三垂线定理及其逆定理

篇一：三垂线定理及其逆定理

三垂线定理及其逆定理

知识点：

1.三垂线定理；；

2.三垂线定理的逆定理； 3.综合应用； 教学过程：

1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直；

已知：PA,PO分别是平面?的垂线和斜线，AO是PO在平面?的射影,a??,a?AO。 求证：a?PO； 证明： 说明：

（1）线射垂直（平面问题）?线斜垂直（空间问题）；

（2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理；

（3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。 （4）直线a与PO可以相交，也可以异面。

（5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。 例1.已知P是平面ABC外一点，PA?ABC,AC?BC。 求证：PC?BC。 B

例2.已知PA?正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点。 求证：PO?BD,PC?BD。

三垂线定理和逆定理第 1 页 共 4 页

P

B

例4.在正方体AC1中，求证：A1C?B1D1,A1C?BC1；

2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性； 命题： 已知： 求证： 证明： 说明：

例2．在空间四边形ABCD中，设AB?CD,AC?BD。 求证：（1）AD?BC；

（2）点A在底面BCD上的射影是?BCD的垂心；

三垂线定理和逆定理第 2 页 共 4 页1

P

A

BD

C

例3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证：

说明：可以作为定理来用。 例5．已知：Rt?ABC中，?A?

?

2

,AB?3,AC?4，PA

是面ABC的斜线，?PAB??PAc?

?

3

。

(1)求PA与面ABC所成的角的大小;

(2)当PA的长度等于多少的时候，点P在平面ABC内的射影恰好落在边BC上；

三垂线定理和逆定理第 3 页 共 4 页

B

作业：

1.正方体ABCD?A1B1C1D1,E,F分别是A1A,AB上的点,EC1?EF. 求证: EF?EB1。

P

2.已知：PA?平面PBC，PB?PC,M是BC的中点。

求证：BC?AM；

3.填空并证明： A

（1）在四面体ABCD中，对棱互相垂直，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。

B

（2）在四面体ABCD中，AB、ＡＣ、ＡＤ互相垂直，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心

（3）在四面体ABCD中，AB=AC=AD，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。 （4）在四面体ABCD中，顶点A到BC、CD、DB的距离相等，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。

4.正方体ABCD?A1B1C1D1中棱长a，点P在AC上，Q在BC1上，AP＝BQ＝a， （1）求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值； （2）求证：PQ⊥AD．

5.在正方体ABCD?A1B1C1D1中，设E是棱AA1上的点，且A1E:EA?1:2，F是棱AB上的点，

?C1EF?

?

2

。求AF：FB。

6.点P是?ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC。若O和Q分别是ΔABC和ΔPBC的垂心，试证：OQ⊥平面PBC。

7.已知?EAF在平面?内，AT??,P??,?PAE??PAF，?EAT??FAT,PD??,D??。求证：D?AT；

三垂线定理和逆定理第 4 页 共 4 页

篇二：三垂线定理及其逆定理

三垂线定理及其逆定理

【学习内容分析】

“三垂线定理”是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。它是线面垂直性质的延伸。利用三垂线定理及其逆定理，可将空间两直线垂直与平面两直线垂直进行互相转化，具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。所以在立体几何中有核心定理的作用。

【课程目标】

一. 知识与技能目标

理解和掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明和应用。 二. 过程与方法目标

1通过对定理的学习，培养学生观察、猜想和论证数学问题的能力。

三．情感、态度和价值观目标

3、培养学生逻辑推理证明的能力和相互转化的思想。

【教学重点和难点】

一. 教学重点

定理的理解和运用

二．教学难点

如何在具体图形中找出适合三垂线定理（或逆定理）的直线和平面。

【教学方法】

以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，运用小组学习合作探究。

【教学过程】 一 复习引入：

1. 复习提问

1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念；

设计意图（因为平面的垂线、平面的斜线及射影是三垂线定理的基础，直线与平面垂直的判定与性质又是证明三垂线定理的基本方法，因此我用提问的形式让学生温故知新，作好新课的铺垫。）

2.有意设疑，引入新课。

平面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直。那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢？

学生思考后，我再引导学生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型（如图），使直尺与三角

板的斜边垂直，引导学生猜想发现规律。经过实验，发现直尺与三角板在平面内的直角边垂直时便与斜边垂直。

启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来，表达成数学命题：

平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直，那么就和平面的这条斜线垂直（板书）

设计意图（为了唤起学生学习的兴趣，把学生的注意力集中起来，调动学生的思维积极性，我通过提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，发现新的知识，培养学生的探索能力）

二、新课讲授：

由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。

PO⊥α，PA与α斜交于点A

，AO⊥a，问PA与a所成的角； 显然PO⊥α ?PO?a

a?? OA?a ?a?平面POA ? PO?OA=O PA?平面POA

即：PA与a所成的角为900

三垂线定理来源于“线面垂直”，抓住平面α的垂线PO， 才是抓住了定理的实质与关键，并启发学生猜想逆命题的真假，学生把握住了线面垂直这个本质很容易得出三垂线定理的逆定理。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它 设计意图（1证明命题。通过对猜想得到的命题的论证，加深学生对命题内容的认识，使学生的思维提高到演绎推理的水平上来。我通过启发学生进行思考讨论后再进行归纳小结，帮助学生理清证明的基本思路，培养学生相互转化的数学思想。2.利用命题变换，培养学生思维的灵活性，进一步深化对定理的学习和理解。3利用列表对比教学法，强化对三垂线定理及其逆定理内容的理解和记忆。） 剖析命题

（1）.三垂线定理及其逆定理的内容反映了“四线一面”的相互关系，平面内的直线与平面的斜线以及斜线在平面上的射影垂直等价，本质就是线面垂直的定义。 （2）.通过教具演示、图形分析、我再对灵活应用定理的程序进行总结： 一找垂面：即先确定平面及平面的垂线： 三定射影：由上面的垂足和斜足确定斜线的射影；

四证直线：即在平面内证明某一条直线与平面的斜线或斜线的射影垂直。（板书） 设计意图（为了加深对定理的理解，为灵活应用定理奠定基础，帮助学生化解难点，揭示定理的应用方法。）

三 讲解例题

例1.已知：点O是?ABC的垂心，PO?平面ABC，垂足为O，求证：PA?BC． 证明：∵点O是?ABC的垂心， ∴AD?BC

又∵PO?平面ABC，垂足为O，

A

OB

D

P

C

PA平面ABC?A

所以，由三垂线定理知，PA?BC．

例2.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这

已知：∠BAC在α内，P??，PE?AB于E，PF?AC于F且PE=PF，PO?? 求证：O在∠BAC的平分线上（即∠BAO=∠

证明：连接OE，OF ∵PO??

∴EO，FO分别为PE，PF在?上的射影 ∵PE=PF ∴OE=OF ∵PE?AB，PF?AC ∴OE?AB，OF?AC(三垂线定理的逆定理 ∴O到∠BAC两边距离相等 ∴O在∠BAC的平分线上 变式：

已知：

?BAC,?A

B

在平面

?

内，点

P

P??,P?E

P?,?FACE,PF,OO,PE?PF，，垂足分别为

求证：?BAO??CAO．

A

E

O

F

C

B

证明：∵PE?AB,PF?AC,PO??， ∴AB?OE,AC?OF（三垂线定理逆定理） ∵PE?PF,PA?PA，∴Rt?PAE?Rt?AOF， ∴AE?AF，又∵AO?AO，∴Rt?AOE?Rt?AOF ∴?BAO??CAO．

?

推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那么

例3.在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，H是△ABC的垂心 求证:(1)PH?底面ABC (2)△ABC是锐角三角形.

证明: (1)略

(2)设AH与直线BC的交点为E，连接PE由(1)知PH?底面ABC ∴AE为PE在平面ABC的射影， 由三垂线定理：PE?BC

∵PB?PC即△BPC是直角三角形，BC为斜边 ∴E在BC边上 由于AE?BC，故B∠C都是锐角 同理可证：∠A也是锐角 ∴△ABC为锐角三角形

设计意图（为了培养学生灵活应用定理的能力，帮助学生掌握重点，化解难点，我精选了三条有层次的、由易到难的例题，通过引导学生观察，分析后，我用设问的方法，深入浅出地引导学生寻找证题的基本思路，确定适应定理的“四线一面”，然后，由学生板书解答后，我再较正学生的证明过程，进一步培养学生的书面语言表达能力和逻辑推理能力。）

四 小结：

知识：三垂线定理以及逆定理

问题：平面中斜线和射影的垂直问题 方法：空间垂直与平面垂直互相转化 思想：转化思想

五 作业：

1.边长为a的正六边形ABCDEF在平面?内，PA⊥?，PA=a，则P到CD的距离为 P 到BC的距离为 .

2.AC是平面?的斜线，且AO=a，AO与?成60o角，OC??，AA＇⊥?于A＇，∠A?OC=45o， 则A到直线OC的距离是 ，∠AOC的余弦值是 .

2a,

答案：1.

2

aa,2; 2.44

3.如图，已知ABCD是矩形，AB=a，AD= b，PA?平面ABCD，PA=2c，Q是PA的中点．

求（1）Q到BD的距离；（2）P到平面BQD的距离．

A D

B C

六 板书设计：

七 教学后记

本节课采用教师为主导学生为主体的启发式教学方式，学生反映较好，定理记得牢，理解深刻，应用灵活，不仅让学生学习了新的知识，而且培养了能力。从学生的课后作业看，书写规范，推理正确，取得较好的教学效果，圆满完成本节课的教学任务。

篇三：三垂线定理及其逆定理

三垂线定理及其逆定理

知识点：

1.三垂线定理；；

2.三垂线定理的逆定理； 3.综合应用； 教学过程：

1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直；

已知：PA,PO分别是平面?的垂线和斜线，AO是PO在平面?的射影,a??,a?AO。 求证：a?PO； 证明： 说明：

（1）线射垂直（平面问题）?线斜垂直（空间问题）；

（2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理；

（3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。 （4）直线a与PO可以相交，也可以异面。

（5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。 例1.已知P是平面ABC外一点，PA?ABC,AC?BC。 求证：PC?BC。 B

例2.已知PA?正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点。 求证：PO?BD,PC?BD。

P

B

例4.在正方体AC1中，求证：AC1?B1D1,AC1

?BC1；

2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性； 命题： 已知： 求证： 证明： 说明：

例2．在空间四边形ABCD中，设AB?CD,AC?BD。 求证：（1）AD?BC；

（2）点A在底面BCD上的射影是?BCD的垂心；

1

AC

P

A

BD

C

例3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证：

说明：可以作为定理来用。

??

例5．已知：Rt?ABC中，?A?,AB?3,AC?4，PA是面ABC的斜线，?PAB??PAc?。

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(1)求PA与面ABC所成的角的大小;

(2)当PA的长度等于多少的时候，点P在平面ABC内的射影恰好落在边BC上；

B

作业：

1.正方体ABCD?A1B1C1D1,E,F分别是A1A,AB上的点,EC1?EF. 求证: EF?EB1。

2.已知：PA?平面PBC，PB?PC,M是BC的中点。

求证：BC?AM；

3.填空并证明： A

（1）在四面体ABCD中，对棱互相垂直，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。

B

（2）在四面体ABCD中，AB、ＡＣ、ＡＤ互相垂直，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心

（3）在四面体ABCD中，AB=AC=AD，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。 （4）在四面体ABCD中，顶点A到BC、CD、DB的距离相等，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的 心。

4.正方体ABCD?A1B1C1D1中棱长a，点P在AC上，Q在BC1上，AP＝BQ＝a， （1）求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值； （2）求证：PQ⊥AD．

5.在正方体ABCD?A1B1C1D1中，设E是棱AA1上的点，且AE1:EA?1:2，F是棱AB上的点，

?C1EF?

?

2

。求AF：FB。

6.点P是?ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC。若O和Q分别是ΔABC和ΔPBC的垂心，试证：OQ⊥平面PBC。

7.已知?EAF在平面?内，AT??,P??,?PAE??PAF，?EAT??FAT,PD??,D??。求证：D?AT；

篇四：三垂线定理及其逆定理

篇五：三垂线定理及其逆定理 导学案

学习目标

1、通过导学了解三垂线定理及其逆定理的内容；

2、自己试着用线面垂直的判定和性质定理证明三垂线定理及其逆定理； 3、培养自己独立思考和组织立体几何证明步骤的能力； 教学重点

记忆三垂线定理及其逆定理的内容。 教学难点

用线面垂直的判定和性质证明三垂线定理及其逆定理。

一、【预习提示】

仔细根据本导学案进行逐层导学，并探究下列问题（15分钟）

（自学引导：通过分析探讨,了解直线与直线垂直的一种新颖的判定方法；通过探究，直

观感知，操作确认，归纳出直线与直线垂直的判定方法——三垂线定理及其逆定理） （一）、温故知新

1、直线与平面垂直的定义：

2、直线与平面垂直的判定定理：

3、平面的斜线、斜线在平面上的射影的概念：

（二）、定理的自主探索

根据直线与平面垂直的定义我们知道，平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直，那么，

平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直呢？ 为什么？

（三）、新授：三垂线定理及其逆定理证明

1、三垂线定理证明（利用线面垂直的判定定理）

内容:平面内一条直线与该平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则平面的这条直线与平面的斜线也垂直。

符号表述：

证明:

2、三垂线定理逆定理证明（利用线面垂直的判定定理）

内容：平面内的一条直线与该平面的一条斜线垂直，则平面内的这条直线一定垂直与该斜线在平面内的射影。 符号表述：

证明：

定理总结： 定理：

逆定理：

二．【课堂展示】

【例1】如图，V-ABC为空间四边形（四个顶点不在同一平面上），VA、BC为两条对角线，

设VA与?ABC所在平面垂直。证明：VD是?VBC边BC上的高?AD是?ABC边BC上的高。

【例2】如图1-91，点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC．

A

B

三．【反馈练习】

如图正方体ABCD—A1B1C1D1中，连接BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1?平面AB1C.

四．【课堂小结】

1、本节我们学习的内容是？

2、本节学习的两个定理证明方法是？

五．【课堂作业】

如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。

体裁作文