的距离d＝|3－1|2， 1＋1

又动直线m被l1与l2所截的线段长为2，则动直线m与两平行线的夹角为30°，所以直线m的倾斜角等于75°或15°.

题3

答案：x＋4y－4＝0.

详解:设直线l分别交l1、l2于点P(m，n)和Q(a，b)，

则由A为PQ的中点可得a＝－m，b＝2－n.即点Q坐标为(－m,2－n)．

又点P在l1上，则m－3n＋10＝0. ①

同理，点Q在l2上，则2m＋n＋6＝0. ②

??m＝－4，由①②可得???n＝2. ∴P(－4,2)． y－1x－0∴利用两点式可得＝. 2－1－4－0

∴直线方程为x＋4y－4＝0.

题4

答案：(1) 2x－y－1＝0;

(2) 3x＋y－2＝0;

(3) x－2y＋3＝0;

(4) x＋3y＋6＝0.

详解:(1)由y＝2x＋7得k1＝2，

由两条直线平行知k1＝k2＝2，

利用点斜式得所求直线方程为y－1＝2(x－1)，

即2x－y－1＝0.

(2)由y＝－3x－5得k1＝－3，

由两条直线平行知k1＝k2＝－3. 利用斜截式得所求直线方程为y＝－3x＋2，

即3x＋y－2＝0.

(3)由y＝－2x＋7得k1＝－2，

由两直线垂直知k1k2＝－1，

∴k12＝2.

∴利用点斜式得所求的直线方程为

y－1＝12x＋1)，即x－2y＋3＝0.

(4)由y＝3x－5得k1＝3，由两直线垂直知k1k2＝－1，

∴k123利用斜截式得所求直线方程为y13－2，即x＋3y＋6＝0.

题5

答案：B

详解:方法一：设满足条件的点的坐标为(a，b)．

由题意可知???7a＋3b－21＝0?|a|＝|b| ? ，

?a21解得??10

??b2110??a＝214或?， ??b214

故满足条件的点有两个.

方法二：到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x与y＝－x上，而直线7x＋3y－21＝0 与y＝x和y＝－x各有一个交点，故满足条件的点共两个．

题6

答案：D.

详解:由???y＝ax＋1，??x＝1 得A(1，a＋1)，

由???x＝1，??x＋y－1＝0 得B (1,0)，

由???y＝ax＋1，?x＋得C (0,1)． ?y－1＝0

∵△ABC的面积为2，且a>－1，

1∴S△ABC＝|a＋1|＝2，∴a＝3. 2

题7

答案：(1) kAB＝0, AB的倾斜角为0°;

kBC＝3, BC的倾斜角为60°;

kAC＝3, AC的倾斜角为30°; 3

33]． 3详解:(1)由斜率公式得 kAB＝3＋1－11-1＝0，kBC＝

3. 2－11-(-1)

3＝在区间[0°，180°)范围内． 3

kAC ∵tan0°＝0，∴AB的倾斜角为0°.

tan60°＝3，∴BC的倾斜角为60°.

tan30°＝3，∴AC的倾斜角为30°. 3

(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时， 直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，

所以k的取值范围为[

题8

3答案：2 2

详解a＋b－2a－2b＋2＝(a－1)＋(b－1)可看成是点P(a，b)与点(1,1)之间的距离． 又∵点P是直线x＋y＋1＝0上?a href="http://www.zw2.cn/zhuanti/guanyuwozuowen/" target="_blank" class="keylink">我坏悖?/p>

∴(a－1)＋(b－1)即是点(1,1)与直线x＋y＋1＝0上任一点之间的距离，

22222233]． 3

篇五：人教版A数学必修二综合测试题(含答案)[1]

数学必修二综合测试题（一）

一． 选择题

1.下列叙述中，正确的是（ ）

（A）因为P??,Q??，所以PQ??（B）因为P??，Q??，所以???=PQ （C）因为AB??，C?AB，D?AB，所以CD??

（D）因为AB??,AB??,所以A?(???)且B?(???) 2．已知直线l的方程为y?x?1，则该直线l的倾斜角为（ ）．

(A)30 (B)45 (C)60 (D)135 3.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4),

且AB?,则实数x的值是（ ）． (A)-3或4 (B)–6或2 (C)3或-4 (D)6或-2

4.长方体的三个面的面积分别是26，则长方体的体积是（ ）．

A．32

B．23

C．6

D．6

5.棱长为a的正方体内切一球，该球的表面积为 （ ） A、?a2 B、2?a2 C、3?a2 D、4?a2 6.若直线a与平面?不垂直，那么在平面?内与直线a垂直的直线（ ） （A）只有一条 （B）无数条 （C）是平面?内的所有直线 （D）不存在 7.已知直线l、m、n与平面?、?，给出下列四个命题： ①若m∥l ，n∥l ，则m∥n ②若m⊥? ，m∥?， 则? ⊥?

③若m∥? ，n∥? ，则m∥n ④若m⊥? ，? ⊥? ，则m∥? 或m ?? ? 其中假命题．．．

是（ ）． (A) ① (B) ② (C) ③ (D) ④

8.在同一直角坐标系中，表示直线y?ax与y?x?a正确的是（ ）．

x

O

x

x

x

9．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形， 俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积．．．为（ ）． (A)

?4 (B) 54?(C) ? (D) 3

2

? 10.直线x?2y?3?0与圆

(x?2)2?(y?3)2?9交于E、F两点，则?EOF（O是原点）的面积为（ ）．

33

65 A．25 B．4 C．2 D．5

11.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为450， 腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A． 2?2 B．

1?2

2

C．

2?2

2

D． 1?2 12.若直线y?kx?4?2k与曲线y?4?x2

有两个交点，则k的取值范围是（ ）．A．?1,???

B．

[?1,?334) C． (4,1]

D．(??,?1] 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．

13.如果对任何实数k，直线(3＋k)x＋(1-2k)y＋1＋5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是 ．

14.空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是 ．

- 1 -

①

②

22

15．已知圆O1:x2?y2?1与圆O2（:x－3）?（y＋4）?9，则圆O1与圆O2的位置关系

为 ．

16．如图①，一个圆锥形容器的高为a，内装一定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的

20.．（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点． （1）求证：EF∥平面CB1D1；

（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

高恰为

a

2

（如图②），则图①中的水面高度为 ．

三．解答题：

17．（本小题满分10分）

已知两圆x2?y2?10x?10y?0,x2?y2?6x?2y?40?0， 求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长。

18．（本小题满分10分）如图，已知正四棱锥V－ABCD中，

AC与BD交于点M，VM是棱锥的高，若AC?6cm

，

VC?5cm，求正四棱锥V-ABCD的体积．

19.已知点P(2，－1) (1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；

(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？

(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．

- 2 -

21..如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.

(1)求证：BE＝DE；

(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.

数学必修二综合测试题（一）参考答案

一.选择题 DBACA BDCCD AB

二.填空题 13. (?1,2) 14. 3?a2 15. 相离 16.

(1a

三.解答题

17. 解: 解：（1）x2

?y2

?10x?10y?0,①；x2

?y2

?6x?2y?40?0②；

②?①得：2x?y?5?0为公共弦所在直线的方程； （2

）弦长的一半为?

18. 解法1：

正四棱锥V-ABCD中，ABCD是正方形，

?MC?

12AC?12BD?1

2

?6?3(cm).

且S12AC?BD?1

ABCD??2?6?6?18(cm2).

VM是棱锥的高,

?Rt△VMC

中，

VM?4(cm).

?正四棱锥V－ABCD的体积为

13S?VM?13

?18?4?24(cm3ABCD).

解法2：

正四棱锥V-ABCD中，ABCD是正方形，

? MC?12AC?12BD?12?6?3(cm).

且AB?BC?

AC? .

?SABCD?AB2?2?18(cm2).

VM是棱锥的高,

?Rt△VMC

中，VM?4(cm).

?正四棱锥V-ABCD的体积为1S13ABCD?VM?3

?18?4?24(cm3).

19.解：(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，可见，过P(2，－1)且垂

直于x轴的直线满足条件．

此时l的斜率不存在，其方程为x＝2. 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)， 即kx－y－2k－1＝0.

由已知，得|－2k－1|k＋12，解得k＝3

4.

此时l的方程为3x－4y－10＝0.

综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.

(2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线， 由l⊥OP，得k1，所以k1

lkOP＝－l＝－kOP

＝2.

由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，

即2x－y－5＝0.

即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为|－5|

55.

(3)由(2)可知，过P5的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线．

20. （1）证明:连结BD.

在长方体AC1中，对角线BD//B1D1. 又 E、F为棱AD、AB的中点，

?EF//BD.

?EF//B1D1. 又B1D1∥平面CB1D1，EF?平面CB1D1，

? EF∥平面CB1D1.

（2）

在长方体AC1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1∥平面A1B1C1D1，

- 3 -

? AA1⊥B1D1.

在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，

? B1D1⊥平面CAA1C1.

又 B1D1∥平面CB1D1，

?平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

21..如图(a)，取BD的中点O，连接CO，EO.

又

由于CB＝CD，所以CO⊥BD，(2分) 又EC⊥BD，EC∩CO＝C， CO，EC?平面EOC， 所以BD⊥平面EOC，(4分) 因此BD⊥EO，又O为BD的中点， 所以BE＝DE.(6分)

(2)法一 如图(b)，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，

图(b)

因为M是AE的中点， 所以MN∥BE.

又MN?平面BEC，BE?平面BEC， ∴MN∥平面BEC.(8分) 又因为△ABD为正三角形， 所以∠BDN＝30°，

又CB＝CD，∠BCD＝120°， 因此∠CBD＝30°， 所以DN∥BC.(10分)

又DN?平面BEC，BC?平面BEC，所以DN∥平面BEC. 又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC， 又DM?平面DMN，所以DM∥平面BEC.(12分) 法二 如图(c)，延长AD，BC交于点F，连接EF

.

图(c)

因为CB＝CD，∠BCD＝120°， 所以∠CBD＝30°. 因为△ABD为正三角形， 所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°， 因此∠AFB＝30°， 所以AB＝1

2AF.(8分)

又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．连接DM，由点此DM∥EF.(10分)

又DM?平面BEC，EF?平面BEC， 所以DM∥平面BEC.(12分)

- 4 -

M是线段AE的中点，因

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