克莱因瓶模型

篇一：克莱因瓶

克莱因瓶

在数学中克莱因瓶是一个确定的非定向曲维流形），没有明显的“内部”和“外部”之的非定向曲面包括莫比乌斯带（M?bius strip）面。而莫比乌斯带是一个有边界的二维曲面，有边界。（相比之下，球体是一个没有边界的

1882年，德国数学家菲利克斯·克莱因（Felix 出克莱因瓶（Klein bottle）的概念。原名为Fl?che（克莱因表面）；不过，这是Kleinsche 因瓶）不正确的表达。

面，即表面（二分。其他相关和实射影平而克莱因瓶没定向曲面。） Klein）首次提Kleinsche Flasche（克莱

*

克莱因瓶的构造

如图所示，从一个正方形出发，粘合颜色相同的边，并使得箭头方向也匹配。更严格的说，克莱因瓶是单位正方形[0，1] × [0，1]按如下方式定义等价关系 (0，y) ～(1，y) ，0 ≤y≤ 1 和 (x，0) ～ (1-x，1) ， 0 ≤x≤ 1得到的商空间。

这个正方形是克莱因瓶的基本多边形。

红色箭头的一边相粘合的（左，右两侧）形成一个圆柱。为了让另外两条边按箭头匹配方式粘合，必须要从圆柱的一段穿过去。请注意，这将导致一个圆形的交线。这是克莱因瓶到3维空间的一个嵌入。

*

本文档由华南师范大学拓扑网页制作组根据维基百科Klein bottle翻译, 遵守GNU自由文档许可证.

如果空间从3维增加到4维，则前面的构造可以避免相交。这个构造帮助我们直观理解克莱因瓶的许多特性。例如，克莱因瓶没有边界和它是非定向的。

克莱因瓶的常见物理模型都是类似构建起来的。英馆展出的一系列人工吹制的克莱因玻璃瓶，还包括对这的许多变化。自从1995年,艾伦班尼特为博物馆制作了瓶。杜鹃的蛋的作者克利福德斯托尔，制造了一些克莱过互联网Acme Klein Bottle销售。

国科学博物个拓扑主题这些克莱因因瓶, 并通

克莱因瓶的性质

克莱因瓶可以按如下方式看作是纤维从：设全空间

E为单位正

方形，而底空间B是单位区间X，投射?:E?B,?(x,y)?x。因为单位区间X的两个端点视为是重合的，该底空间B实际上是圆环S1，所以克莱因瓶可以看作是一个圆上的"扭转"一1

和莫比乌斯带一样，克莱因瓶是非定向的。但是与之不同的是，克莱因瓶是一个闭合的曲面，也就是说它没有边界。莫比乌斯带可以嵌入到三维的欧几里德空间，而克莱因瓶不能, 但它能嵌入到四维空间。

克莱因瓶是可以通过把两个莫比乌斯带粘在一起构造，正如下面的佚名打油诗所述： 一个名叫克莱因的数学家

认为莫比乌斯带了不起. 他说：“如果你用胶水

把两个莫比乌斯带的边缘粘合起来， 你就会获得一个奇怪的克莱因瓶。”

克莱因瓶也可以由纵向对半折叠莫比乌斯带,并粘合边界得到。

六种颜色足以填充克莱因瓶表面的任何地图；这是希伍德猜想(推广的四色定理)的唯一例外情况。

克莱因瓶还可以看作一个球面加上两个交叉的帽子（Cross-cap）。

截面

沿其对称平面将截克莱因瓶成两个莫比乌斯带镜转的半捻（half-twist）是， 另一个是右转的半捻（参见右边的图行）。注意到，图形并不是真正的相交上，也可以把克莱因瓶也切成一个的莫比乌斯带。

像，即一个左（half-twist）在一起。事实

参数形式

“图8”克莱因瓶的嵌入（Klein bagel）有一个特别简单的参数表示。即莫比乌斯带旋转

180?嵌入。

还有一种更简单的参数表示：

其中

（0 ≤ u < 2π，0 ≤ v< 2π）

推广

一般的高亏格的克莱因瓶是由基本多边形给出的。

另一种推广的思路是构照三维流形，众所周知，一个实心的克莱因瓶是拓扑等价于

Mo?I，即与单位区间的。实心的克莱因瓶是实心环（D2?S1）的非

定向形式。

克莱因曲面

克莱因曲面是一个黎曼曲面，即有一个由复共轭组成其上的变换函数的图册（atlas）。你可以在这个空间上得到所谓的dianalytic结构。

参考文献

? ?

, at .

A classical on the theory of Klein surfaces is of Alling-Greenleaf

外部链接

? ?

?

篇二：克莱因瓶

克莱因瓶

在数学中克莱因瓶是一个确定的非定向曲维流形），没有明显的“内部”和“外部”之的非定向曲面包括莫比乌斯带（M?bius strip）面。而莫比乌斯带是一个有边界的二维曲面，有边界。（相比之下，球体是一个没有边界的

1882年，德国数学家菲利克斯·克莱因（Felix 出克莱因瓶（Klein bottle）的概念。原名为Fl?che（克莱因表面）；不过，这是Kleinsche 因瓶）不正确的表达。

面，即表面（二分。其他相关和实射影平而克莱因瓶没定向曲面。） Klein）首次提Kleinsche Flasche（克莱

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克莱因瓶的构造

如图所示，从一个正方形出发，粘合颜色相同的边，并使得箭头方向也匹配。更严格的说，克莱因瓶是单位正方形[0，1] × [0，1]按如下方式定义等价关系 (0，y) ～(1，y) ，0 ≤y≤ 1 和 (x，0) ～ (1-x，1) ， 0 ≤x≤ 1得到的商空间。

这个正方形是克莱因瓶的基本多边形。

红色箭头的一边相粘合的（左，右两侧）形成一个圆柱。为了让另外两条边按箭头匹配方式粘合，必须要从圆柱的一段穿过去。请注意，这将导致一个圆形的交线。这是克莱因瓶到3维空间的一个嵌入。

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本文档由华南师范大学拓扑网页制作组根据维基百科Klein bottle翻译, 遵守GNU自由文档许可证.

如果空间从3维增加到4维，则前面的构造可以避免相交。这个构造帮助我们直观理解克莱因瓶的许多特性。例如，克莱因瓶没有边界和它是非定向的。

克莱因瓶的常见物理模型都是类似构建起来的。英馆展出的一系列人工吹制的克莱因玻璃瓶，还包括对这的许多变化。自从1995年,艾伦班尼特为博物馆制作了瓶。杜鹃的蛋的作者克利福德斯托尔，制造了一些克莱过互联网Acme Klein Bottle销售。

国科学博物个拓扑主题这些克莱因因瓶, 并通

克莱因瓶的性质

克莱因瓶可以按如下方式看作是纤维从：设全空间

E为单位正

方形，而底空间B是单位区间X，投射?:E?B,?(x,y)?x。因为单位区间X的两个端点视为是重合的，该底空间B实际上是圆环S1，所以克莱因瓶可以看作是一个圆上的"扭转"一1

和莫比乌斯带一样，克莱因瓶是非定向的。但是与之不同的是，克莱因瓶是一个闭合的曲面，也就是说它没有边界。莫比乌斯带可以嵌入到三维的欧几里德空间，而克莱因瓶不能, 但它能嵌入到四维空间。

克莱因瓶是可以通过把两个莫比乌斯带粘在一起构造，正如下面的佚名打油诗所述： 一个名叫克莱因的数学家

认为莫比乌斯带了不起. 他说：“如果你用胶水

把两个莫比乌斯带的边缘粘合起来， 你就会获得一个奇怪的克莱因瓶。”

克莱因瓶也可以由纵向对半折叠莫比乌斯带,并粘合边界得到。

六种颜色足以填充克莱因瓶表面的任何地图；这是希伍德猜想(推广的四色定理)的唯一例外情况。

克莱因瓶还可以看作一个球面加上两个交叉的帽子（Cross-cap）。

截面

沿其对称平面将截克莱因瓶成两个莫比乌斯带镜转的半捻（half-twist）是， 另一个是右转的半捻（参见右边的图行）。注意到，图形并不是真正的相交上，也可以把克莱因瓶也切成一个的莫比乌斯带。

像，即一个左（half-twist）在一起。事实

参数形式

“图8”克莱因瓶的嵌入（Klein bagel）有一个特别简单的参数表示。即莫比乌斯带旋转

180?嵌入。

还有一种更简单的参数表示：

其中

（0 ≤ u < 2π，0 ≤ v< 2π）

推广

一般的高亏格的克莱因瓶是由基本多边形给出的。

另一种推广的思路是构照三维流形，众所周知，一个实心的克莱因瓶是拓扑等价于

Mo?I，即与单位区间的。实心的克莱因瓶是实心环（D2?S1）的非

定向形式。

克莱因曲面

克莱因曲面是一个黎曼曲面，即有一个由复共轭组成其上的变换函数的图册（atlas）。你可以在这个空间上得到所谓的dianalytic结构。

参考文献

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, at .

A classical on the theory of Klein surfaces is of Alling-Greenleaf

外部链接

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篇三：调研项目：克莱因瓶住宅 BY：MCR

克莱因瓶住宅 这个物体没有“边”，它的表面不会终结，它也不类似于气球。

克莱因瓶在三维空间中只能做出“浸入”模型（允许与自身相交）

(来自:WWw.SmhaiDa.com 海达范文网:克莱因瓶模型)

，比如：一个瓶子底部有一个洞，延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。和我们平时用来喝水的杯子不一样，

克莱因瓶（Klein Bottle）模型

这座由MCR设计的周末度假别墅位于铁树茂密的沙土高地上，毗邻Rye的海滨。建筑螺旋式的布局是对其所处的特殊地形空间上的反映，也是对海滨的暗示。当我们进入到建筑内部盘旋迂回时，房子便变成了数学上所说的 克莱因瓶（Klein Bottle） 。这个策略开启了一系列的空间关系。“瓶子”的概念构成线性的平面和墙面，这使得抽象的几何学成为住宅。一个戏剧性的楼梯缠绕着内部庭院，攀升后衔接着房子的卧室，行程结束在起居室。建筑的外表以混净土板为主，同时表现出折纸，帐篷等意象。建筑被支撑传统木桩基础之上，已达到其物理承受极限。

这是一个永远找不到边、表面永远不会终结的物体。这栋建筑物的设计灵感就来自于克莱因瓶，它看起来就好象是根本分不清楚哪里是内部，哪里是外部。它是一种钢架结构建筑，由水泥和金属材料等建成。

当初，设计师的想法就是能够在房子中央建造一个小型院子，以保证整栋房屋的通风效果。这栋“克莱因瓶”结构房屋实现了设计师的初衷。

篇四：克莱因瓶

克莱因瓶

异调

在1882年，著名数学家菲立克斯·克

莱因(Felix Klein)发现了后来以他的名字

命

名的著名“瓶子”。这是一个象球面那样

封闭的（也就是说没有边）曲面，但是它

却只有一个面。在图片上我们看到，克莱

因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶

底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了

瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如

果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈

相

连的话，我们就会得到一个轮胎面。

我们可以说一个球有两个面——外面和内面，如果一只蚂蚁在一 个球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一个洞，就无法爬到 内表面上去。轮胎面也是一样，有内外表面之分。但是克莱因瓶却不 同，我们很容易想象，一只爬在“瓶外”的蚂蚁，可以轻松地通过瓶 颈而爬到“瓶内”去——事实上克莱因瓶并无内外之分！在数学上， 我们称克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流型，而球面或轮胎面是 可定向的二维紧致流型。

菲立克斯·克莱因

如果我们观察克莱因瓶的图片，有一点似乎令人困惑——克莱因 瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某 些点占据了三维空间中的同一个位置。但是事实却非如此。事实是： 克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面，如果我们 一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，只好把 它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿 过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。这是怎么回事 呢？

我们用扭节来打比方。看底下这个图形，如果我们把它看作平面

上的曲线的话，那么它似乎自身相交，再一看似乎又断成了三截。但 其实很容易明白，这个图形其实是三维空间中的曲线，它并不和自己 相交，而且是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这 样，但是如果有第三维的话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。 只是因为我们要把它画在二维平面上时，只好将就一点，把它画成相 交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样，这是一个事实上处于四维空 间中的曲面。在我们这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠，也 不得不把它做成自身相交的模样；就好象最高明的画家，在纸上画扭 结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。题图就是一个用玻璃 吹制的克莱因瓶。

大家大概都知道莫比乌斯带。你可以把一条纸带的一段扭180度， 再和另一端粘起来来得到一条莫比乌斯带的模型。这也是一个只有一

莫比乌斯带

个面的曲面，但是和球面、轮胎面和克莱因瓶不同的是，它有边（注 意，它只有一条边）。如果我们把两条莫比乌斯带沿着它们唯一的边 粘合起来，你就得到了一个克莱因瓶（当然不要忘了，我们必须在四 维空间中才能真正有可能完成这个粘合，否则的话就不得不把纸撕破 一点）。同样地，如果把一个克莱因瓶适当地剪开来，我们就能得到 两条莫比乌斯带。

除了我们上面看到的克莱因瓶的模样，还有一种不太为人所知的 “８字形”克莱因瓶。它看起来和上面的曲面完全不同，但是在四维 空间中它们其实就是同一个曲面——克莱因瓶。

篇五：莫比乌斯带与克莱因瓶

莫比乌斯带与克莱因瓶

拓扑学专家创造出了许许多多迷人的物体．德国数学家莫比乌斯( Augustus Mobius，1790-1868)所创造的莫比乌斯带，便是其中之一．

上图所示的带子是由一张纸条的两端粘接而成．纸的一面成为带的内侧，而纸的另一面则成为带的外侧．如果一只蜘蛛想沿着纸带从外侧爬到内侧，那么它非得设法跨越带的边缘不可．

上面这张图所示的是莫比乌斯带，它也是由一张纸条两端粘接而成，不过，在粘接前扭转了一下．现在，所得的纸带已不再具有两面，它只有单面．设想一只蜘蛛开始沿着莫比乌斯带爬，那么它能够爬遍整条带子而无须跨越带的边缘．要证实这一点，只要拿一支铅笔，笔不离纸连续地画线．那么，你将会经过整条的带子，并返回你原先的起点．

莫比乌斯带的另一个有趣的性质，只要你沿着如下图所示的带子中央的虚线剪开便会发现．请你不妨试试，看看究竟会发生些什么！

莫比乌斯带作为汽车风扇或机械设计的传动带，在工业上有着特殊的重要性．它比传统的传动带，在磨损方面，表现得更加均匀．

克莱因瓶也像莫比乌斯带那样令人感兴趣．克莱因(FelixKlein，1849-1925)是一位德国数学家．他设计了一种拓扑模型．这种模型是一种只有单面的特别的瓶子．克莱因瓶只有外部而无内部．它穿过自己．如果往里头注水，那么水恰从同一个洞里溢出．

在莫比乌斯带和克莱因瓶之间有着密切的联系．如果把克莱因瓶沿着它纵长的方向切成两半，那么，它将形成两条莫比乌斯带！

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