作业帮求证:以三角形三边上的中线可构成三角形,且这个三角形的面积等于原三角形面积的3/4
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/14 23:43:02
求证:以三角形三边上的中线可构成三角形,且这个三角形的面积等于原三角形面积的3/4
求证:以三角形三边上的中线可构成三角形,且这个三角形的面积等于原三角形面积的3/4
求证:以三角形三边上的中线可构成三角形,且这个三角形的面积等于原三角形面积的3/4
题目意思是说以三角形的三边上中线相等长的线段为边
重新作一个三角形,此三角形面积为原来的3/4
证明如下:
记原来三角形为ABC
三边上中线分别为AD BE CF
三中线交与一点记为G
延长AD至M使DM=DG
连接CM
容易得到
CM=BG=2/3 BE
MG=AG=2/3 AD
CG=2/3 CF
则由三中线为线段的三角形面积就是三角形CMG面积的9/4
而三角形CMG面积=三角形CMD+三角形CDG=三角形CDG+三角形BDG=三角形CBG=1/3 三角形ABC
即三中线为线段的三角形面积=9/4三角形CMG=9/4*(1/3 三角形ABC)=3/4三角形ABC
证明：设向量AB=a,向量BC=b,向量CA=c,则a+b+c=-c+c=0
三条中线BE=(b-a)/2,AD=(a-c)/2,CF=((c-b)/2
所以AD+BE+CF=(a-c+b-a+c-b)/2=0
所以AD、BE、CF可以构成三角形
以a,b建立坐标系，则AD=(a-c)/2=(a+a+b)/2=a+b/2
BE=(-1/2,1/2)...
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证明：设向量AB=a,向量BC=b,向量CA=c,则a+b+c=-c+c=0
三条中线BE=(b-a)/2,AD=(a-c)/2,CF=((c-b)/2
所以AD+BE+CF=(a-c+b-a+c-b)/2=0
所以AD、BE、CF可以构成三角形
以a,b建立坐标系，则AD=(a-c)/2=(a+a+b)/2=a+b/2
BE=(-1/2,1/2),AD=(1,1/2)
外积AD*BE=
a b k
-1/2 1/2 0
1 1/2 0
=-(3/4)k
所以中线AD、BE、CF构成三角形的面积S=(1/2)│AD*BE=│=(3/8)k=(3/8)ab
=(3/8)*(2S△ABC）=(3/4)S△ABC
证毕！
收起