直线上两点距离公式

篇一：平面上两点间的距离和点到直线的距离公式

平面上两点间的距离和点到直线的距离公式

江苏省沛县第二中学数学组 张驰 221600

1.平面上两点间的距离公式

⑴设P1(x1，y1)，P2(x2，

y2)，则P1P2?。 特别地，

当P1P2⊥x

轴时，P1P2???|y2?y1|； 当P1P2⊥y

轴时，P1P2???|x2?x1|。 ⑵设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线y?kx?b上时，

则P1P2或

P1P2

??

??

x2?

x1|?

，

y2?

y1|?点评：求距离（长度）和参数的值等。

2.线段的中点坐标公式

x1?x2?x??2

P2(x2，y2)，⑴设P1(x1，y1)，线段P1P2的中点M(x，y)，则??

?y?y1?y2??2

。

⑵设?ABC的顶点坐标为A

x1?x2?x3?

x???3

G(x，y)，则?

?y?y1?y2?y3?3?

(x1，y1)

，B

(x2，y2)

，C

(x3，y3)

，重心

。

点评：利用线段的中点坐标公式可研究图形的轴对称和中心对称

（a，b）以及三角形等问题。如：曲线f(x，y)?0关于点中心对称的曲线（0，0）中心对称的曲线方程是f(2a?x，2b?y)?0；曲线f(x，y)?0关于点

方程是f(?x，?y)?0；曲线f(x，y)?0关于y轴对称的曲线方程是

曲线f(x，y)?0关于x轴对称的曲线方程是f(x， f(?x，y)?0；?y)?0等。

3.点到直线的距离

⑴点P(x0，y0)到直线Ax?by?c?0(A2?B2?0)的距离是

d?

|Ax?By?c|

；

⑵点P

(x0，y0)到直线y?kx?

b的距离是d?

。

到

点评：点P

(x0，y0)到直线x?a的距离是d?|x0?a|；点P(x0，y0)

直线的y?b距离是d?|y0?b|；特别地，点P(x0，y0)到直线x?0（y轴）距离是d?|x0|；点P(x0，y0)到直线y?0（x轴）距离是d?|y0|。，

4.两条平行线之间的距离 ⑴设A2?B2?0，c1?c2，则直线Ax?by?c1?0与直线Ax?by?c2?0之

间的距离是d

⑵直线

(b1?b2)。

?

y?kx?

直线

y?kx?

b之间的距离

是d?2

|b?b|b与1

，

点评：利用点到直线的距离可研究三角形、直线和圆等有关问题

篇二：直线方程与距离公式

学科:数学 任课教师： 汤老师 授课时间：2012 年 11月10、、、、、、、、日(星期 ) 16:00---18:00

1

2

3

4

5

篇三：两点间的距离公式

两点间的距离公式

一、教学目标：

1、 知识目标

探索并掌握两点间的距离公式的发生、发展过程。利用坐标法证明简单的平面几何问题；

2、 能力目标

掌握渗透于本节课中的数形结合思想、由特殊到一般的思想。培养学生探索能力、研究能力、表达能力、团结协作能力；

3、 情感目标

探索过程中体验与他人合作的重要性、感受发现所带来的快乐。体验由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识的基本规律。

二、教学重点和难点：

重点：两点间的距离公式及公式的推导过程；

难点：用坐标法证明简单的平面几何问题，本节课中的例4是教学中的难点。

三、教学方法：提问、思考、讨论、总结；

四、教学流程：

（一）提出问题，引入新课 (3分钟)

问题1：已知数轴上两点A（—2，0），B（3，0）的坐标，求AB间的距离。 （学生先思考片刻，叫一学生回答，老师按学生的思路板书分析，得出答案是5。） 问题2：若A，B两点在X轴上或与X轴平行，A?x1,0?,B?x2,0?，距离又是多少呢（学生受上题的引导，会在草稿纸上画图分析，思考片刻后，请一同学回答|AB|=x1?x2） 问题3：若A，B两点在Y轴上或与Y轴平行，A?y1,0?,B?y2,0?，距离又是多少呢？（全班同学齐答|AB|=y1?y2）

师总结：对上述问题的分析，我们不难得出与坐标轴平行的线段的长度都可以通过点的坐标求出来，若有向线段与坐标轴不平行时，能否通过端点的坐标求出线段的长即两端点间的距离呢？本节课我们就一起来探讨这个问题。

(教师板书课题《两点间的距离公式》)

（二）设置问题，合作探究 （7分钟）

已知：平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，怎样求两点PP12间的距离？

老师在直角坐标系上画出两点（与坐标轴不平行），如图所示；引导学生能否借助PP12点，作出与坐标轴平行的线段，利用勾股定理即可求出线段的长．具体解法如下：如图所示，设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，从P1、P2分别向x轴和y轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、P2N2，垂足分别为M1(x1，0)、N1(0，y1)、M2(x2，0)、N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2相交于点Q．

在Rt△PPQ中，PP1212

∵PQ?M1M2=x1?x2．∴|PQ11|=|x1?x2|．

∴PQ=N1N2=y1?y2．∴|PQ|= y1?y2． 22

∴PP12=x1?x2+ y1?y2=?x1?x2?+?y1?y2?．

222222?PQ?P2Q． 122

老师总结：以上解法是利用勾股定理将直角坐标系中两点间的距离化为数轴上两点间的距离来求，这里用到了化归的方法．在上述过程中，我们强调点不在坐标轴上或两点的连线不与坐标轴平行，那么当点满足上述条件时，这个公式是否也成立？老师提出问题，学生可以分组讨论，最后叫学生代表得出结论，以上公式也适合。

特别的，原点O（0，0）与任一点P（x，y

问题4：同学们是否可以用其他的方法来探求这个问题？（稍侯，引导学生主动发言） 学生对旧知识的回顾可以用向量的模长来表示两点间的距离公式；培养学生善于联想，新旧知识间的内在联系，激发学习的兴趣。

（三）例题训练，熟悉公式

师：请同学们把课本翻到106页，完成第一题；请两个学生黑板上演板。老师结合学生练习情况作点评。（3分钟）

例3：以知点A（-1，2），B（2

），在x轴上求一点，使 PA?PB,并求PA的值。（12分钟）

分析：P点坐标是关键，如何设该点坐标?(适当发散，y轴上点，某直线上的点如何表示)

解：设所求点P（x，0），于是有

?

22由 P?P得 x?2x?5?x?4x?11解得 x=1。

所以，所求点P（1，0）且

PA?

对两点间距离公式理解，应用。

问题5：同学们，以上这种解法是利用刚才所学的两点间距离公式来解决的，我们能否用其他的解法？（学生思考，讨论，教师巡视，叫一学生板书）

解法二：由已知得，

线段AB的中点为Ｍ?

? 通过例题，使学生?1，直线AB的斜率

为

?2??

３1??

?ｘ－?３2??

线段AB的垂直平分线的方程是

３1???ｘ－? 2??

在上述式子中，令y=0，解得x=1。 所以所求点P的坐标为（1，

0）。因此

老师对这位同学的解法作讲解，突出本题可运用平面几何的一个性质定理，线段中垂线上的点到两短点的距离相等。

问题6：试在X轴上求一点M使MA?MB的距离最短，求出

M点坐标。

（学生先独立思考后可讨论，并请一学生代表发言）得出解题思路：作B点关于X轴的对称点C(2,，连接AC，即AC两点间的距离为所求的最小值，AB直线与X轴的交点为所求的M点。

（四）巩固反思，灵活应用 （用两点间距离公式来证明几何问题。）

例4： 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。（15分钟）

分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。

这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤，适时渗透文字语言，图形语言，符号语言的转化。 证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０），设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），（为什么？）又因为

AB?a2CD?a2AD?b2?c2?BC，

２２，＝?ｂ－ａ?＋ｃAC??a?b?＋ｃ， 22222２２所以，?

２＝２ａ＋ｂ＋ｃ?２２２?.

所以，.

因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

问题7：在例4中，是否还有其他建立坐标系的方法？

（把学生不同的方法在投影仪上放映）让学生体会建立坐标系对证明平面几何问题的重要性，不同的建系，点坐标不同，起实质是一样的。（3分钟）

老师总结：通过例4初步总结用坐标法解决平面几何问题的基本步骤

第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；

第二步：进行有关代数运算；

第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系；

五、归纳小结：（2分钟）

1、 探究两点间的距离公式的推导过程及公式的应用。

2、 用坐标法证明平面几何问题初步。

六、作业布置：课本第110页第6，7，8题（A组），第117页第8题（B组）

七、教学反思，板书设计：

篇四：两点间的距离公式

课题：19.10 两点的距离公式

一、教学目标

1、 了解两点的距离公式的推导过程，感受坐标平面上的两点的距离公式的导出是对同一坐

标轴上的两点（或平行于同一坐标轴的直线两点）的距离公式的拓展。

2、 理解并初步掌握两点的距离，知道两点的距离公式是利用勾股定理进行数量化研究的体

现。

3、 会用两点的距离公式解决一些坐标平面内基本的简单问题；

二、教学重点、难点

重点：正确运用两点的距离公式。

难点：运用两点的距离公式解决简单的问题。 三、教材分析

七年级第二学期平面直角坐标系内在坐标轴上（或平行于坐标轴）的两点之间的距离，

计算两点之间的距离属于比较特殊的点，本节课借助于前一节课学习的“勾股定理”可以解决在平面直角坐标系内任意两点间的距离，是对前面知识的补充，更为以后的数学学习奠定基础。

四、学情分析

学生在七年级的学习中已经能够掌握点的坐标表示，可以简单计算在坐标轴上（或平行于坐标轴）的两点之间的距离。学生们学习了19.9“勾股定理及逆定理”之后，在学习本节课时能运用“勾股定理”在平面直角坐标系中构造直角三角形引出“两点间的距离”公式，为本节课新知识点的生长点提供了理论基础。在具体解题中培养“数形结合”的习惯，结合线段垂直平分线定理和勾股定理进行解题，对学生来讲有一定难度。

五、教学过程

例题一、

例题二、

学生作业板演

AB?

篇五：两直线的交点坐标及两点之间的距离公式

两直线的交点坐标及两点之间的

距离公式

例1．判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标.

(转 载 于:wWW.smHAida.cOM 海达范文网:直线上两点距离公式)

例2、已知直线满足下列两个条件： (1)过直线y=-x+1和y=2x+4的交点; (2)与直线x-3y+2=0 垂直，求直线的方程.

例3．在直线2x-y=0 上求一点P ，使它到点 M(5，8) 的距离为５，并求直线PM 的方程

例4、已知点A(2，0)，B(0，2)，试在线段AB上求一点P，使得|OP| 最小，并求出这个最小值.

相关作业

1、（2011江苏如皋）经过点，且与

直线垂直的直线方程为

2．过点(?2,?1)作与直线3x?2y?5?0垂直的直线，则垂足坐标为

3．直线3x?2y?2k?1与直线

2x?y?3k的交点在第一象限内时，k的

取值范围为

4、已知直线l:y?2x?3和点A(3,4)，

B(11,0)，在直线l上求一点P，使它到

A,B两点的距离之差最大.

5、A(x,0)和 B(2,3)的距离为32,求x的值。

6、若过点B(0,2)的直线交x轴于点A点，且|AB|?4，则直线AB的方程 7、若直线l在y轴上的截距为－2，l上横坐标分别是3，－4的两点的线段长为14，则直线l的方程

8、已知直线l:y??2x?6和点A(1?,，过点1)A作直线l1与直线l相交于B点，且AB?5，求直线l1的方程

9、过点P(3,0)作直线l，使它被直线l1:2x?y?3?0和l2:x?y?3?0所截得的线段恰好被P平分，求直线l的方程

10、如图，过点S引三条不共面的直线SA，SB，SC，其中?BSC?90t，

?ASC??ASB?60t

，且S?A?． S?

求证：平面ABC?

小学作文